リーゼル数

数学において、リーゼル数は、すべての自然数nに対して合成数である奇数の 自然数 kです( OEISのシーケンスA101036 )。言い換えると、k がリーゼル数である場合、次の集合のすべての要素は合成数です。 ${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$

${\displaystyle \left\{\,k\times 2^{n}-1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

代わりに の形式の場合、k はシェルピンスキー数になります。 ${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$

1956年、ハンス・リーゼルは、任意の整数 nに対して素数ではない整数kが無数に存在することを示した。彼は、数 509203 がこの性質を持ち、509203 に11184810 の任意の正の整数倍を加えたものも同様であることを示した。 ^[1]リーゼル問題は、最小のリーゼル数を決定することである。509203未満のkに対して被覆集合が見つかっていないため、これが最小のリーゼル数であると 推測される。${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$

k < 509203があるかどうかを確認するために、 Riesel Sieve プロジェクト( Sierpiński 数のSeventeen or Bustに類似) が 101 個の候補kから開始されました。2022 年 12 月の時点で、これらのkのうち 57 個が Riesel Sieve、 PrimeGrid、または外部の人物によって排除されています。 ^[2]これまでにテストされた すべてのnの値に対して合成数のみを生成する残りの 42 個のkの値は次のとおりです。

23669、31859、38473、46663、67117、74699、81041、107347、121889、129007、143047、161669、206231、215443、226153、 234343、245561、250027、315929、319511、324011、325123、327671、336839、342847、344759、362609、363343、364903、 365159、368411、 371893、384539、386801、397027、409753、444637、470173、474491、477583、485557、494743。

最も最近の素数除去は2023年4月で、ライアン・プロッパーによって97139 × 2 ^18397548 − 1が素数であることが発見されました。この数字は5,538,219桁の長さです。

2023年1月現在、PrimeGridは残りの候補をn = 14,900,000まで検索しました。^[3]

現在知られているリーゼル数 のシーケンスは次のように始まります。

509203、762701、777149、790841、992077、1106681、1247173、1254341、1330207、1330319、1715053、1730653、1730681、1744117、1830187、1976473、2136283、2251349、2313487、2344211、2554843、2924861、...（OEISのシーケンスA101036）

数がリーゼル数であることは、被覆集合を示すことによって示されます。被覆集合とは、数列の任意の要素を割り切る素数の集合で、数列を「カバーする」と言われることからこの名前が付けられています。100 万未満のリーゼル数で、次の被覆集合を持つことが証明されているものだけです。

• ${\displaystyle 509203\times 2^{n}-1}$被覆集合は{3, 5, 7, 13, 17, 241}である。
• ${\displaystyle 762701\times 2^{n}-1}$被覆集合は{3, 5, 7, 13, 17, 241}である。
• ${\displaystyle 777149\times 2^{n}-1}$被覆集合は{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}である
• ${\displaystyle 790841\times 2^{n}-1}$被覆集合は{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}である
• ${\displaystyle 992077\times 2^{n}-1}$被覆集合は{3, 5, 7, 13, 17, 241}である。

ここでは、 k = 1、2、...のシーケンスを示します。これは次のように定義されます。が素数となる最小のn ≥ 0です。そのような素数が存在しない場合は -1 になります。 ${\displaystyle a(k)}$${\displaystyle a(k)}$${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$

2、1、0、0、2、0、1、0、1、1、2、0、3、0、1、1、2、0、1、0、1、1、4、0、3、2、1、3、4、0、1、0、2、1、2、1、1、0、3、1、2、0、7、0、1、3、4、0、1、2、1、1、2、0、1、2、1、3、1、2、0、7、0、1、3、4、0、1、2、1、1、2、0、1、2、1、3、12、0、3、0、2、1、4、1、5、0、1、1、2、0、7、0、1、...（OEIS のシーケンスA040081 ））。最初の未知数nはk = 23669です。

関連するシーケンスはOEIS : A0504​​12 ( n = 0 は許可されない) です。奇数のkについては、OEIS : A046069またはOEIS : A108129 ( n = 0は許可されない) を参照してください。

リーゼルとシェルピンスキーの両者がブライア数と呼ぶ数。最も小さい5つの既知の例（いくつかはもっと小さいかもしれない、つまり数列が包括的ではないかもしれないことに注意）は、3316923598096294713661、10439679896374780276373、11615103277955704975673、12607110588854501953787、17855036657007596110949、...（A076335）である。^[4]

双対リーゼル数は、奇数の自然数kとして定義され、 |2 ⁿ - k | はすべての自然数nに対して合成数となる。この数の集合はリーゼル数の集合と同じであるという予想がある。たとえば、 |2 ⁿ - 509203| はすべての自然数nに対して合成数であり、 509203 は最小の双対リーゼル数であると予想されている。

2 ⁿ - kが素数となる最小のn は（ kが奇数の場合、この数列は 2 ⁿ > kであることを必要とする）

2、3、3、39、4、4、4、5、6、5、5、6、5、5、5、7、6、6、11、7、6、29、6、6、7、6、6、7、6、6、7、6、6、6、8、8、7、7、10、9、7、8、9、7、8、7、7、8、7、8、10、7、7、26、9、7、8、7、7、10、7、7、8、7、7、7、47、8、14、9、11、10、9、10、8、9、8、8、...（シーケンスOEISのA096502 )

^{2 n} < kに対してk - 2 ⁿがすべて合成数となる奇数k（ド・ポリニャック数）は、

1、127、149、251、331、337、373、509、599、701、757、809、877、905、907、959、977、997、1019、1087、1199、1207、1211、1243、1259、1271、1477、...（OEISのシーケンスA006285）

k sの未知の値^{[明確化が必要]}は (2 ⁿ > k ) である。

1871、2293、25229、31511、36971、47107、48959、50171、56351、63431、69427、75989、81253、83381、84491、...

