コセット

数学、特に群論では、群Gの部分群 H は、基となる集合Gを、互いに素で等しいサイズの部分集合である剰余類に分解するために使用できます。剰余類には左剰余類と右剰余類があります。剰余類 (左剰余類と右剰余類の両方) は、Hと同じ数の要素 (濃度)を持ちます。さらに、H自体は左剰余類でも右剰余類でもあります。GにおけるHの左剰余類の数は、 GにおけるHの右剰余類の数に等しくなります。この共通の値はGにおけるHのインデックスと呼ばれ、通常は[ G  : H ]と表記されます。

剰余類は群の研究における基本的なツールです。たとえば、任意の有限群Gについて、 Gのすべての部分群Hの元の数はGの元の数を割り切るというラグランジュの定理において、剰余類は中心的な役割を果たします。特定の種類の部分群 (正規部分群) の剰余類は、商群または因数群と呼ばれる別の群の元として使用できます。剰余類は、ベクトル空間や誤り訂正符号などの数学の他の分野にも登場します。

H を群Gの部分群とし、その演算は乗法的に記述されるものとする（並置は群の演算を表す）。G の元 g が与えられたとき、 GにおけるHの左剰余類は、 Hの各元にGの固定元gを乗じて得られる集合である（gは左因数）。記号で表すと、

右剰余類も同様に定義されるが、要素gは右因数となり、

g が群の中で変化すると、多くの剰余類（右または左）が生成されるように見えます。しかし、任意の 2 つの左剰余類（それぞれ右剰余類）は、集合として互いに素であるか同一であるかのいずれかであることがわかります。^[1]

群演算が加法的に記述される場合（群がアーベル群である場合によくあるケース）、使用される表記はそれぞれg + HまたはH + gに変わります。

記号G / H は、(左)剰余類の集合 { gH  : g Gの元} に使用されることがあります (右剰余類と二重剰余類への拡張については以下を参照)。ただし、一部の著者 (Dummit & Foote や Rotman など) は、 H がGの正規部分群である場合に剰余類から形成される商群を表すためにこの表記法を特別に予約しています。

G を6 次二面体群とする。その要素は{ I、a、a ²、b、ab、a ² b }で表すことができる。この群では、a ³ = b ² = Iかつba = a ² bである。これは、ケイリー表全体を埋めるのに十分な情報である。

T を部分群{ I , b }とする。T の（異なる）左剰余類は以下の通りである。

• IT = T = { I , b }、
• aT = { a , ab }であり、
• a ² T = { a ²、a ² b }です。

Gのすべての要素がこれらの剰余類の 1 つに現れたので、これ以上生成しても新しい剰余類は生成されません。新しい剰余類は、これらの剰余類の 1 つと共通の要素を持つ必要があり、したがってこれらの剰余類の 1 つと同一になります。たとえば、abT = { ab , a } = aTです。

Tの右剰余類は次の通りです。

• TI = T = { I , b }、
• Ta = { a , ba } = { a , a ² b }であり、
• Ta ² = { a ² , ba ² } = { a ² , ab }。

この例では、Tを除いて、左剰余類は右剰余類でもあることはありません。

H を部分群{ I , a , a ² }とする。 Hの左剰余類はIH = HかつbH = { b , ba , ba ² }である。 Hの右剰余類はHI = HかつHb = { b , ab , a ² b } = { b , ba ² , ba }である。 この場合、Hのどの左剰余類もHの右剰余類である。^[2]

Hを群Gの部分群とし、 g ₁ , g ₂ ∈ Gと仮定する。以下の文は同値である: ^[3]

• g ₁ H = g ₂ H
• 水銀₁ ⁻¹ =水銀₂ ⁻¹
• g ₁ H ⊂ g ₂ H
• g ₂ ∈ g ₁ H
• g ₁ ⁻¹ g ₂ ∈ H

非同一剰余類の非素性は、x がgHに属する場合、gH = xHであるという事実の結果です。 x ∈ gHの場合、 ga = xとなるa ∈ Hが存在する必要があります。したがって、xH = ( ga ) H = g ( aH )です。さらに、H は群であるため、aによる左乗算は全単射であり、aH = Hです。

したがって、 Gのあらゆる元は部分群Hのちょうど1つの左剰余類に属し、^[1] H自体も左剰余類（そして恒等剰余類を含む剰余類）である。^[2]

