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クルト・フリードリヒ・ゲーデル( / ˈ ɡ ɜːr d əl / GUR -dəl ; [ 2 ]ドイツ語: [ ˈkʊʁt ˈɡøːdl̩ ]ⓘ ; 1906 年 4 月 28 日- 1978 年 1 月 14 日) は論理学者、数学者、宇宙論者、哲学者。アリストテレスやゴットロープ・フレーゲ歴史上最も重要な論理学者の 1 人と考えられているゲーデルは、フレーゲ、リヒャルト・デデキント、ゲオルク・カントールの以前の研究に基づいて、20 世紀の科学的および哲学的思考に深く影響を与えました (バートランド・ラッセル[ 3 ]、ノース・ホワイトヘッド[ 3 ] 、デイヴィッド・ヒルベルトが論理学と集合論を使用して数学の基礎を研究していた時代)。
ゲーデルの数学の基礎に関する発見は、ウィーン大学で博士号を取得するための論文の一部として、1929年に彼の完全性定理の証明につながり、2年後の1931年にはゲーデルの不完全性定理が発表されました。不完全性定理は、形式的な公理系の限界に対処するものです。特に、特定の技術的条件を満たす形式的な公理系は、自然数に関するすべての命題の真偽値を決定できず、また、それ自体が無矛盾であることを証明することもできないことを意味します。[ 4 ] [ 5 ]これを証明するために、ゲーデルは現在ゲーデル数化として知られる手法を開発しました。これは、形式的な表現を自然数として符号化するものです。
ゲーデルはまた、ツェルメロ＝フレンケル集合論の公理が矛盾しないと仮定すれば、選択公理も連続体仮説も、受け入れられている集合論から反証できないことを示した。前者の結果は、数学者が証明において選択公理を仮定する道を開いた。彼はまた、古典論理、直観主義論理、様相論理の間の関連性を明確にすることで、証明論に重要な貢献をした。
ブルノの裕福なドイツ語圏の家庭に生まれたゲーデルは、ナチス・ドイツの台頭から逃れるため、1939年にアメリカ合衆国に移住した。晩年、彼は精神疾患を患い、食べ物に毒が盛られていると信じ込み、食事を拒否して餓死した。
クルト・ゲーデルは1906年4月28日、オーストリア＝ハンガリー帝国のブリュン（現在のチェコ共和国ブルノ）で、大手繊維会社の経営責任者兼共同所有者であったルドルフ・ゲーデル[ 6 ]とマリアンネ・ゲーデル（旧姓ハンズシュー）[ 11 ]のドイツ語を話す家庭に生まれた。父親はカトリック教徒、母親はプロテスタントで、子供たちはプロテスタントとして育てられた。クルト・ゲーデルの先祖の多くはブリュンの文化生活で活躍していた。例えば、祖父のヨーゼフ・ゲーデルは当時有名な歌手で、数年間ブリュン男声合唱団のメンバーだった[ 12 ] 。
ゲーデルは、第一次世界大戦での敗北によりオーストリア＝ハンガリー帝国が崩壊した際、12歳で自動的にチェコスロバキアの市民となった。同級生のクレペタルによれば、ドイツ人が多数を占めるズデーテン地方の多くの住民と同様に、「ゲーデルは常に自分をオーストリア人であり、チェコスロバキアに亡命していると考えていた」という。[ 13 ] 1929年2月、彼はチェコスロバキアの市民権を放棄し、4月にはオーストリアの市民権を与えられた。[ 14 ] 1938年にドイツがオーストリアを併合すると、ゲーデルは32歳で自動的にドイツ市民となった。第二次世界大戦後の1948年、42歳で彼はアメリカ合衆国の市民となった。[ 15 ]
家族の中で、幼いゲーデルは飽くなき好奇心から「なぜさん」（Herr Warum ）というあだ名で呼ばれていた。兄のルドルフによると、クルトは6歳か7歳の時にリウマチ熱にかかり、完全に回復したが、生涯にわたって心臓に永久的な損傷が残ったと確信していた。4歳からゲーデルは「頻繁に体調不良に見舞われ」、それは生涯続いた。[ 16 ]