リーゼル問題をb ≥ 2 の整数基数に一般化することができます。b基数のリーゼル数は、 gcd ( k − 1, b − 1) = 1となる正の整数kです。 ( gcd( k − 1, b − 1) > 1 の場合、 gcd ( k − 1, b − 1) はk × b ⁿ − 1の自明な因数です(予想に対する自明な因数の定義: すべてのn値は同じ因数を持ちます)) ^{[5] [6]} b ≥ 2 の整数ごとに、 b基数のリーゼル数は無限に存在します。

例 1: 84687 mod 10124569 に合同で、1 mod 5 に合同でないすべての数は、被覆集合 {7、13、31、37、97} があるため、6 進数のリーゼル数です。さらに、これらのk は、これらのkに対して gcd( k + 1、6 − 1) = 1であるため、自明ではありません。(リーゼルの 6 進数予想は証明されておらず、残りのkは1597、9582、57492 の 3 つです)

例 2: 6 は、 34 mod 35 に合同なすべての基数bに対してリーゼル数です。なぜなら、b が34 mod 35 に合同であれば、 6× b ⁿ − 1 はすべての偶数nに対して 5 で割り切れ、すべての奇数nに対して 7 で割り切れるからです。さらに、これらの基数bに対してgcd(6 − 1, b − 1) = 1 であるため、 6 はこれらの基数bでは自明なkではありません。

例 3: 12 mod 13 に合同で 1 mod 11 に合同でないすべての平方kは、 12 を底とするリーゼル数です。なぜなら、そのようなすべてのkに対して、k ×12 ⁿ − 1 はすべての偶数nに対して代数因数を持ち、すべての奇数nに対して 13 で割り切れるからです。さらに、これらのk は、 gcd( k + 1, 12 − 1) = 1であるため、自明ではありません。(リーゼルの 12 を底とする予想は証明されています)

例 4: k が5 の倍数から 11 の倍数までの範囲内にある場合、k ×109 ⁿ − 1 は、すべての正の整数nに対して 5 または 11 で割り切れます。そのような最初のいくつかのkは、21、34、76、89、131、144、... です。ただし、これらすべてのk < 144 も自明なkです(つまり、gcd( k − 1, 109 − 1) は 1 ではありません)。したがって、109 を底とする最小のリーゼル数は 144 です。(リーゼルの 109 を底とする予想は証明されておらず、残っているkは84 の 1 つだけです)

例 5: kが平方数の場合、k ×49 ⁿ − 1 はすべての正の整数nに対して代数因数を持ちます。最初のいくつかの正の平方数は 1、4、9、16、25、36、... です。ただし、これらすべてのk < 36 も自明なkです(つまり、gcd( k − 1, 49 − 1) は 1 ではありません)。したがって、最小のリーゼル数は 49 を底とする数で 36 です。(リーゼルの 49 を底とする予想は証明されています)

私たちは、 b ≥ 2のすべての整数について、最小のリーゼル数基数b を見つけて証明したいと考えています。 k がリーゼル数基数bである場合、次の 3 つの条件のうち少なくとも 1 つが成立するという予想があります。

1. k × b ⁿ − 1 の形式のすべての数は、何らかの被覆集合に因数を持ちます。(たとえば、b = 22、k = 4461 の場合、 k × b ⁿ − 1の形式のすべての数は、被覆集合 {5、23、97} に因数を持ちます。)
2. k × b ⁿ − 1 には代数因数があります。（例えば、b = 9、k = 4 の場合、k × b ^{n − 1 は (2×3 n} − 1) × (2×3 ⁿ + 1)に因数分解できます。）
3. あるnに対して、 k × b ⁿ − 1の形の数は何らかの被覆集合に因数を持ちます。また、他のすべてのnに対して、k × b ⁿ − 1 は代数因数を持ちます。(たとえば、b = 19、k = 144 の場合、nが奇数であれば、k × b ⁿ − 1 は 5 で割り切れます。nが偶数であれば、k × b ^{n − 1 は (12×19 n /2} − 1) × (12×19 ^{n /2} + 1)に因数分解できます。)

以下のリストでは、 gcd( k − 1, b − 1) = 1となる正の整数kのみを考慮し、すべての整数nは1以上でなければなりません。

注: bの倍数でk −1 が素数でないk値は、推測には含まれますが (これらのk値に対して素数が不明な場合は、赤色で残りのkに含まれます)、テストからは除外されます (したがって、 「見つかった最大の 5 つの素数」のkにはなりません)。これは、このようなk値はk / bと同じ素数を持つためです。

推定される最小のリーゼル数はn を底とする( n = 2 から開始)

509203、63064644938、9、346802、84687、408034255082、14、4、10176、862、25、302、4、36370321851498、9、86、246、144、 8、560、4461、476、4、36、149、8、144、4、1369、134718、10、16、6、287860、4、7772、13、4、81、8、15137、672、4、 22564、8177、 14、3226、36、16、64、900、5392、4、6852、20、144、105788、4、121、13484、8、187258666、9、...（OEISの配列A273987）

• シェルピンスキー数
• ウッドオール数
• 実験数学
• ボインク
• プライムグリッド

• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題。ベルリン：シュプリンガー出版社。p. 120。ISBN 0-387-20860-7。
• リベンボイム、パウロ(1996)。『素数記録の新書』。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。pp. 357–358。ISBN 0-387-94457-5。

• プライムグリッド
• リーゼル問題: 定義と現状
• The Prime Glossary: リーゼル数
• 形式の素数のリスト: k*2^n-1, k<300
• 形式の素数のリスト: k*2^n-1、k<300、プロジェクト リーゼル素数探索
• リーゼルとプロスプライムデータベース