多項式

多項式は、加法の結合法則（すべての項をまとめて1つの和にする）を用いて加算することができ、場合によっては（交換法則を用いて）項の順序を並べ替え、同類項をまとめることもあります。^{[ 11 ] [ 17 ]}例えば、 $${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$$そして$${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$ すると合計 $${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$ 並べ替えや再グループ化が可能 $${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$$ そして簡略化して $${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$$ 多項式を足し合わせると、結果は別の多項式になります。^{[ 18 ]}

多項式の減算も同様です。

多項式も乗算できます。2つの多項式の積を項の和に展開するには、分配法則を繰り返し適用し、一方の多項式の各項をもう一方の多項式のすべての項で乗算します。^{[ 11 ]}例えば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Red}P\,&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q\,&{\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}},\end{aligned}}}$$ それから $${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}}$$ 各項で乗算を実行すると、 $${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}}$$ 類似の用語を組み合わせると $${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}}$$ これは以下のように簡略化できます $${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$$ 例にあるように、多項式の積は常に多項式になります。^{[ 18 ] [ 19 ]}

多項式が与えられた${\displaystyle f}$1つの変数と別の多項式${\displaystyle g}$任意の数の変数の構成要素${\displaystyle f\circ g}$これは、最初の多項式の変数の各コピーを2番目の多項式で置き換えることによって得られます。^{[ 19 ]} 例えば、${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$そして${\displaystyle g(x)=3x+2}$それから $${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).}$$ 合成は、多項式の乗算と除算の規則を使用して項の和に展開できます。2 つの多項式の合成は別の多項式になります。^{[ 20 ]}

ある多項式を別の多項式で割った値は、通常は多項式ではありません。代わりに、このような比は、文脈に応じて有理分数、有理式、または有理関数と呼ばれる、より一般的な種類の対象です。^{[ 21 ]}これは、2つの整数の比が有理数であって、必ずしも整数ではないという 事実と類似しています。 ^{[ 22 ] [ 23 ]} 例えば、分数${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$これは多項式ではなく、変数のべき乗の有限和として表すことはできません。${\displaystyle x}$。

1変数多項式には、整数のユークリッド除法を一般化した多項式のユークリッド除法の概念がある。^{[ e ]} この除法の概念は、${\displaystyle a(x)/b(x)}$結果として2つの多項式、商が得られます${\displaystyle q(x)}$そして残り${\displaystyle r(x)}$、したがって${\displaystyle a=bq+r}$そして${\displaystyle \deg(r)<\deg(b)}$、 どこ${\displaystyle \deg(p)}$の度合いは${\displaystyle p}$商と余りは、多項式の長除法や合成除法など、いくつかのアルゴリズムのいずれかによって計算できます。^{[ 24 ]}

分母が${\displaystyle b(x)}$単項線形である、つまり、${\displaystyle b(x)=x-c}$ある定数に対して${\displaystyle c}$すると、多項式の剰余定理は、${\displaystyle a(x)}$による${\displaystyle b(x)}$評価は${\displaystyle a(c)}$[ ^{23 ]} この場合、商は合成除法の特殊な場合である^ルフィニの法則によって計算できる。 ^{[ 25 ]}

一意の因数分解領域（例えば、整数または体）の係数を持つすべての多項式は、既約多項式と定数の積として表される因数分解形式も持ちます。この因数分解形式は、因数の次数と可逆定数による乗算を除いて一意です。複素数体の場合、既約因数は線形です。実数体では、その次数は1または2です。整数体および有理数体では、既約因数は任意の次数を持つことができます。^{[ 26 ]}例えば、の因数分解形式は$${\displaystyle 5x^{3}-5}$$ は $${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$$ 整数と実数の上、そして $${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$$ 複素数に関して。

因数分解と呼ばれる因数分解形式の計算は、一般的に手計算で行うには難しすぎる。しかし、ほとんどの数式処理システムには、効率的な多項式因数分解アルゴリズムが搭載されている。

多項式の導関数と積分の計算は、他の種類の関数と比較して特に簡単です。多項式の導関数は$${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$に関して${\displaystyle x}$多項式は $${\displaystyle na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.}$$ 同様に、一般の原始関数（または不定積分）は${\displaystyle P}$は $${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}}$$ どこ${\displaystyle c}$は任意の定数です。例えば、 の原始関数は${\displaystyle x^{2}+1}$フォーム${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}+x+c}$。