ゲーデルは1912年から1916年までブリュンにあるルター派の学校、福音派民俗学校に通い、 1916年から1924年までドイツ国立実科ギムナジウムに在籍し、数学、語学、宗教など全ての科目で優秀な成績を収めた。当初は語学に秀でていたが、歴史と数学にますます興味を持つようになった。1920年に兄のルドルフがウィーン大学医学部に入学するためにウィーンへ旅立ったことで、数学への興味はさらに高まった。10代の頃、ゲーデルはガベルスベルガー速記法[ 17 ]、アイザック・ニュートンの批判、イマヌエル・カントの著作[ 18 ]を研究した。
18歳で、ゲーデルは兄とともにウィーン大学に入学した。彼はすでに大学レベルの数学を習得していた。[ 19 ]当初は理論物理学を専攻するつもりだったが、数学と哲学の講義にも出席した。[ 20 ]この時期に、彼は数学的実在論の考え方を取り入れた。カントの『自然科学の形而上学的基礎』を読み、モーリッツ・シュリック、ハンス・ハーン、ルドルフ・カルナップとともにウィーン学団に参加した。その後、ゲーデルは数論を研究したが、バートランド・ラッセルの著書『数学哲学入門』を研究するモーリッツ・シュリック主催のセミナーに参加した際に、数理論理学に興味を持つようになった。ゲーデルによれば、数理論理学は「他のすべての科学に先立つ科学であり、すべての科学の根底にある考え方と原理を含んでいる」[ 21 ]
ボローニャでデイヴィッド・ヒルベルトによる数学体系の完全性と無矛盾性に関する講義に出席したことが、ゲーデルの人生の方向性を決定づけたのかもしれない。1928年、ヒルベルトとヴィルヘルム・アッカーマンは『理論論理学の原理』（Grundzüge der theoretischen Logik ）を出版した。これは一階述語論理の入門書であり、完全性の問題が提起された。「形式体系の公理は、その体系のすべてのモデルで真となるすべての命題を導出するのに十分か？」[ 22 ]
ゲーデルはこのテーマを博士論文の題材に選んだ。[ 22 ] 1929年、23歳でハンス・ハーンの指導の下、博士論文を完成させた。その中で、彼は一階述語論理に関する自身の名を冠した完全性定理を確立した。[ 22 ]彼は1930年に博士号を授与され、[ 22 ]彼の論文（追加の研究を伴う）はウィーン科学アカデミーによって出版された。
1929年、ゲーデルは、通りの向かいに住む両親と同居していた離婚歴のあるアデーレ・ニンブルスキー（旧姓ポルケルト）と出会った。 [ 23 ]二人は10年後の1938年9月に（民事婚で）結婚した。[ 24 ]バレエの訓練を受けたアデーレは、二人が出会った当時はマッサージ師として働いていた。[ 23 ]一時期、彼女はダウンタウンのナイトクラブ「ナハトファルター（夜行性の蛾）」でダンサーとして働いていた。[ 23 ]ゲーデルの両親は、彼女の経歴と年齢（彼より6歳年上）を理由に、二人の関係に反対した。 [ 25 ]二人の結婚生活は幸せだったようだ。[ 26 ]アデーレは、ゲーデルの心理的な問題が日常生活に影響を与えていたため、ゲーデルにとって重要な支えとなった。[ 27 ]二人の間に子供はいなかった。
クルト・ゲーデルの現代論理学における業績は、他に類を見ない、まさに記念碑的なものである。いや、単なる記念碑というより、時空を超えて永遠に輝き続けるランドマークと言えるだろう。…ゲーデルの業績によって、論理学という学問分野は、その性質と可能性を間違いなく完全に変革した。
1930年、ゲーデルは9月5日から7日にケーニヒスベルクで開催された第2回精密科学認識論会議に出席した。そこで彼は一階述語論理の完全性定理を発表し、講演の最後にこの結果は高階述語論理には一般化できないと述べ、不完全性定理をほのめかした。[ 29 ]
