リャプノフ関数

常微分方程式(ODE)の理論において、アレクサンドル・リャプノフにちなんで名付けられたリャプノフ関数は、 ODE の平衡の安定性を証明するために使用できるスカラー関数です。リャプノフ関数 (リャプノフの安定性に関する第 2 法とも呼ばれる) は、動的システムの安定性理論と制御理論にとって重要です。同様の概念は、通常フォスター・リャプノフ関数という名前で、 一般的な状態空間マルコフ連鎖の理論に登場します。

特定のクラスの ODE では、リアプノフ関数の存在は安定性の必要十分条件です。ODE のリアプノフ関数を構築する一般的な手法はありませんが、多くの特定のケースではリアプノフ関数の構築方法が知られています。たとえば、 1 つの状態を持つシステムには2 次関数で十分であり、特定の線形行列不等式の解は線形システムのリアプノフ関数を提供し、物理システムのリアプノフ関数を構築するには保存則がよく使用されます。

自律動的システムのためのリアプノフ関数

${\displaystyle {\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}}$

平衡点が であるスカラー関数は、連続であり、連続する第 1 導関数を持ち、に対して厳密に正であり、時間導関数が非正である (これらの条件は、原点を含むいくつかの領域で必要) です。に対して厳密に正である(より強い) 条件は、が局所的に正定値である、または が局所的に負定値であると表現されることがあります。 ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g}$${\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}$${\displaystyle \nabla {V}\cdot g}$

リャプノフ関数は力学系の平衡点の研究で登場する。任意の自律力学系では次のように書ける。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$

スムーズな${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

平衡点とは、平衡点が与えられたときに、常に次のような 座標変換が存在する点である。${\displaystyle y^{*}}$${\displaystyle g\left(y^{*}\right)=0.}$${\displaystyle y^{*},}$${\displaystyle x=yy^{*},}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\dot {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}}$

したがって、平衡点を研究する場合、平衡点が で発生すると仮定すれば十分です。 ${\displaystyle 0}$

連鎖律によれば、任意の関数について、力学系の解に沿って評価した関数の時間微分は ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle {\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).}$

かつ原点の近傍が存在し、次の条件を満たす場合、関数は局所正定値関数（動的システムの意味で）であると定義されます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H(0)=0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle H(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.}$

を自律システムの平衡点と する${\displaystyle x^{*}=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$

そして、次の表記法を使用して、リャプノフ候補関数の時間微分を表す。 ${\displaystyle {\dot {V}}(x)}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).}$

平衡点が孤立している場合、リャプノフ候補関数は局所的に正定値であり、リャプノフ候補関数の時間微分は局所的に負定値である。 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}(0)\setminus \{0\},}$

原点のいくつかの近傍に対して、均衡は局所的に漸近的に安定であることが証明されます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$

がリャプノフ関数である場合、平衡はリャプノフ安定です。逆もまた真であり、José Luis Masseraによって証明されました。 ${\displaystyle V}$

リャプノフ候補関数が大域的に正定値、放射状に無限、孤立平衡、およびリャプノフ候補関数の時間微分が大域的に負定値である場合: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}$

すると、均衡は大域的に漸近的に安定であることが証明されます。

リャプノフ候補関数が放射状に非有界となるのは、 ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty 。}$

（これは規範強制性とも呼ばれます。）

上の次の微分方程式を考えます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x.}$

が原点付近で常に正であることを考慮すると、は を研究するのに役立つリャプノフ関数の自然な候補です。 では を見てみましょう。すると、 ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V(x)=x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}$

これは、上記の微分方程式が原点に関して漸近的に安定していることを正しく示しています。同じリャプノフ候補を使用すると、均衡が全体的に漸近的に安定していることも示せることに注意してください。 ${\displaystyle x,}$

• リャプノフ安定性
• 常微分方程式
• 制御リアプノフ関数
• チェタエフ関数
• フォスターの定理
• リアプノフ最適化

• Weisstein、Eric W.「リアプノフ関数」。MathWorld。
• Khalil, HK (1996).非線形システム. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.
• ラ・サール、ジョセフ、レフシェッツ、ソロモン (1961)。リアプノフの直接法による安定性：その応用。ニューヨーク：アカデミック プレス。
• この記事には、 Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Lyapunov 関数の資料が組み込まれています。

• リャプノフ関数を用いた常微分方程式系の平衡解の安定性を決定する例