アインシュタインの問題

平面幾何学において、アインシュタイン問題は、それ自体が非周期的な原形集合を形成する単一の原形の存在について問うものである。つまり、空間を非周期的にしかモザイク状に分割できない形状である。このような形状は、ドイツ語で「一つの石」を意味するein Stein をもじって、アインシュタインと呼ばれる。^[2]

この問題には、非周期性の特定の定義や、タイルとして適格となる集合の仕様、許可されるマッチング規則の種類などに応じて、いくつかのバリエーションがあり、1990 年代から解決されてきました。問題の最も厳密なバージョンは、2022 年に最初の発見が行われた後、2023 年に解決されました。

アインシュタインの問題は、ヒルベルトの第18問題の第2部の自然な拡張と見ることができます。ヒルベルトの第18問題では、ユークリッド3次元空間を敷き詰める単一の多面体を求めていますが、この多面体によるタイル張りはどれも等面体ではありません。^[3]このような異面体タイルは1928年にカール・ラインハルトによって発見されましたが、これらの異面体タイルはすべて空間を周期的に敷き詰めます。

1988 年、ピーター・シュミットは 3 次元ユークリッド空間で単一の非周期プロトタイプを発見しました。このプロトタイプによるタイリングでは対称性として並進運動は認められませんが、いくつかはスクリュー対称性を持っています。スクリュー操作は並進運動と π の無理数倍の回転の組み合わせであるため、何度繰り返しても純粋な並進運動にはなりません。この構成はその後、ジョン・ホートン・コンウェイとルートヴィヒ・ダンツァーによって凸非周期プロトタイプ、シュミット・コンウェイ・ダンツァー タイルに拡張されました。スクリュー対称性の存在により、非周期性の要件が再評価されました。^[4] チャイム・グッドマン＝シュトラウスは、タイリングが対称性としてユークリッド運動の無限巡回群を許容しない場合は強く非周期的であるとみなし、強い非周期性を強制するタイルセットのみを強く非周期的と呼び、他のセットは弱く非周期的と呼ぶことを提案した。^[5]

1996 年、ペトラ・グメルトは装飾された十角形タイルを作成し、タイルのペアの間に 2 種類の重なりが許される場合、タイルは平面を覆うことができるが、非周期的であることを示した。^[6]タイリングは通常、重なりのない覆いであると理解されているため、グメルトのタイルは非周期的プロトタイプとは見なされません。ユークリッド平面上の1 つのタイルのみで構成される非周期タイル セット (ソコラー - テイラー タイル) は、2010 年の初めにジョシュア・ソコラーとジョアン・テイラーによって提案されました。^[7]この構築には、2 つのタイルの相対的な向きを制限し、タイルに描かれた装飾を参照するマッチング ルールが必要であり、これらのルールは隣接していないタイルのペアに適用されます。あるいは、マッチング ルールのない装飾のないタイルを作成することもできますが、タイルは接続されません。この構造は、マッチング規則のない 3 次元の接続タイルに拡張できますが、このタイルは一方向に周期的なタイリングを許可するため、弱い非周期性しかありません。さらに、タイルは単純に接続されていません。

2022年11月、趣味人のデイビッド・スミスは、60°–90°–120°–90°の凧（三角錐の三角格子）を8つコピーして端から端まで接着した「帽子」形のタイルを発見した。このタイルは平面を非周期的にタイル張りしているだけのように思われた。^[8]スミスは数学者のクレイグ・S・カプラン、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ、チャイム・グッドマン＝ストラウスの協力を得て、2023年3月にグループは、帽子をその鏡像と見なすと非周期的な原始集合を形成することを証明するプレプリントを投稿した。 ^{[9] [10]さらに、帽子は同じ非周期的性質を持つタイルの無限族に一般化できる。2024年7月現在、この結果は}Combinatorial Theory誌に正式に掲載されている。 ^[11]

2023年5月、同じチーム（スミス、マイヤーズ、カプラン、グッドマン＝シュトラウス）は、「スペクター」と呼ばれ、「帽子」に関連する形状のファミリーに関する新しいプレプリントを投稿しました。これらの形状はそれぞれ、回転と平行移動のみを使用して平面をタイル化できます。^[12]さらに、「スペクター」タイルは「厳密にキラルな」非周期モノタイルです。つまり、反射が許可されている場合でも、すべてのタイル化は非周期的であり、スペクターの1つのキラリティのみを使用します。つまり、スペクターとその鏡像の両方を使用する平面のタイル化は存在しません。

2023年、ニューヨークの国立数学博物館とロンドンの英国数学財団が主催する公開コンテストで、アインシュタインの帽子の独創的な表現を募集した。32か国から245点以上の応募作品の中から3人の優勝者が選ばれ、英国下院で行われた式典で賞が授与された。^{[13] [14]}

アインシュタインの分子類似体は、キラルな2次元準結晶を形成するために使用できる可能性がある。^[15]

• バイナリタイリング、単一のタイルで双曲面を弱非周期的にタイリングする
• シュミット – コンウェイ – ダンザー タイル、3 次元

• スミス、マイヤーズ、カプラン、グッドマン・ストラウスによる非周期的モノタイル
• Haran, Brady; MacDonald, Ayliean (2023)。「Newtyle の新しいタイル」(ビデオ) 。Numberphile。