抽象初等クラス

数理論理学の一分野であるモデル理論において、抽象基本クラス（AEC）は、一階モデル理論における基本クラスの基本部分構造の関係に類似した部分順序を持つモデルのクラスである。これらはサハロン・シェラによって導入された。^[1]

${\displaystyle \langle K,\prec _{K}\rangle }$ある言語の構造のクラスがAEC で あるとは、次の特性を持つ場合です。${\displaystyle K}$${\displaystyle L=L(K)}$

• ${\displaystyle \prec_{K}}$は上の半順序です。${\displaystyle K}$
• の場合、 はのサブ構造です。${\displaystyle M\prec_{K}N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$
• 同型：は同型に対して閉じており、かつ${\displaystyle K}$${\displaystyle M,N,M',N'\in K,}$ ${\displaystyle f\colon M\simeq M',}$ ${\displaystyle g\colon N\simeq N',}$ ${\displaystyle f\subseteq g,}$${\displaystyle M\prec_{K}N,}$${\displaystyle M'\prec _{K}N'.}$
• 一貫性：もし、そして${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{3},}$ ${\displaystyle M_{2}\prec _{K}M_{3},}$${\displaystyle M_{1}\subseteq M_{2},}$${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{2}.}$
• Tarski–Vaught連鎖公理:が順序数でが連鎖 (つまり) である場合、次のようになります。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K}$${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }}$
  • ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\in K}$
  • ならば、すべての に対して、${\displaystyle M_{\alpha}\prec_{K}N}$${\displaystyle \alpha <\gamma }$${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\prec _{K}N}$
• レーヴェンハイム・スコーレム公理:基数 が存在しが の宇宙の部分集合である場合、 が存在し、その宇宙にはとなるようなもの。 をそのような最小のものを表しのレーヴェンハイム・スコーレム数と呼びます。${\displaystyle \mu \geq |L(K)|+\aleph _{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|N\|\leq |A|+\mu }$${\displaystyle N\prec_{K}M}$${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle K}$

通常、レーヴェンハイム・スコーレム数より小さいサイズのモデルについては考慮せず、モデルが存在しないと仮定することが多いことに注意してください (この記事ではこの規則を採用します)。これは、レーヴェンハイム・スコーレム数を超える構造に影響を与えることなく、常にそのようなモデルをすべて AEC から削除できるため正当化されます。

-埋め込みは の写像であり、 はからへの同型です。 が文脈から明らかな場合は省略します。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\displaystyle M,N\in K}$${\displaystyle f[M]\prec _{K}N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f[M]}$${\displaystyle K}$

抽象基本クラスの例を以下に示します。^[2]

• 基本クラスはAECの最も基本的な例です。Tが1 階理論である場合、基本サブ構造を持つTのモデルのクラスは、レーヴェンハイム・スコーレム数|T|を持つ AEC を形成します。${\displaystyle \operatorname {Mod} (T)}$
• が無限論理の文であり、 がを含む可算なフラグメントである場合、 はレーヴェンハイム・スコーレム数 を持つ AEC です。これは、 や などの他の論理に一般化できます。ここで、 は「無数に存在する」ことを表します。${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \langle \operatorname {Mod} (T),\prec _{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle L_{\カッパ ,\オメガ }}$${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$${\displaystyle Q}$
• T が一階の可算な超安定理論である場合、 Tの -飽和モデルの集合は、基本的な部分構造とともに、レーヴェンハイム・スコーレム数 を持つ AEC です。${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• Zilber の擬指数体はAEC を形成します。

AEC は非常に一般的なオブジェクトであり、通常、AEC を研究する際には以下のような仮定が立てられます。

• 任意の 2 つのモデルを共通モデル内に埋め込むことができる場合、AEC には結合埋め込みが存在します。
• いずれかのモデルに適切な拡張がある場合、AEC には最大モデルは存在しません。
• AEC が融合を持つとは、 、 を持つ任意の3 つ組に対して、その内部に点ごとに固定するおよびの埋め込みが存在する場合です。${\displaystyle K}$${\displaystyle M_{0},M_{1},M_{2}\in K}$${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{1}}$${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{2}}$${\displaystyle N\in K}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M_{0}}$

基本的なクラスでは、理論が完全な場合は常に結合埋め込みが成立しますが、融合と最大モデルがないことは、コンパクト性定理のよく知られた帰結です。これらの 3 つの仮定により、基本的な場合とまったく同じように、 普遍的なモデル同次モンスター モデルを構築できます。${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$

もう一つ考えられる仮定は、従順さです。

シェラは、一階分類理論を一般化するための統一的な枠組みを提供するために AEC を導入しました。分類理論はモーリーの範疇定理から始まったので、AEC でも同様の結果が成り立つかどうかを問うのは当然です。これがシェラの最終的な範疇定理です。範疇定理では、範疇性にはハンフ数が存在するはずだと述べられています。

すべての AEC Kに対して、のみに依存する基数が存在するはずであり、 Kがいくつかにおいてカテゴリカルである場合(つまり、Kにはサイズ のモデルが 1 つだけ (同型を除いて) 存在する場合)、K はすべてのに対してにおいてカテゴリカルです。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$ ${\displaystyle \lambda \geq \mu }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \theta \geq \mu }$

シェラは、さらに強力な予想をいくつか立てています。カテゴリ性の閾値基数は、基数 LS(K) の言語における擬似基本クラスのハンフ数です。より具体的には、クラスが可算言語にあり、文によって公理化可能な場合、カテゴリ性の閾値数は です。この予想は 1976 年に遡ります。 ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$${\displaystyle \beth_{\omega_{1}}}$

集合論的仮定（大きな基数の存在や一般化連続体仮説のバリエーションなど）やモデル理論的仮定（融合や従順さなど）を前提とした近似値がいくつか発表されている（以下の結果のセクションを参照）。2014年現在、当初の予想は未解決のままである。

以下は AEC に関する重要な結果の一部です。最後のものを除き、すべての結果は Shelah によるものです。

• シェラのプレゼンテーション定理: ^[3]任意のAECは、最大で の型を省略した一階理論のモデルのクラスの縮約です。${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {PC} _{2^{\operatorname {LS} (K)}}}$${\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}$
• 存在のためのHanf数: ^[4]サイズのモデルを持つAECには、任意の大きなサイズのモデルがあります。${\displaystyle K}$${\displaystyle \beth _{(2^{\operatorname {LS} (K)})^{+}}}$
• 圏論からの融合: ^[5] Kが、およびにおいてAEC圏論的である場合、Kはサイズ のモデルに対して融合を持ちます。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ^{+}}$${\displaystyle 2^{\lambda }<2^{\lambda ^{+}}}$${\displaystyle \lambda }$
• 圏論からの存在: ^[6] K がレーヴェンハイム・スコーレム数を持つ AECであり、K がおよびにおいて圏論的である場合、K にはサイズ のモデルがあります。特に、 の文には、正確に 1 つの非可算モデルしか存在できません。${\displaystyle \operatorname {PC} _{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$
• シェラの圏論予想の近似:
  • 後継クラスからの下方転移: ^[7] Kが「十分に高い」後継クラス においてカテゴリカルな融合を持つ抽象基本クラスである場合、Kはすべての十分に高いクラスにおいてカテゴリカルである。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu \leq \lambda }$
  • 大きな基数からの後継に対するシェラの圏論的予想: ^{[8]クラス多数の}強コンパクト基数がある場合、後継における圏論から始めるとシェラの圏論的予想が成り立つ。

• 落ち着いた抽象的な初等クラス