同じ左剰余類に属する 2 つの要素は、自然な同値関係も提供します。xH = yH ( または同等にx ⁻¹ y がHに属する場合 )の場合、Gの2 つの要素xとy が部分群Hに関して同値であると定義します。この関係の同値類はHの左剰余類です。^[4]任意の同値類の集合と同様に、それらは基礎となる集合の分割を形成します。剰余類の代表は、同値類の意味での代表です。すべての剰余類の代表の集合は、横断的と呼ばれます。共役など、ここで説明する特性を持たない異なるクラスを形成する、グループ内の他のタイプの同値関係もあります。

右剰余類にも同様の説明が当てはまります。

G がアーベル群である場合、Gのすべての部分群Hと G のすべての元gに対して、 g + H = H + g が成立します。一般の群では、群 G の元g と部分群 H が与えられると、 gに関するHの右剰余類は、 gに関する共役部分群g ⁻¹ Hgの左剰余類でもあります。つまり、Hg = g ( g ⁻¹ Hg )です。

群Gの部分群NがGの正規部分群となるのは、Gのすべての元gに対して対応する左剰余類と右剰余類が等しい場合、つまりgN = Ng である場合に限ります。これは、上記の最初の例の部分群Hの場合に当てはまります。さらに、 GのNの剰余類は、商群または因子群G  /  Nと呼ばれる群を形成します。

HがGにおいて正規でない場合、その左剰余類は右剰余類と異なります。つまり、Gにはaが存在し、その要素b はaH = Hb を満たしません。これは、 GをHの左剰余類に分割することは、GをHの右剰余類に分割することとは異なる分割であることを意味します。これは、上記の最初の例のサブグループTによって示されています。(一部の剰余類は一致する場合があります。たとえば、a がGの中心にある場合、aH = Haです。)

一方、部分群N が正規である場合、すべての剰余類の集合は、 ( aN ) ∗ ( bN ) = abNで定義される演算∗を持つ商群G  /  Nと呼ばれる群を形成します。すべての右剰余類は左剰余類であるため、「左剰余類」と「右剰余類」を区別する必要はありません。

Hの左または右の剰余類はすべて、H自体と同じ数の要素（無限のHの場合は濃度）を持ちます。さらに、左剰余類の数は右剰余類の数に等しく、GにおけるHのインデックスと呼ばれ、[ G  : H ]と書きます。ラグランジュの定理により、 GとHが有限の場合のインデックスを計算できます。 この式は、群が無限の場合に一般化できます。 $${\displaystyle |G|=[G:H]|H|.}$$

Gを整数の加法群Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +)、H を部分群(3 Z , +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +) とします。すると、 GにおけるHの剰余類は3 Z、3 Z + 1、3 Z + 2の 3 つの集合で、3 Z + a = {..., −6 + a、 −3 + a、a、 3 + a、 6 + a、 ...}となります。これら 3 つの集合は集合Z を分割するため、 Hの右剰余類は他に存在しません。加法の交換法則により、 H + 1 = 1 + HおよびH + 2 = 2 + Hとなります。つまり、Hのすべての左剰余類は右剰余類でもあるため、Hは正規部分群です。^[5]（同じ議論から、アーベル群のすべての部分群は正規群であることが分かる。^[6]）

この例は一般化できます。再びGを整数の加法群Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +)とし、H をサブグループ( m Z , +) = ({..., −2 m , − m , 0, m , 2 m , ...}, +)とします。ここでm は正の整数です。すると、GにおけるHの剰余類はm 個の集合m Z、m Z + 1、 ...、m Z + ( m − 1)です。ここでm Z + a = {..., −2 m + a、 − m + a、a、m + a、 2 m + a、 ...}です。 m Z + m = m ( Z + 1) = m Zなので、剰余類はm 個より多くはありません。剰余類( m Z + a , +)は、 mを法としてaの合同類です。^[7]部分群m ZはZに正規群であるため、 mを法とする整数群である商群Z  /  m Zを形成するために使用できる。

剰余類の別の例は、ベクトル空間の理論から来ている。ベクトル空間の元（ベクトル）は、ベクトルの加法の下でアーベル群を形成する。ベクトル空間の部分空間は、この群の部分群である。ベクトル空間V、部分空間W 、およびV内の固定ベクトルaについて、集合は アフィン部分空間 と呼ばれ、剰余類である（群はアーベルなので、左と右の両方）。3次元幾何学的ベクトルの観点から見ると、これらのアフィン部分空間はすべて、部分空間に平行な「線」または「平面」であり、部分空間は原点を通る線または平面である。たとえば、平面R 2^を考えてみよう。mが原点O を通る線である場合、m はアーベル群R ²の部分群である。P がR ²内にある場合、剰余類P + m は、 mに平行でP を通る線m ′である。^[8]$${\displaystyle \{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}}$$

