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相関関数は、確率変数間の空間的または時間的な距離に応じて、確率変数間の 統計的相関を示す関数です。 [ 1 ] 2つの異なる地点で測定された同じ量を表す確率変数間の相関関数を考えると、これはしばしば自己相関関数と呼ばれ、自己相関から構成されます。異なる確率変数の相関関数は、異なる変数が考慮されていることを強調し、相互相関から構成されているため、相互相関関数と呼ばれることがあります。
相関関数は、時間的または空間的な距離の関数としての依存関係を示す有用な指標であり、サンプル点間の距離がどの程度であれば値が実質的に無相関になるかを評価するために使用できます。さらに、観測値がない点における値を補間するための規則の基礎を形成することもできます。
天文学、金融分析、計量経済学、統計力学で使用される相関関数は、適用される特定の確率過程が異なるだけです。量子場理論では、量子分布に関する相関関数が存在します。
ある空間内の異なる点sとtにおける、おそらく異なる確率変数X ( s ) とY ( t ) の 相関関数は次のようになる。
どこ相関に関する記事で説明されています。この定義では、確率変数はスカラー値であると仮定されています。そうでない場合は、より複雑な相関関数を定義できます。たとえば、X ( s )がn個の要素を持つランダムベクトルで、 Y (t)がq個の要素を持つベクトルである場合、相関関数のn × q行列は次のように定義されます。要素
n = qの場合、この行列のトレースに注目することがあります。確率分布がターゲット空間対称性、つまり確率変数の値空間における対称性（内部対称性とも呼ばれる）を持つ場合、相関行列は誘導対称性を持つことになります。同様に、確率変数が存在する空間（または時間）領域に対称性（時空間対称性とも呼ばれる）がある場合、相関関数は対応する空間または時間の対称性を持つことになります。重要な時空間対称性の例は次のとおりです。
高次の相関関数が定義されることが多い。n次の典型的な相関関数は次のようになる（山括弧は期待値を表す）。
ランダムベクトルに1つの成分変数しかない場合、インデックスはこれらは冗長である。対称性が存在する場合、相関関数は、内部対称性と時空対称性の両方について、既約表現に分解することができる。
これらの定義に基づくと、相関関数の研究は確率分布の研究と類似している。多くの確率過程は相関関数によって完全に特徴づけることができ、最も顕著な例はガウス過程である。
有限個の点上で定義される確率分布は常に正規化できるが、連続空間上で定義される場合は、より慎重な検討が必要となる。このような分布の研究はランダムウォークの研究から始まり、伊藤計算の概念へと発展した。
ユークリッド空間におけるファインマン経路積分は、これを統計力学で関心のある他の問題に一般化する。相関関数に関する反射正値性と呼ばれる条件を満たす任意の確率分布は、ウィック回転によってミンコフスキー時空に導かれ、局所量子場理論となる（オスターワルダー・シュレーダー公理を参照）。繰り込み操作は、確率分布の空間からそれ自身への特定の写像の集合である。この写像が量子場理論を与える固定点を持つ場合、量子場理論は繰り込み可能であると呼ばれる。