係数がより抽象的な設定から得られる多項式の場合（例えば、係数が素数を法とする整数である場合）${\displaystyle p}$、または任意の環の要素）の場合でも、係数を用いて導関数の式を形式的に解釈することができます。${\displaystyle ka_{k}}$合計を意味すると理解される${\displaystyle k}$コピー${\displaystyle a_{k}}$例えば、整数の法則に関して${\displaystyle p}$多項式の導関数${\displaystyle x^{p}+x}$多項式は${\displaystyle 1}$[ ^{27 ]​}

1つの実変数に関する多項式関数はグラフで表すことができる。

• ゼロ多項式のグラフ
  f ( x ) = 0
  はx軸です。
• 0次多項式のグラフ
  f ( x ) = a ₀、ただしa ₀ ≠ 0、
  y切片が0の_水平線です
• 1次多項式（または線形関数）のグラフ
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x、ただしa ₁ ≠ 0、
  y切片が0 _、傾き が1の_斜線です。
• 2次多項式のグラフ
  f ( x ) = a₀ + a₁x + a₂x²、ただしa₂ _≠ ⁰_​​​_​
  放物線です。
• 3次多項式のグラフ
  f ( x ) = a₀ + a₁x + a₂x₂ + ^a₃x₃、ただしa₃ ^≠ _0​​​_​​​_​
  これは三次曲線です。
• 次数が2以上の任意の多項式のグラフ
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿ、ただしa _n ≠ 0 かつn ≥ 2
  これは連続した非線形曲線である。

定数でない多項式関数は、変数が無限に増加する（絶対値が無限に増加する）と無限大に発散します。次数が1より大きい場合、グラフには漸近線がありません。垂直方向の2つの放物線状の枝（1つは正のx、もう1つは負のx ）があります。

多項式グラフは、切片、傾き、凹凸、端点挙動を用いて微積分学で解析される。

非零の単変数多項式Pの根とは、 P ( a ) = 0となるxの値a のことです。言い換えれば、Pの根とは、多項式方程式P ( x ) = 0の解、またはPで定義される多項式関数の零点のことです。零多項式の場合、すべての数が対応する関数の零点となるため、根の概念はほとんど考慮されません。

数a が多項式Pの根であるのは、線形多項式x − a がPを割り切る場合、つまりP = ( x − a ) Qとなる別の多項式Qが存在する場合に限る。 x − aのべき乗 ( 1より大きい) がPを割り切る場合があり、この場合、aはPの多重根であり、そうでない場合はaはPの単純根である。Pがゼロでない多項式の場合、 ( x − a ) ^{m が}Pを割り切るような最大のべき乗mが存在し、これをPの根としてのaの重複度と呼ぶ。ゼロでない多項式Pの根の数は、それぞれの重複度で数えると、 Pの次数を超えることはなく、^{[ 29 ]}すべての複素根を考慮すると、この次数に等しくなる(これは代数学の基本定理の結果である)。 多項式の係数とその根は、ヴィエタの公式によって関連付けられている。

x² + 1のような多項式の中に^は、実数の中に根を持たないものがあります。しかし、受け入れられる解の集合を複素数に拡張すると、定数でない多項式はすべて少なくとも 1 つの根を持ちます。これが代数学の基本定理です。x − aの因数を順に除算していくと、複素係数を持つ任意の多項式は、定数 (その最高次係数) と 1 次多項式の因数の積の積として表せることがわかります 。その結果、重複度を含めて数えた (複素) 根の数は、多項式の次数と正確に等しくなります。

「方程式を解く」にはいくつかの意味があるかもしれません。解を明示的な数値で表したい場合もあるでしょう。例えば、2x - 1 = 0 の唯一の解は1/2です。これは一般に、1 次より大きい方程式では不可能であり、古代から数学者は解を代数式で表そうと試みてきました。例えば、黄金比(1+ √5 )/2はx² - x - 1 = 0の唯一の正の解です。古代では、彼らは 1 次と 2 次の場合のみ成功しました。二次方程式の場合^、二次方程式の解の公式は、そのような解の表現を提供します。16 世紀以降、3 次と 4 次の方程式についても、同様の公式 (平方根に加えて立方根を使用) が知られていますが、はるかに複雑です (3 次方程式と4次方程式を参照)。しかし、5 次以上の公式は、数世紀にわたって研究者を悩ませてきました。 1824年、ニールス・ヘンリック・アーベルは、算術演算と根号のみを含む（有限の）式では解を表せない5次方程式が存在するという驚くべき結果を証明した（アーベル・ルフィニの定理を参照）。1830年、エヴァリスト・ガロアは、4次より高い次数の方程式のほとんどは根号では解けないことを証明し、各方程式について、根号で解けるかどうかを判断でき、解ける場合は解くことができることを示した。この結果は、現代代数学の2つの重要な分野であるガロア理論と群論の始まりとなった。ガロア自身は、彼の方法によって生じる計算は非現実的であると指摘した。それにもかかわらず、5次および6次の解ける方程式の公式が発表されている（5次関数と6次方程式を参照）。