G を行列の乗法群とし、[ ^9] Gの 部分群HをGとします。G の固定された元に対して左剰余類を考えます 。 つまり、左剰余類はG内のすべての行列が同じ左上要素を持つものから構成されます。この部分群HはGでは正規ですが、部分群は G では正規ではありません。 $${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}$$$${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$$

群Gの部分群H は、 HのGへの作用を2 つの自然な方法で定義するために使用できます。右作用G × H → Gは( g , h ) → ghで与えられ、左作用H × G → Gは( h , g ) → hgで与えられます。右作用によるgの軌道は左剰余類gHであり、左作用による軌道は右剰余類Hgです。^[10]

剰余類の概念は、 1830年から1831年にかけてのガロアの研究に遡る。ガロアは記法を導入したが、概念に名前を与えなかった。「剰余類」という用語は、1910年にGAミラーの論文『Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics』（第41巻、382ページ）で初めて登場したようだ。ドイツのNebengruppen（Weber）や共役群（Burnside）など、さまざまな用語が使用されてきた。^[11]（ミラーは自己引用をQuarterly Journal of Mathematicsと略しているが、これは1930年まで出版が開始されなかった 同名の雑誌を指すものではないことに注意。）

ガロアは、与えられた多項式方程式が根号で解けるかどうかを決定することに関心があった。彼が開発したツールは、順列群Gの部分群H がGの 2 つの分解(現在では左剰余類と右剰余類と呼ばれる) を誘導することに注目することだった。これらの分解が一致する場合、つまり左剰余類が右剰余類と同じである場合、問題をGではなくHに当てはめる方法があった。カミーユ・ジョルダンは1865 年と 1869 年のガロアの研究に関する注釈でこれらのアイデアを詳しく説明し、上記のように正規部分群を定義したが、この用語は使用しなかった。^[6]

gHをHに関するgの左剰余類と呼ぶことは、今日では最も一般的であるが、^{[10]過去には普遍的に当てはまらなかった。例えば、ホール（1959）は}gHを右剰余類と呼び、部分群が右側にあることを強調した。

2 進線形符号は、2 進体GF(2)上のm次元ベクトル空間Vのn次元部分空間Cです。V は加法アーベル群なので、C はこの群の部分群です。 符号は、送信時に発生する可能性のあるエラーを訂正するために使用できます。符号語( Cの要素) が送信されると、そのビットの一部がプロセスで変更される場合があり、受信側のタスクは、破損した受信語が最初に使用されていた可能性が最も高い符号語を決定することです。 この手順は復号化と呼ばれ、送信時に少数のエラーしか発生しない場合は、非常に少ない間違いで効果的に行うことができます。 復号化に使用される 1 つの方法では、Vの要素(受信語はVの任意の要素である可能性があります)を標準配列に配置します。 標準配列は、特定の方法で表形式にされたVの剰余類分解です。 つまり、配列の最上行はCの要素で構成され、ゼロベクトルを最初に記述することを除いて、任意の順序で記述されます。次に、最上行にまだ現れていない最小数の 1 を持つVの要素が選択され、この要素を含むCの剰余類が 2 行目に書き込まれます (つまり、この行は、この要素とそのすぐ上のCの各要素の合計を取ることによって形成されます)。この要素は剰余類リーダーと呼ばれ、選択にはいくつかの選択肢があります。ここで、このプロセスが繰り返され、最小数の 1 を持つ新しいベクトルが新しい剰余類リーダーとして選択され、それを含む C の剰余類が次の行になります。V のすべてのベクトルが剰余類に分類されると、プロセスは終了します。

5次元空間V (32ベクトル) 内の2次元コードC = {00000, 01101, 10110, 11011}の標準配列の例は次のとおりです。

デコード手順は、テーブルで受信したワードを見つけ、それが含まれている行のコセット リーダーをそれに追加することです。バイナリ演算では、加算は減算と同じ操作であるため、常にCの要素になります。コセット リーダーのゼロ以外の位置で送信エラーが発生した場合、結果は正しいコードワードになります。この例では、1 つのエラーが発生した場合、配列に 1 つのエラーを含むすべての可能なコセット リーダーが表示されるため、メソッドは常にそれを修正します。

