外側のビリヤード

アウタービリヤードは、平面上の凸形状に基づく動的システムです。古典的には、このシステムはユークリッド平面^[1]に対して定義されますが、双曲面^[2]や平面を適切に一般化する他の空間内のシステムも考えることができます。アウタービリヤードは、形状の内側ではなく 外側の離散的な一連の動きを扱う点で、通常の動的ビリヤードとは異なります。

P を平面上の凸形状とします。P の外側に点 x0 がある場合、通常は唯一の点 x1 (これも P の外側) が存在し、x0 と x1 を結ぶ線分は P の中点で接し、x0 から x1 まで歩くと P が右側に見えるようになります (図を参照)。マップ F: x0 -> x1 は、外部ビリヤード マップと呼ばれます。

逆（または逆方向）の外側ビリヤード マップも、マップ x1 -> x0 として定義されます。逆マップは、上記の定義で単語rightを単語leftに置き換えるだけで得られます。図はユークリッド平面での状況を示していますが、双曲平面での定義も 基本的に同じです。

外部ビリヤード軌道は 、点のすべての反復の集合、すなわち... x0 ↔ x1 ↔ x2 ↔ x3 ... です。つまり、x0 から始めて、外部ビリヤード マップと逆外部ビリヤード マップの両方を反復的に適用します。P が楕円などの厳密に凸形状の場合、P の外部のすべての点には明確に定義された軌道があります。P が多角形の場合、関連する接線の中点を選択する際の潜在的なあいまいさのため、一部の点には明確に定義された軌道がない可能性があります。ただし、多角形の場合は、ほぼすべての点に明確に定義された軌道があります。

• 軌道が最終的に繰り返される場合、その軌道は周期的であると呼ばれます。
• 軌道が周期的でない場合、その軌道は非周期的 （または非周期的）と呼ばれます。
• 平面上の境界のある領域に軌道全体が含まれる場合、その軌道は境界付き（または安定）であると呼ばれます。
• 軌道が境界を持たない場合、その軌道は非境界(または不安定)であると呼ばれます。

高次元空間における外部ビリヤード システムの定義は、この記事の範囲を超えています。通常のビリヤードの場合とは異なり、定義は単純ではありません。マップの自然な設定の 1 つは、複素ベクトル空間です。この場合、各ポイントで凸体に接する線の自然な選択があります。これらの接線は、法線から始めて、複素構造を使用して90 度回転することで取得されます。これらの区別された接線を使用して、おおよそ上記のように外部ビリヤード マップを定義できます。^[1]

多くの人は、外ビリヤードの導入を1950年代後半のベルンハルト・ノイマンに帰しているが、 ^[3] 少数の人々は、M・デイによる1945年のより早い構築を挙げているようだ。ユルゲン・モーザーは、 1970年代に天体力学のおもちゃのモデルとしてこのシステムを普及させた。^{[4] [5]このシステムは、古典的には}ユークリッド平面で研究され、最近では双曲面でも研究されている。より高次元の空間も考慮することができるが、本格的な研究はまだ行われていない。 ベルンハルト・ノイマンは、外ビリヤードシステムで無制限の軌道を持つことができるかどうかという疑問を非公式に提起し、モーザーは1973年にそれを文書化した。^{[4]この基本的な疑問は、}モーザー＝ノイマン問題 と呼ばれることもある。もともとユークリッド平面上の図形に対して提起され、ごく最近になって解決されたこの問題は、この分野における指針となる問題となっている。