根を表す代数式がない場合、またはそのような代数式が存在するが複雑すぎて役に立たない場合、唯一の解決方法は、解の数値近似を計算することです。 ^{[ 30 ]}そのためには多くの方法があり、多項式に限定されるものもあれば、任意の連続関数に適用できるものもあります。最も効率的なアルゴリズムでは、1,000 を超える次数の多項式方程式を（コンピュータ上で）簡単に解くことができます（根探索アルゴリズムを参照）。

複数の不定元を持つ多項式の場合、多項式関数がゼロの値をとる変数の値の組み合わせは、一般に「根」ではなく「零点」と呼ばれます。多項式の零点の集合の研究は、代数幾何学の対象です。複数の未知数を持つ多項式方程式の集合については、有限個の複素解が存在するかどうかを判定するアルゴリズム、および有限個の複素解が存在する場合はその解を計算するアルゴリズムが存在します。多項式方程式のシステムを参照してください。

すべての多項式が1次である特殊なケースは線形方程式系と呼ばれ、古典的なガウス消去法を含む、さまざまな解法が存在する。

整数解のみに関心がある多項式方程式は、ディオファントス方程式と呼ばれます。ディオファントス方程式を解くことは、一般的に非常に難しい作業です。解法、あるいは解の集合が空集合であるかどうかを判定するための一般的なアルゴリズムは存在しないことが証明されています（ヒルベルトの第10問題を参照）。過去50年間に解決された最も有名な問題のいくつかは、フェルマーの最終定理のように、ディオファントス方程式に関連しています。

三角多項式は、 nが 1 つ以上の自然数の値をとる関数sin( nx ) と cos( nx )の有限線形結合です。^{[ 31 ]}係数は、実数値関数の場合は実数とすることができます。

sin( nx ) と cos( nx ) を sin( x ) と cos( x )で展開すると、三角多項式は(多角公式を用いて) 2 つの変数 sin( x ) と cos( x )の多項式になります。逆に、sin( x ) と cos( x )のすべての多項式は、積和公式を用いて、関数 sin( nx ) と cos( nx )の線形結合に変換できます。この等価性から、線形結合が多項式と呼ばれる理由が説明できます。

複素係数の場合、そのような関数と有限フーリエ級数との間に違いはありません。

三角多項式は、例えば周期関数の補間に用いられる三角補間など、広く利用されている。また、離散フーリエ変換にも用いられる。

行列多項式は、正方行列を変数とする多項式です。^{[ 32 ]}通常のスカラー値多項式が与えられた場合、 $${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$$ 行列Aで評価したこの多項式は $${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$$ ここで、Iは単位行列である。^{[ 33 ]}

行列多項式方程式とは、対象となる特定の行列に対して成り立つ、2つの行列多項式間の等式です。行列多項式恒等式とは、指定された行列環M _n ( R )内のすべての行列Aに対して成り立つ行列多項式方程式です。

2 変数多項式で、最初の変数に指数関数を適用したものを 2 番目の変数に置き換えたもの、例えばP ( x , e ^x )は、指数多項式と呼ばれることがあります。

有理分数は、2つの多項式の商（代数分数）です。有理分数に書き換えることができる代数式はすべて有理関数です。

多項式関数は変数のすべての値に対して定義されるのに対し、有理関数は分母がゼロでない変数の値に対してのみ定義される。

有理分数にはローラン多項式が含まれるが、分母を不定数のべき乗に限定するものではない。

ローラン多項式は多項式に似ていますが、変数の負のべき乗を許容します。

形式的冪級数は多項式に似ていますが、無限に多くの非零項を許容するため、有限次数を持ちません。多項式とは異なり、一般に明示的かつ完全に書き表すことはできません（無理数と同様です）が、項の操作規則は多項式と同じです。非形式的冪級数も多項式を一般化したものですが、2つの冪級数の乗算は収束しない場合があります。

