ルーロー四面体

ルーロー四面体は、辺の長さがsである正四面体の頂点を中心とする、半径sの4 つの球の交差です。^[1]各頂点を中心とする球の球面は、ルーロー四面体の頂点でもある他の 3 つの頂点を通ります。したがって、各球の中心は他の 3 つの球の表面上にあります。ルーロー四面体は、正四面体と同じ面構造ですが、曲面があります。つまり、4 つの頂点と 4 つの曲面が、6 つの円弧の辺で接続されています。

この形状は、一定の幅を持つ2次元曲線であるルーローの三角形との類似性から定義され、命名されています。どちらの形状も、機械が1つの種類の動作を別の種類の動作に変換する方法について先駆的な研究を行った19世紀のドイツのエンジニア、フランツ・ルーローにちなんで名付けられました。数学の文献では、ルーローの四面体は同様に一定の幅を持つ表面であると繰り返し主張されていますが、これは真実ではありません。反対側のエッジアークの2つの中点は、より大きな距離で隔てられています。

${\displaystyle \left({\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\cdot s\approx 1.0249s.}$

ルーロー四面体の体積は[ 1 ^]

${\displaystyle {\frac {s^{3}}{12}}(3{\sqrt {2}}-49\pi +162\tan ^{-1}{\sqrt {2}}\;\!)={\frac {s^{3}}{12}}\left(32\pi -81\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)+3{\sqrt {2}}\right)\approx 0.422s^{3}.}$

表面積は[ ^1]

${\displaystyle \left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2.975s^{2}.}$

エルンスト・マイスナーとフリードリヒ・シリング^[2]は、ルーロー四面体の3つの辺の弧を円弧の回転面として形成された曲面パッチに置き換えることで、ルーロー四面体を一定幅の表面を形成するように修正する方法を示した。3つの辺の弧（共通の頂点を持つ3つ、または三角形を形成する3つ）を置き換えると、マイスナー体またはマイスナー四面体と呼ばれることもある2つの非合同な形状が得られる。^[3]

ボンネセンとフェンチェル^[4]は、マイスナー四面体が一定幅の最小体積の3次元形状であると推測したが、この推測はまだ未解決である。^[5] 2011年にアンシオとギルフォイル^[6]は、 最小化体が曲線上の球と管の断片で構成されなければならないことを証明したが、これはマイスナー四面体の場合に当てはまり、この推測を裏付けている。

この問題に関連して、カンピ、コレサンティ、グロンキ^[7]は、一定幅の回転面の最小体積は、ルーローの三角形の対称軸の1つを通る回転面であることを示した。

マン・レイの絵画の一つ『ハムレット』は、彼が撮影したマイスナー四面体の写真に基づいている。^{[8]彼は、この写真が}シェイクスピアの『ハムレット』に登場するヨリックの頭蓋骨とオフィーリアの胸に似ていると考えていた。^[9]

• Lachand-Robert, Thomas; Oudet, Édouard. 「球状体」。2006 年 10 月 2 日にオリジナルからアーカイブ。2006年 9 月 12 日に取得。
• ウェーバー、クリストフ。「一定幅の物体」。両方のマイスナー遺体の映画やインタラクティブな写真もあります。
• ロバーツ、パトリック。「四面体対称性を持つ球形」。3D 画像と、一定幅の証明を示す数学論文へのリンクが含まれています。