ゲーデルは、不完全性定理を『プリンキピア・マテマティカおよび関連体系の形式的に決定不可能な命題について』（英語では「On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems」）という論文で発表した。この論文の中で、彼は自然数の算術を記述するのに十分な計算可能な公理系（例えば、ペアノ公理系や選択公理を持つツェルメロ＝フレンケル集合論など）に対して、以下のことを証明した。
これらの定理は、フレーゲの研究から始まり、プリンキピア・マテマティカとヒルベルトのプログラムで頂点に達した、数論に十分な非相対的に一貫性のある公理化を見つけようとする半世紀にわたる試みに終止符を打った（それは他の数学分野の基礎となるものであった）。[ 31 ]
ゲーデルは、与えられた形式体系においてそれ自体が証明不可能であると主張する式を構築した。もしそれが証明可能であれば、それは偽となる。したがって、常に少なくとも1つの真であるが証明不可能な命題が存在する。つまり、算術の計算可能列挙可能な公理の集合（つまり、原理的には無制限のリソースを持つ理想的なコンピュータによって出力できる集合）に対して、算術においては真であるが、その体系では証明不可能な式が存在する。これを厳密にするために、ゲーデルは命題、証明、および証明可能性の概念を（自然数として）符号化する方法を生み出す必要があった。彼はこれをゲーデル数化として知られるプロセスによって行った。[ 32 ]
ゲーデルは、 2ページの論文「直観主義的表現計算について」 （1932年）の中で、直観主義論理の有限値性を否定した。その証明において、彼は暗黙のうちに、後にゲーデル＝ダメット中間論理（またはゲーデルファジー論理）として知られるようになったものを使用した。[ 33 ]
ゲーデルは1932年にウィーンで教授資格を取得し、1933年には同大学の私講師（無給講師）となった。1933年、アドルフ・ヒトラーがドイツで政権を握り、その後数年間でナチスはオーストリアとウィーンの数学者の間で影響力を増していった。1936年6月、ゲーデルの論理学への関心を掻き立てたゼミナールのモーリッツ・シュリックが、かつての教え子の一人であるヨハン・ネルベックによって殺害された。これがゲーデルの「深刻な神経危機」を引き起こした。[ 34 ]彼は毒殺される恐怖を含む妄想症状を発症し、数ヶ月間神経疾患療養所で過ごした。[ 35 ]
1933年、ゲーデルは初めて米国を訪れ、そこでアルバート・アインシュタインと出会い、親友となった。[ 36 ]彼はアメリカ数学会の年次総会で講演を行った。この年、ゲーデルは計算可能性と再帰関数の概念を発展させ、一般再帰関数と真理の概念に関する講演を行うに至った。この研究は、ゲーデル数を用いて数論で展開された。
1934年、ゲーデルはニュージャージー州プリンストンにある高等研究所（IAS）で、「形式数学体系の決定不能な命題について」と題する一連の講義を行った。プリンストン大学で博士号を取得したばかりのスティーブン・クリーネは、これらの講義のノートを取り、後にそれが出版された。
ゲーデルは1935年の秋に再びIASを訪れた。旅と研究に疲れ果てていた彼は、翌年、うつ病の発作から回復するために休養を取った。1937年に教職に復帰した。この間、彼は選択公理と連続体仮説の無矛盾性の証明に取り組み、これらの仮説は集合論の一般的な公理系から反証できないことを示した。
