ガウス円問題

数学において、ガウス円問題とは、原点を中心とし半径が一定の円の中に、いくつの整数格子点が存在するかを決定する問題である。${\displaystyle r}$この数は円の面積で近似されるため、本当の問題は、点の数が面積とどれだけ異なるかを表す誤差項を正確に制限することです。この問題の解決に最初に取り組んだのはカール・フリードリヒ・ガウスであり、それがこの問題の名前の由来となっています。

円を考えてみましょう$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$原点を中心とし、半径は${\displaystyle r\geq 0}$ガウスの円の問題は、次の形式の円の内部にいくつの点があるかを問うものです。${\displaystyle (m,n)}$どこ${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$は両方とも整数です。この円の方程式はデカルト座標で次のように与えられます。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$つまり、この質問は、次のような整数mとnのペアがいくつあるかを尋ねているのと同じです。

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

与えられた答えが${\displaystyle r}$は、${\displaystyle N(r)}$次に、次のリストは最初のいくつかの値を示します。${\displaystyle N(r)}$のために${\displaystyle r}$0から12までの整数に続いて値のリスト$\displaystyle \pi r^{2}}$最も近い整数に丸めます。

1、5、13、29、49、81、113、149、197、253、317、377、441 （ OEISの配列A000328）

0、3、13、28、50、79、113、154、201、254、314、380、452 （ OEISの配列A075726）

${\displaystyle N(r)}$おおよそ$\displaystyle \pi r^{2}}$半径の円の内側の領域${\displaystyle r}$これは、平均して各単位正方形に1つの格子点が含まれているためです。したがって、円内の実際の格子点の数は、その面積とほぼ等しくなります。$\displaystyle \pi r^{2}}$したがって、

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

何らかの誤差項に対して${\displaystyle E(r)}$絶対値が比較的小さい。正しい上限を見つける${\displaystyle \mid E(r)\mid }$これが問題の形態である。${\displaystyle r}$整数である必要はありません。 ${\displaystyle N(4)=49}$1つは${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$これらの場所で${\displaystyle E(r)}$増加する${\displaystyle 8,4,8,12}$その後減少する（${\displaystyle 2\pi r}$）次に増加するまで。

ガウスは^{[ 1 ]}において、${\displaystyle r\geq {\sqrt {2}}}$、

${\displaystyle |E(r)-2|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

ハーディ^{[ 2 ]}と、独立にランダウは、以下のことを示すことで下限値を発見した。

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

小文字の o 記法を用いて、正しい境界は であると推測されている^{[ 3 ] 。}

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

書き込み${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$現在の境界は${\displaystyle t}$は

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

下限は1915年にハーディとランダウによって、上限は2000年にマーティン・ハクスリーによって証明された。 ^{[ 4 ]}

価値${\displaystyle N(r)}$いくつかの級数で表すことができます。床関数を含む和の形で表すと次のようになります。 ^{[ 5 ]}

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

これはヤコビの2平方定理の結果であり、ヤコビの3乗積からほぼ直ちに導かれる。^{[ 6 ]}

二乗和関数を用いると、はるかに単純な和が現れます。$\displaystyle r_{2}(n)$は、その数を書き表す方法の数として定義されます。${\displaystyle n}$2つの平方数の和として。すると^{[ 7 ]}

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

最新の進歩は、ハーディによって最初に発見された次の恒等式に基づいています。^{[ 8 ]}

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$

どこ${\displaystyle J_{1}}$は、1次の第1種ベッセル関数を表す。

元の問題は円内の整数格子点を求めているが、円錐曲線などの他の形状を考慮しない理由はない。実際、ディリクレの除数問題は、円を直角双曲線に置き換えた同等の問題である。^{[ 3 ]} 同様に、問題を2次元からより高次元に拡張し、球体や他の物体内の整数点を求めることもできる。これらの問題に関する文献は豊富にある。幾何学を無視して、単に問題をディオファントス不等式の代数問題として考えるならば、問題に現れる指数を2乗から3乗、あるいはそれ以上に増やすことができる。

ドットプラニメーターは、同じ原理に基づいて図形の面積を推定するための物理的な装置です。透明なシートに印刷された正方形のドットグリッドで構成されており、図形の面積は、図形内のドットの数とグリッドの正方形の面積の積として推定できます。^{[ 9 ]}

• ワイスタイン、エリック W. 「ガウスの円問題」。マスワールド。
• サンダーソン、グラント（2017年5月19日）。「素数の規則性に隠された円周率」。3Blue1Brown 。