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数学において、全順序または線形順序とは、任意の2つの要素が比較可能であるような部分順序のことである。つまり、全順序は二項関係である。ある集合上でこれは、すべてのに対して以下を満たす。そしてで:
要件 1. ～ 3. は、部分順序の定義を構成するものです。反射性 (1.) は、強い連結性 (4.) から既に導かれますが、それでも多くの著者は、部分順序との類似性を示すために明示的に要求しています。[ 1 ]全順序は、単純順序[ 2 ]コネックス順序[ 3 ]または完全順序[ 4 ] とも呼ばれます。
全順序を備えた集合は全順序集合と呼ばれます。[ 5 ]単純順序集合、[ 2 ]線形順序集合、[ 3 ] [ 5 ] toset [ 6 ]およびloset [ 7 ] [ 8 ]という用語も使用されます。chainという用語は、全順序集合の同義語として定義されることもありますが、[ 5 ]一般的には、与えられた部分順序集合の全順序部分集合を指します。
与えられた半順序を全順序に拡張することを、その半順序の線形拡張と呼ぶ。
境界を定める目的で、上記で定義した全順序は、非厳密順序と呼ばれることがあります。各（非厳密）全順序について関連する関係がある厳密な全順序と呼ばれるこれは、2つの同等な方法で定義できる。
逆に、厳密な全順序の反射的閉包これは（厳密ではない）全順序です。
したがって、集合上の厳密な全順序は厳密な半順序である2つの異なる要素が比較可能である関係。つまり、厳密な全順序は二項関係である。ある集合上でこれは、すべてのに対して以下を満たす。そしてで:
チェーンという用語は、全順序集合の同義語として定義されることもありますが、一般的には、誘導順序で全順序となる部分順序集合の部分集合を指すのに使用されます。 [ 1 ] [ 10 ]通常、部分順序集合は、包含関係によって順序付けられた与えられた集合の部分集合の集合であり、この用語はチェーンの集合の特性を表すのに使用されます。この多数の入れ子構造の集合が、この用語の有用性を説明しています。
完全に順序付けられた部分集合を参照するためにチェーンを使用する一般的な例は、部分順序集合XのすべてのチェーンがXに上限を持つ場合、Xには少なくとも 1 つの極大要素が含まれると主張する Zorn の補題です。[ 11 ] Zorn の補題は、Xが部分集合の集合である場合によく使用されます。この場合、上限は、X内のチェーンの要素の和集合がXに含まれることを証明することによって得られます。これは、ベクトル空間がハーメル基底を持ち、環が極大イデアルを持つことを証明するために一般的に使用される方法です。
文脈によっては、考慮される鎖は、通常の順序またはその反対の順序を持つ自然数と順序が同型である。この場合、鎖は単調数列と同一視でき、数列が増加しているか減少しているかに応じて、上昇鎖または下降鎖と呼ばれる。[ 12 ]
半順序集合は、すべての下降鎖が最終的に安定化する場合、下降鎖条件を満たす。[ 13 ]例えば、順序が下降鎖条件を満たす場合、その順序は整礎である。同様に、上昇鎖条件は、すべての上昇鎖が最終的に安定化することを意味する。例えば、ネーター環は、イデアルが上昇鎖条件を満たす環である。
他の文脈では、有限集合である鎖のみが考慮されます。この場合、有限鎖、しばしば鎖と略されます。この場合、鎖の長さは、鎖の連続する要素間の不等式（または集合の包含）の数、つまり、鎖の要素の数から 1 を引いた数です。[ 14 ]したがって、単一集合は長さ 0 の鎖であり、順序対は長さ 1 の鎖です。空間の次元は、部分空間の鎖の最大長として定義または特徴付けられることがよくあります。たとえば、ベクトル空間の次元は線形部分空間の鎖の最大長であり、可換環のクルル次元は素イデアルの鎖の最大長です。
「チェーン」という用語は、部分順序集合ではない構造の完全順序部分集合にも使用されることがあります。例えば、多項式の正則チェーンが挙げられます。また、グラフにおけるウォークの同義語として「チェーン」が使用される場合もあります。
完全順序集合は、特定の種類の束、すなわち、
次に、a ≤ bは、次の場合に限り記述します。したがって、全順序集合は分配束である。