Rが整域であり、fとg がR [ x ]の多項式である場合、f q = gとなるようなR [ x ]の多項式qが存在するとき、 f はgを割り切る 、またはfはgの約数であると言います。${\displaystyle a\in R,}$aがfの根であるのは、${\displaystyle x-a}$fを割ります。この場合、商は多項式の長除法を使用して計算できます。^{[ 34 ] [ 35 ]}

Fが体であり、fとgがG ≠ 0であるF [ x ]の多項式である場合、 F [ x ]には一意 の多項式qとr が存在し、$${\displaystyle f=q\,g+r}$$また、 rの次数がgの次数より小さい（多項式 0 は負の次数を持つという慣例を用いる）ようにする。多項式qとrはfとgによって一意に決定される。これはユークリッド除法、剰余除法、または多項式の長除法と呼ばれ、環F [ x ]がユークリッド整域であることを示している。

同様に、素多項式（より正確には既約多項式）は、2 つの非定数多項式の積に因数分解できない非ゼロ多項式として定義できます。環の係数の場合、「非定数」は「非定数または非単位」に置き換える必要があります（両方の定義は、体の係数の場合に一致します）。任意の多項式は、可逆定数と既約多項式の積の積に分解できます。係数が体または一意の因数分解領域に属する場合、この分解は、因子の位数と、任意の非単位因子と単位の乗算（および単位因子と単位の除算）を除いて一意です。係数が整数、有理数、または有限体に属する場合、既約性をテストし、既約多項式への因数分解を計算するアルゴリズムがあります（多項式の因数分解を参照）。これらのアルゴリズムは手書き計算には適していませんが、あらゆる数式処理システムで利用可能です。アイゼンシュタインの判定基準は、場合によっては既約性を判定するためにも使用できます。

現代の位取り記数法、例えば十進法では、整数を表す数字とその位置（例えば45）は、基数または底に関する多項式（この場合は4 × 10¹ ⁺ 5 × 10⁰ ^）の略記法です。別の例として、基数5では、132のような数字列は（十進）数1 × 5² ⁺ 3 × 5¹ ⁺ 2 × 5⁰ ⁼ 42を表します。この表現は一意です。bを1より大きい正の整数とします。すると、すべての正の整数aは、次の形式で一意に表現できます。

$${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$$ ここで、mは非負整数であり、rは整数で、

0 < r _m < bおよび0 ≤ r _i < b ( i = 0, 1, . . . , m − 1 )。^{[ 36 ]}

多項式関数の単純な構造は、多項式近似を用いて一般関数を解析する際に非常に役立ちます。微積分学における重要な例としては、テイラーの定理があります。これは、微分可能な関数はすべて局所的に多項式関数のように見えることを大まかに述べています。また、ストーン・ワイエルシュトラスの定理もあります。これは、実軸上のコンパクト区間で定義されたすべての連続関数は、その区間全体で多項式関数によって望む限り近似できることを示しています。近似の実際的な方法には、多項式補間やスプラインの使用などがあります。^{[ 37 ]}

多項式は、他のオブジェクトに関する情報を符号化するためによく使用されます。線形代数では、行列または線形演算子の特性多項式には、演算子の固有値に関する情報が含まれています。体論では、代数要素の最小多項式は、その要素が満たす最も単純な代数関係を記録します。^{[ 38 ]}代数グラフ理論では、グラフの彩色多項式は、そのグラフの適切な彩色の数を数えます。^{[ 39 ]}

形容詞としての「多項式」という用語は、多項式形式で表せる量や関数にも使用できます。例えば、計算複雑性理論において、 「多項式時間」とは、アルゴリズムの実行にかかる時間が、入力サイズなどの変数の多項式関数によって制限されることを意味します。

等号の最も古い使用例は、ロバート・レコードの『ウィッテの砥石』（1557年）に見られる。加算を表す記号 +、減算を表す記号 −、未知数を表す文字の使用は、マイケル・スティフェルの『積分算術』（1544年）に見られる。ルネ・デカルトは、『幾何学』（1637年）で多項式方程式のグラフの概念を導入した。彼は、上記の1変数多項式の一般式に見られるように、定数を表すのにアルファベットの最初の文字を、変数を表すのにアルファベットの最後の文字を使用することを普及させた。ここで、aは定数を表し、x は変数を表す。デカルトは指数を表すために上付き文字の使用も導入した。^{[ 40 ]}