1970年代に、ユルゲン・モーザーは、KAM理論に基づいて、6回微分可能な 正の曲率を持つ形状に対する外接ビリヤードのすべての軌道が有界であることの証明をスケッチしました。1982年に、ラファエル・ドゥアディはこの結果の完全な証明を与えました。^[6] 多角形の場合の大きな進歩は、数年にわたって、ヴィヴァルディ＝シャイデンコ^[7]、コロジェイ^[8]、およびグトキン＝シマニ^{[9]の3つの著者チームがそれぞれ異なる方法を使用して、}準有理多角形に対する外接ビリヤードのすべての軌道が有界であることを示したときに起こりました。準有理という概念は技術的なものですが（参考文献を参照）、これには正多角形と 凸有理多角形、つまり頂点が有理座標を持つ凸多角形のクラスが含まれます。有理多角形の場合、すべての軌道が周期的です。 1995 年、セルゲイ・タバチニコフは、正五角形の外側のビリヤードに非周期的な軌道があることを示し、有理数の場合と正数の場合のダイナミクスの違いを明確にしました。^[1] 1996 年、フィリップ・ボイランドは、いくつかの形状に対する外側のビリヤードには、その形状上に蓄積する軌道があることを示しました。^{[10] 2005 年、ダニエル・ジェニンは​​、形状が}台形のときにすべての軌道が有界であることを示し、準有理性がシステムのすべての軌道が有界であるための必要条件ではないことを示しまし た。 ^[11] (すべての台形が準有理数であるわけではありません。)

2007 年、リチャード・シュワルツは、外側のビリヤードはペンローズ凧を基準にして定義するといくつかの無限軌道を持つことを示し、元のモーザー・ノイマン問題に肯定的に答えました。^[12]ペンローズ凧は、凧とダーツのペンローズタイリングからの凸 四辺形です。その後、シュワルツは、外側のビリヤードは任意の無理凧を基準にして定義すると無限軌道を持つことを示しました。^[13]無理凧とは、次の特性を持つ四辺形です。四辺形の対角線の1 つは領域を 2 つの等しい面積の三角形に分割し、もう 1 つの対角線は領域を 2 つの面積が互いの有理倍ではない三角形に分割します。2008 年、ドミトリー・ドルゴピャットとバッサム・ファイヤドは、半円板を基準にして定義された外側のビリヤードは無限軌道を持つことを示しました。^[14]半円板とは円板を半分に切ったときに得られる領域である。ドルゴピャト＝ファヤドの証明は堅牢であり、ほぼという言葉が適切に解釈されれば、円板をほぼ半分に切ったときに得られる領域にも適用できる。

2003年、フィリズ・ドゥルとセルゲイ・タバチニコフは、双曲平面上の特定の凸多角形のすべての軌道が無限であることを示した。^[15]著者らはそのような多角形を「大きい」と呼んでいる。（定義については参考文献を参照。）フィリズ・ドゥルとサミュエル・オッテンは2011年にこの研究を拡張し、双曲平面上の正多角形テーブルのすべての軌道が無限である、つまり大きいための条件を特定した。^[16]

通常の多角形ビリヤードでは、周期軌道の存在は未解決の大きな問題です。たとえば、すべての三角形のテーブルが周期的なビリヤード軌道を持つかどうかは不明です。外側のビリヤードについてはさらに進歩がありましたが、状況は十分に理解されているとは言えません。前述のように、システムがユークリッド平面の凸有理多角形に対して定義されている場合、すべての軌道は周期的です。さらに、Chris Culter の最近の定理 (Sergei Tabachnikov によって記述) では、任意の凸多角形に対する外側のビリヤードは周期軌道を持ち、実際には任意の境界領域の外側に周期軌道があることを示しています。^[17]

アウタービリヤードはまだ初期段階の課題です。ほとんどの問題はまだ解決されていません。この分野における未解決の問題をいくつか紹介します。

• ほぼすべての 凸多角形に対する外側のビリヤードには無限軌道があることを示します。
• 正多角形に対する外側のビリヤードのほぼすべての軌道が周期的であることを示します。正三角形と正方形の場合は自明であり、タバチニコフは正五角形についてこれに答えました。これらは知られている唯一のケースです。
• より広義には、典型的な凸多角形に対する周期軌道の集合の構造を特徴付ける。
• 小さな正三角形など、双曲面上の単純な形状に対する周期軌道の構造を理解する。

• 照明の問題