単純な計数論法によって、空でない有限全順序集合（したがって、その空でない部分集合）には最小元が存在することが確認できます。したがって、すべての有限全順序は実際には整列順序です。直接証明するか、すべての整列順序が順序数と同型であることを観察することによって、すべての有限全順序が、< で順序付けられた自然数の最初のセグメントと同型であることを示すことができます。言い換えれば、 k個の要素を持つ集合上の全順序は、最初のk 個の自然数との全単射を誘導します。したがって、順序タイプωの有限全順序または整列順序を、順序を尊重する形で（0 から始まるか 1 から始まるかのいずれかで）自然数で添え字付けするのが一般的です。
完全順序集合は、部分順序集合のカテゴリの完全なサブカテゴリを形成し、射は順序を尊重する写像、つまりa ≤ bならばf ( a ) ≤ f ( b )となる写像fです。
2つの全順序集合間の全単射 写像であって、2つの順序を尊重するものは、この圏における同型写像である。
任意の全順序集合Xに対して、開区間を定義することができる。
これらの開区間を使用して、任意の順序集合上の位相、順序位相を定義することができます。
集合に対して複数の順序が用いられる場合、特定の順序によって誘導される順序トポロジーについて議論します。例えば、Nが自然数であり、<が小なり、>が大なりを表す場合、 N上の<によって誘導される順序トポロジーと、 N上の>によって誘導される順序トポロジーについて言及することができます（この場合、両者は偶然にも同一ですが、一般には同一ではありません）。
全順序によって誘導される順序トポロジーは、遺伝的に正常であることが示される可能性がある。
完全順序集合は、上限を持つ空でない部分集合すべてに最小上限が存在する場合に完全であると言われます。たとえば、実数の集合Rは完全ですが、有理数の集合Qは完全ではありません。言い換えれば、完全性（「全的」であることと混同しないように）のさまざまな概念は、制限には適用されません。たとえば、実数では、関係≤の性質として、 Rの上限を持つ空でない部分集合Sすべてに、Rの最小上限（上限とも呼ばれる）が存在するという性質があります。しかし、有理数では、この上限は必ずしも有理数ではないため、関係≤を有理数に制限した場合、同じ性質は成り立ちません。
順序位相の性質とXの完全性との関係を示す結果がいくつか存在する。
完全順序集合（順序位相を含む）で完備束であるものはコンパクトである。例としては、実数の閉区間（例えば単位区間[0,1]）や、アフィン拡張実数系（拡張実数直線）などが挙げられる。これらの例の間には、順序を保存する同相写像が存在する。
互いに素な2つの全順序について そして自然な秩序がある撮影現場でこれは、2 つのオーダーの合計、または単に:
直感的に言えば、これは2番目の集合の要素が1番目の集合の要素の上に重ねて追加されることを意味します。
より一般的に言えば、は完全に順序付けられたインデックス集合であり、各構造は線形順序であり、集合はが互いに素である場合、自然な全順序は定義される
全順序の一次理論は決定可能である。つまり、すべての全順序に対してどの一次命題が成り立つかを決定するアルゴリズムが存在する。S2S の解釈可能性を用いると、可算全順序の単項二次理論も決定可能である。[ 15 ]
2つの完全順序集合からデカルト積上の順序集合へと拡張する方法はいくつかありますが、結果として得られる順序は部分的なものにとどまる場合があります。以下に、可能な順序のうち3つを、それぞれが次の順序よりも強い順序となるように列挙します。
これらの順序はそれぞれ次の順序を拡張する関係にあり、積順序でx ≤ yが成り立つ場合、この関係は辞書式順序でも成り立ち、以下同様である。これら3つはすべて、2つ以上の集合の直積についても同様に定義できる。
これらのそれぞれをベクトル空間R nに適用すると、順序付きベクトル空間になります。
部分順序集合の例も参照してください。
R nの部分集合上で定義されたn 個の実変数を持つ実関数は、その部分集合上で厳密な弱順序とそれに対応する全前順序を定義します。
反対称、推移的、反射的（ただし必ずしも全関係ではない）な二項関係は、半順序である。
全順序の縮約として（相互定義可能な）非自明な構造はごくわずかしかない。向きを忘れると、中間関係が生じる。端点の位置を忘れると、巡回順序が生じる。両方のデータを忘れると、円上で点対によって決定される 2 つの区間を区別するために点対分離が使用される。 [ 16 ]