1938年にアデル・ニンブルスキーと結婚した後、彼は再び米国を訪れ、1938年の秋をIASで過ごし、現代数学の古典である『選択公理と一般化連続体仮説の集合論の公理との整合性』 [ 37 ]を出版した。その中で彼は、より単純な集合から構成できる集合のみが存在する集合論のモデルである構成可能宇宙を導入した。ゲーデルは、選択公理（AC）と一般化連続体仮説（GCH）の両方が構成可能宇宙で真であることを示し、したがって集合論のツェルメロ・フレンケル公理（ZF）と整合していなければならないことを示した。この結果は、ハーン・バナッハの定理を証明する際に選択公理を仮定できることを意味するため、実務数学者にとって大きな意味を持つ。ポール・コーエンは後に、ACとGCHが偽であるZFのモデルを構築した。これらの証明を合わせると、ACとGCHは集合論のZF公理とは独立していることがわかる。
1938年3月12日のアンシュルス（オーストリア併合）後、オーストリアはナチス・ドイツの一部となった。ドイツは私講師の称号を廃止したため、ゲーデルは新体制下で別の職に応募しなければならなかった。ウィーン学団のユダヤ人メンバー、特にハーンとの過去の関係が彼にとって不利に働いた。ウィーン大学は彼の応募を却下した。
ドイツ軍が彼を徴兵対象と判断したことで、彼の窮状はさらに悪化した。第二次世界大戦は1939年9月に始まった。その年のうちに、ゲーデルと妻はウィーンを離れプリンストンに向かった。大西洋横断の困難を避けるため、ゲーデル夫妻はシベリア鉄道で太平洋に渡り、日本からサンフランシスコまで船で移動し（1940年3月4日に到着）、その後列車でプリンストンに向かった。[ 39 ]この旅の間、ゲーデルはウィーンの物理学者ハンス・ティリングからアインシュタインへの秘密の手紙を携え、フランクリン・D・ルーズベルト大統領にヒトラーが原子爆弾を作っている可能性を警告することになっていた。ゲーデルはヒトラーがそのような偉業を成し遂げられるとは確信していなかったため、アインシュタインと会ったにもかかわらず、その手紙をアインシュタインに渡すことはなかった。[ 40 ]いずれにせよ、レオ・シラードはすでにアインシュタインにそのメッセージを伝えており、アインシュタインはすでにルーズベルトに警告していた。
プリンストンでは、ゲーデルは1933年から1934年にかけて訪れたことのある高等研究所（IAS）の職を受け入れた。[ 41 ]
アインシュタインもこの頃プリンストンに住んでいた。ゲーデルとアインシュタインは強い友情を育み、IASへの行き帰りにはよく一緒に長い散歩をしていたことで知られていた。彼らの会話の内容は、他の研究所のメンバーには謎だった。経済学者のオスカー・モルゲンシュテルンは、アインシュタインの晩年、アインシュタインが「自分の研究はもはやあまり意味がなく、研究所に来たのは単にゲーデルと一緒に歩いて帰る特権を得るためだった」と打ち明けたことを回想している。[ 42 ]
ゲーデルと妻は1942年の夏をメイン州ブルーヒルの湾の奥にあるブルーヒル・インで過ごした。ゲーデルはこの夏、非常に実り多い研究を行った。ジョン・W・ドーソン・ジュニアは、ゲーデルの未発表の作業ノート（Arbeitshefte）の第15巻（Heft 15）を用いて、ゲーデルが1942年にブルーヒル滞在中に、選択公理が有限型理論（集合論の弱化形）から独立していることの証明を発見したと推測している。ゲーデルの親友である王浩はこの推測を支持し、ゲーデルのブルーヒルのノートにはこの問題に関する彼の最も詳細な考察が含まれていると指摘している。[ 43 ]
