ワイル代数

ワイル代数${\displaystyle A_{n}}$具体的な表現として構築することができる。

微分演算子表現では、シュレーディンガーの正準量子化と同様に、${\displaystyle q_{j}}$左側の乗算によって表される${\displaystyle x_{j}}$、そして${\displaystyle p_{j}}$左側の微分によって表される${\displaystyle \partial _{x_{j}}}$。

行列表現では、行列力学と同様に、${\displaystyle A_{1}}$^{[ 2 ]}で表される$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&2&0&\cdots \\0&0&0&3&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},\quad Q={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\ldots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$$ 従う${\displaystyle [P,Q]=1.}$

${\displaystyle A_{n}}$生成元と関係式を用いて、自由代数の商として構成することができる。一つの構成法は抽象ベクトル空間から始まる。${\displaystyle V}$（寸法）${\displaystyle 2n}$)シンプレクティック形式を備えた${\displaystyle \omega }$ワイル代数を定義する${\displaystyle W(V)}$である

${\displaystyle W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),}$

どこ${\displaystyle T(V)}$テンソル代数は${\displaystyle V}$、そして表記法${\displaystyle (\!()\!)}$「 ～によって生み出された理想」を意味する。

言い換えると、${\displaystyle W(V)}$は、によって生成される代数です。${\displaystyle V}$関係のみに制約される${\displaystyle vu-uv=\omega (v,u)}$。 それから、${\displaystyle W(V)}$は同型である${\displaystyle A_{n}}$ダルブー基底の選択により${\displaystyle \omega }$。

${\displaystyle A_{n}}$また、ハイゼンベルク代数の普遍包絡代数、ハイゼンベルク群のリー代数の商でもあり、ハイゼンベルク代数の中心要素（すなわち、${\displaystyle [q,p]}$) は、普遍包絡代数の単位（上記で 1 と呼ばれる）に等しい。

代数${\displaystyle W(V)}$は対称代数の量子化である${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$。 もし${\displaystyle V}$体の特性がゼロである場合、${\displaystyle W(V)}$対称代数の基礎となるベクトル空間と自然に同型である${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$変形された積（グローネウォルド・モヤル積と呼ばれる）を備え（対称代数を多項式関数とみなす）${\displaystyle V^{*}}$、ここで変数はベクトル空間を張る。${\displaystyle V}$、そして置き換える${\displaystyle i\hbar }$モヤルの積の式では${\displaystyle 1}$）

同型写像は、対称化写像によって与えられる。${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$に${\displaystyle W(V)}$

${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.}$

もし、${\displaystyle i\hbar }$そして複素数上で作業すると、代わりに上記のワイル代数を次のように定義することもできた。${\displaystyle q_{i}}$そして${\displaystyle i\hbar \partial _{q_{i}}}$（量子力学の用法に基づく）

したがって、ワイル代数は対称代数の量子化であり、本質的にはモヤル量子化（後者については多項式関数に限定する）と同じであるが、前者は生成子と関係（微分演算子とみなされる）の観点から表現され、後者は変形された乗算の観点から表現される。

別の言い方をすれば、モヤルスター積を次のように表す。${\displaystyle f\star g}$すると、ワイル代数は と同型である。${\displaystyle (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}],\star )}$[ ^{3 ]​}

同じ構造が通過するとき${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$に置き換えられます${\displaystyle \mathrm {Alt} (V),}$交代代数または外因代数。この場合、結果はクリフォード代数である。同様に、イデアルを法とするテンソル代数の商空間としての構成も同じ形式である。違いは、イデアルがシンプレクティック形式の代わりに対称双線形形式によって生成されることである。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}構成の類似性を反映して、ワイル代数はしばしばシンプレクティッククリフォード代数と呼ばれ、^{[ 6 ] [ 7 ] [ 4 ]}対称形式によって生成されるものには直交クリフォード代数という名前が付けられる。 ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} 「直交」という名称は、クリフォード代数と回転の関係に由来する。構成の類似性にもかかわらず、これらは表現論の観点から劇的に異なるため、通常は別個に扱われる。 （直交）クリフォード代数の表現は有限次元であるのに対し、ワイル代数には有限次元の表現は存在せず、その表現は無限次元かつ一意である。

ワイル代数はD加群として構成できる。^{[ 9 ]}具体的には、多項式環に対応するワイル代数は${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$通常の偏微分構造を持つものは、グロタンディークの微分演算環と正確に等しい。${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{R}^{n}/R}}$[ ^{9 ]​}

より一般的には、${\displaystyle X}$リング上のスムーズな計画${\displaystyle R}$地元では、${\displaystyle X\to R}$いくつかの要素をエタールカバーとして${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}}$標準射影を備えている。^{[ 10 ]}「エタール」は「（平坦で）零余接層を持つ」という意味なので、^{[ 11 ]}これは、そのようなスキーム上のすべての D 加群は、局所的に、上の加群と考えることができることを意味する。${\displaystyle n^{\text{th}}}$ワイル代数。

させて${\displaystyle R}$部分環上の可換代数である${\displaystyle S}$微分作用素の環${\displaystyle D_{R/S}}$（表記）${\displaystyle D_{R}}$いつ${\displaystyle S}$（文脈から明らか）は、次数付き部分代数として帰納的に定義される。${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$:

• ${\displaystyle D_{R}^{0}=R}$
• ${\displaystyle D_{R}^{k}=\left\{d\in \operatorname {End} _{S}(R):[d,a]\in D_{R}^{k-1}{\text{ for all }}a\in R\right\}.}$