シンドローム復号法は、この方法の効率を向上させるために使用できます。これは、受信語が含まれる正しいコセット（行）を計算する方法です。m次元のバイナリベクトル空間のn次元コードCの場合、パリティ検査行列は、 x がCに含まれる場合にのみx H ^T = 0となる特性を持つ( m − n ) × m行列Hです。^[12]ベクトルx H ^Tはxのシンドロームと呼ばれ、線形性により、同じコセット内のすべてのベクトルは同じシンドロームを持ちます。復号するには、検索は受信語と同じシンドロームを持つコセットリーダーを見つけることに簡略化されます。^[13]

群Gの2つの部分群HとK (これらは異なる必要はない)が与えられたとき、GにおけるHとKの二重剰余類はHgK = { hgk  : hはHの元、kはKの元}の形の集合である。これらはそれぞれH = 1とK = 1 のときのKの左剰余類とHの右剰余類である。^[14]

2つの二重剰余類HxKとHyKは互いに素であるか同一であるかのいずれかである。^{[15]固定された}HとKに対するすべての二重剰余類の集合はGの分割を形成する。

二重剰余類HxKは、Kの元kを持つHxk形式の（Gにおける） Hの完全右剰余類と、 Hの元hを持つhxK形式の（Gにおける） Kの完全左剰余類を含む。^[15]

G を部分群HとK を持つ群とする。これらの集合を研究している何人かの著者は、その研究のために特別な記法を開発しており、^{[16] [17]}

• G  /  H は、 G内のHの左剰余類の集合{ gH  : g in G }を表します。
• H  \  G は、G内のHの右剰余類の集合{ Hg  : g in G }を表します。
• K  \  G  /  H は、 HとG内のKの二重剰余類の集合{ KgH  : g in G }を表し、二重剰余類空間と呼ばれることもあります。
• G  //  H はGの部分群Hの二重剰余類空間H  \  G  /  Hを表します。

• RのQの剰余類は、非測定集合の一種であるVitali 集合の構築に使用されます。
• 剰余類は転送の定義において中心的な役割を果たします。
• 剰余類は計算群論において重要です。たとえば、ルービック キューブを解くためのThistlethwaite のアルゴリズムは剰余類に大きく依存しています。
• 幾何学において、クリフォード・クライン形式は二重剰余類空間Γ \  G  /  Hであり、ここでGは簡約リー群、Hは閉部分群、Γは同次空間G  /  H上で適切に不連続に作用する（Gの）離散部分群である。

• ヒープ
• 剰余類列挙

• バートン、デイビッド・M. (1988)、抽象代数、Wm. C. ブラウン出版社、ISBN 0-697-06761-0
• ディーン、リチャード A. (1990)、古典抽象代数、ハーパー＆ロウ、ISBN 0-06-041601-7
• フレイリー、ジョン・B.（1994）、抽象代数入門（第5版）、アディソン・ウェズレー、ISBN 978-0-201-53467-2
• ホール・ジュニア、マーシャル（1959）『群論』マクミラン社
• ジェイコブソン、ネイサン (2009) [1985]、Basic Algebra I (第2版)、ドーバー、ISBN 978-0-486-47189-1
• Joshi, KD (1989)、「§5.2 部分群の剰余類」、離散数学の基礎、ニューエイジインターナショナル、322 ページ以降、ISBN 81-224-0120-1
• ミラー、GA（2012）[1916]、有限群の理論と応用、アップルウッドブックス、ISBN 9781458500700
• ロットマン、ジョセフ・J.（2006）、応用付き抽象代数入門（第3版）、Prentice-Hall、ISBN 978-0-13-186267-8
• スコット、WR (1987)、「§1.7 剰余類と指数」、群論、Courier Dover Publications、pp. 19 ff、ISBN 0-486-65377-3

• Zassenhaus, Hans J. (1999)、「§1.4 サブグループ」、グループ理論、Courier Dover Publications、10 ページ以降、ISBN 0-486-40922-8

• Nicolas Bray. 「Coset」. MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「左剰余類」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「右剰余類」。MathWorld。
• イワノバ、OA (2001) [1994]、「グループ内の剰余類」、数学百科事典、EMS プレス
• PlanetMathの Coset 。
• 図解例
• 「Coset」。groupprops。グループプロパティ Wiki。