1947年12月5日、アインシュタインとモルゲンシュテルンは、証人としてゲーデルの米国市民権試験に同行した。ゲーデルは、米国憲法に米国が独裁国家になる可能性を示唆する矛盾を発見したと彼らに打ち明けていた。これは後に「ゲーデルの抜け穴」と呼ばれるようになった。アインシュタインとモルゲンシュテルンは、友人の予測不可能な行動が彼の申請を危うくするのではないかと心配していた。裁判官はフィリップ・フォーマンで、彼はアインシュタインを知っており、アインシュタイン自身の市民権審査で宣誓を行った人物だった。すべて順調に進んでいたが、フォーマンがたまたまゲーデルに、ナチス政権のような独裁国家が米国で起こり得ると思うかと尋ねた。ゲーデルはフォーマンに自分の発見を説明し始めた。フォーマンは状況を理解し、ゲーデルの話を遮り、審査を他の質問と通常の結論へと進めた。[ 44 ] [ 45 ]
ゲーデルは1946年にプリンストン高等研究所の常任研究員となり、1953年に同研究所の正教授、1976年に名誉教授となった。[ 46 ]
研究所に在籍していた間、ゲーデルの関心は哲学と物理学へと移った。1949年、彼は一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式に、閉じた時間的曲線を含む解が存在することを証明した。[ 47 ]彼はこの詳細な説明をアインシュタインの70歳の誕生日にプレゼントしたと言われている。[ 48 ]彼の「回転する宇宙」は過去へのタイムトラベルを可能にし、アインシュタインに自身の理論に対する疑念を抱かせた。彼の解はゲーデル計量（アインシュタイン場の方程式の厳密解）として知られている。
ゲーデルはゴットフリート・ライプニッツの著作を研究し、高く評価したが、ライプニッツの著作の一部が敵対的な陰謀によって抑圧されたと考えるようになった。[ 49 ]それほどではないが、カントとエドムント・フッサールも研究した。1970年代初頭、ゲーデルは友人たちの間で、カンタベリーのアンセルムスの神の存在論的証明のライプニッツ版を詳細に説明したものを回覧した。これは現在、ゲーデルの存在論的証明として知られている。
ゲーデルは、1951年に（ジュリアン・シュウィンガーと共に）第1回アルベルト・アインシュタイン賞を受賞し、 1974年には国家科学賞を受賞しました。 [ 50 ]ゲーデルは、1961年にアメリカ哲学協会の常任会員に、 1968年に王立協会の外国人会員（ForMemRS）に選出されました。[ 51 ] [ 1 ]彼は、1950年にマサチューセッツ州ケンブリッジで開催されたICMで基調講演を行いました。[ 52 ]
ゲーデルは1938年にウィーンでアデーレ・ニンブルスキーと結婚した。二人はその1年後にアメリカ合衆国に移住した。
晩年、ゲーデルは精神的に不安定な時期や病気に苦しんだ。一部の学者は、強迫性障害を診断として提案している。[ 53 ]親友のモーリッツ・シュリックが殺害された後、[ 54 ]ゲーデルは毒殺されることへの強迫的な恐怖を抱くようになり、妻のアデーレが作った食事しか口にしなくなった。1977年末にアデーレが脳卒中で入院した後、ゲーデルは彼女がいない間は食事を拒否し、[ 55 ] 1978年1月14日にプリンストン病院で「人格障害による栄養失調と衰弱」で亡くなった時、体重は29キログラム（65ポンド）だった。 [ 56 ]彼はプリンストン墓地に埋葬された。アデーレは1981年に亡くなり、死後、ゲーデルの論文をプリンストン高等研究所に寄贈した。[ 57 ]
ゲーデルは神は人格を持つと信じており[ 58 ]、自身の哲学を「合理主義的、観念論的、楽観的、そして神学的」と呼んだ[ 59 ] 。彼は、ゲーデルの存在論的証明として知られる、神の存在の形式的証明の草案を作成した。