させて${\displaystyle D_{R}}$すべての結合である${\displaystyle D_{R}^{k}}$のために${\displaystyle k\geq 0}$これは、${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$。

の場合${\displaystyle R=S[x_{1},...,x_{n}]}$次数 の微分作用素の環${\displaystyle \leq n}$特殊なケースと同様に提示される${\displaystyle S=\mathbb {C} }$ただし、「分割べき乗演算子」という追加の考慮事項があります。これらは複素数の場合に安定化する演算子に対応するものです。${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},...,x_{n}]}$しかし、高階演算子の整数結合として記述できない、つまり、${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}/\mathbb {Z} }}$その一例が演算子です。${\displaystyle \partial _{x_{1}}^{[p]}:x_{1}^{N}\mapsto {N \choose p}x_{1}^{N-p}}$。

具体的には、プレゼンテーションは

${\displaystyle D_{S[x_{1},\dots ,x_{\ell }]/S}^{n}=S\langle x_{1},\dots ,x_{\ell },\{\partial _{x_{i}},\partial _{x_{i}}^{[2]},\dots ,\partial _{x_{i}}^{[n]}\}_{1\leq i\leq \ell }\rangle }$

関係と共に

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=[\partial _{x_{i}}^{[k]},\partial _{x_{j}}^{[m]}]=0}$

${\displaystyle [\partial _{x_{i}}^{[k]},x_{j}]=\left\{{\begin{matrix}\partial _{x_{i}}^{[k-1]}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[k]}\partial _{x_{i}}^{[m]}={k+m \choose k}\partial _{x_{i}}^{[k+m]}~~~~~{\text{when }}k+m\leq n}$

どこ${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[0]}=1}$慣例により、ワイル代数はこれらの代数の極限から構成される。${\displaystyle n\to \infty }$[ ^{12 ]：第4章16節II}

いつ${\displaystyle S}$は特性0の体である。${\displaystyle D_{R}^{1}}$生成される${\displaystyle R}$-モジュール、1と${\displaystyle S}$-派生​${\displaystyle R}$。 さらに、${\displaystyle D_{R}}$リングとして生成されます${\displaystyle R}$-部分代数${\displaystyle D_{R}^{1}}$特に、${\displaystyle S=\mathbb {C} }$そして${\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},...,x_{n}]}$、 それから${\displaystyle D_{R}^{1}=R+\sum _{i}R\partial _{x_{i}}}$前述のとおり、${\displaystyle A_{n}=D_{R}}$[ ^{13 ]​}

特に、${\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}}$そして${\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}$。

これにより${\displaystyle A_{1}}$次数付き代数である、${\displaystyle \sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}}$は${\displaystyle \max(m+n)}$その非ゼロ単項式の中で。次数は同様に定義される。${\displaystyle A_{n}}$。

つまり、両側非自明なイデアルを持たず、零因子も持たない。

つまり、どんな派生でも${\textstyle D}$に等しい${\textstyle [\cdot ,f]}$一部の人にとって${\textstyle f\in A_{n}}$; どれでも${\textstyle f\in A_{n}}$導出結果が得られる${\textstyle [\cdot ,f]}$; もし${\textstyle f,f'\in A_{n}}$満たす${\textstyle [\cdot ,f]=[\cdot ,f']}$、 それから${\textstyle f-f'\in F}$。

証明は、平面上の保存多項式ベクトル場のポテンシャル関数を計算するのと同様である。 ^{[ 18 ]}

基礎体F の特性がゼロの場合、 n番目のワイル代数は単純なネーター領域になります。^{[ 19 ]} それは、変形する環 Sym( V ) の全体次元 2n とは対照的に、nの全体次元 を持ちます。

有限次元表現は存在しない。これは単純さから当然のことであるが、ある有限次元表現σ（[ q , p ] = 1 ）に対してσ ( q )とσ ( Y )のトレースを取ることでより直接的に示すことができる。

${\displaystyle \mathrm {tr} ([\sigma (q),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.}$

交換子のトレースはゼロであり、単位元のトレースは表現の次元であるため、表現はゼロ次元でなければならない。

実際、有限次元表現が存在しないという主張よりも強い主張があります。任意の有限生成A _n加群Mに対して、対応するV × V ^∗の部分多様体 Char( M )が存在し、「特性多様体」と呼ばれ、そのサイズはおおよそMのサイズに対応します(有限次元加群はゼロ次元の特性多様体を持ちます)。すると、ベルンシュタインの不等式は、 M がゼロでない場合、

${\displaystyle \dim(\operatorname {char} (M))\geq n}$

さらに強力な主張はガバーの定理であり、これはChar( M )が自然なシンプレクティック形式V × V ^*の共等方性部分多様体であることを述べている。

標数p > 0の体上のワイル代数の場合、状況はかなり異なります。

この場合、ワイル代数の任意の要素Dに対して、要素D ^pは中心要素であり、したがってワイル代数は非常に大きな中心を持ちます。実際、それは中心上の有限生成加群であり、さらに言えば、中心上の東谷代数でもあります。結果として、次元pの単純な表現から構成される多くの有限次元表現が存在します。

ワイル代数は代数多様体の場合にも一般化される。多項式環を考えてみよう。

${\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.}$

微分演算子は、${\displaystyle \mathbb {C} }$-線形微分${\displaystyle R}$これは、商環として明示的に記述することができる。

${\displaystyle {\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.}$