ゲーデルは死後の世界を信じており、「もちろん、これは今日の科学や通説では見当もつかない多くの関係性があることを前提としている。しかし、私は神学とは無関係に、この（死後の世界）を確信している」と述べている。「今日では、純粋な理性によって、それが既知の事実と完全に矛盾しないことが認識できる」。「世界が合理的に構築され、意味を持っているならば、そのようなもの（死後の世界）が存在しなければならない」[ 60 ] 。彼はまた、テレパシー、輪廻転生、幽霊など、他の超常現象に関するトピックについても幅広く読書していた。 [ 61 ]
ゲーデルは、郵送されなかったアンケートへの回答の中で、自身の宗教を「洗礼を受けたルター派（ただし、いかなる宗教団体にも所属していない）。私の信仰は有神論的であり、汎神論的ではない。スピノザよりもライプニッツに従っている」と述べている。[ 62 ]宗教全般について、彼は「宗教は大部分において悪いが、宗教そのものはそうではない」と述べている。[ 63 ]妻のアデーレによると、「ゲーデルは教会には行かなかったが、信心深く、毎週日曜日の朝にベッドで聖書を読んでいた」[ 64 ]イスラム教については、「私はイスラム教が好きだ。それは一貫性のある（あるいは結果的な）宗教観であり、寛容である」と述べている。[ 65 ]
ダグラス・ホフスタッターの1979年の著書『ゲーデル、エッシャー、バッハ：永遠の黄金の鎖』は、ゲーデル、 M.C.エッシャー、ヨハン・セバスチャン・バッハの作品と思想を織り交ぜている。この本は、ゲーデルの不完全性定理が人間の脳を含むあらゆるチューリング完全な計算システムに適用できるという事実の影響を部分的に探究している。2005年、ジョン・W・ドーソン・ジュニアは伝記『論理的ジレンマ：クルト・ゲーデルの生涯と作品』を出版した。[ 66 ]同年、レベッカ・ゴールドスタインは「偉大な発見」シリーズの一部として『不完全性：クルト・ゲーデルの証明とパラドックス』を出版した。スティーブン・ブディアンキーのゲーデル伝記『理性の限界への旅：クルト・ゲーデルの生涯』[ 67 ]は、ニューヨーク・タイムズの批評家が選ぶ2021年のトップブックに選ばれた。[ 68 ]ゲーデルは、デビッド・マローンが2008年にBBCで制作したドキュメンタリー『危険な知識』で取り上げられた4人の数学者のうちの1人だった。[ 69 ]
1987 年に設立されたクルト・ゲーデル協会は、論理学、哲学、数学史の研究を促進する国際組織です。ウィーン大学には、クルト・ゲーデル数理論理学研究センターがあります。記号論理学会は、 1990 年以来、毎年ゲーデル講演会を開催しています。ゲーデル賞は、理論計算機科学の優れた論文に毎年授与されます。ゲーデルの哲学ノート[ 70 ]は、ベルリン・ブランデンブルク科学アカデミーのクルト・ゲーデル研究センターで編集されています。[ 71 ]ゲーデルの全集は 5 巻出版されています。最初の 2 巻には彼の出版物が、3 巻には彼の遺稿からの未発表原稿が、最後の 2 巻には書簡が収録されています。
1994年の映画『IQ』では、ルー・ジャコビがゲーデルを演じている。2023年の映画『オッペンハイマー』では、ジェームズ・アーバニアック演じるゲーデルが、プリンストン大学の庭園でアインシュタインと散歩する場面に少しだけ登場する。
ノートルダム大学数学科は、1939年春の1学期の間、クルト・ゲーデルを招聘した。
ゲーデルは幸せな幼少期を過ごし、数々の質問をすることから家族からは「なぜさん」と呼ばれていた。彼はルター派の洗礼を受け、生涯を通じて有神論者（人格神を信じる者）であり続けた。
それどころか、彼の蔵書には様々な宗教宗派に関する書籍や小冊子が数多く含まれており、ノートの中には神学に関するものが2冊ある。また、遺稿の中から見つかった速記の原稿には、「宗教は大部分において悪いが、宗教そのものはそうではない」と記されている。
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