マーラー巻

凸幾何学において、中心対称凸体のマーラー体積は、その物体に関連付けられ、線形変換に対して不変な無次元量である。ドイツ系イギリス人の数学者クルト・マーラーにちなんで名付けられた。マーラー体積が最大となる形状は球体と立体楕円体であることが知られており、これは現在ではブラシュケ・サンタロの不等式として知られている。未だに解決されていないマーラー予想によれば、マーラー体積が最小となるのは超立方体である。

ユークリッド空間の凸体は、内部が空でないコンパクトな 凸集合として定義されます。 が- 次元ユークリッド空間の中心対称凸体である場合、極体は同じ空間内の別の中心対称体であり、集合として定義されます。 のマーラー体積は、との体積の積です。^[1]${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B^{\circ}}$$${\displaystyle \left\{x\mid x\cdot y\leq 1{\text{ すべてのy\in B\right\} に対して。}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ}}$

が可逆な線形変換である場合、 となります。を に適用すると、その体積は で乗算され、 の体積は で乗算されます。これらの行列式は乗法的逆数であるため、 の全体的なマーラー体積は線形変換によって保存されます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle (TB)^{\circ }=(T^{-1})^{\ast }B^{\circ }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \det T}$${\displaystyle B^{\circ}}$${\displaystyle \det(T^{-1})^{\ast}}$${\displaystyle B}$

次元単位球の極体はそれ自体が別の単位球体である。したがって、そのマーラー体積はその体積の2乗に等しい。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}}$

ここで はガンマ関数です。アフィン不変性により、任意の楕円体は同じマーラー体積を持ちます。^[1]${\displaystyle \ガンマ}$

多面体または多面体の極体は、その双対多面体または双対多面体である。特に、立方体または超立方体の極体は八面体または交差多面体である。そのマーラー体積は次のように計算できる^[1]。

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\Gamma (n+1)}}.}$

球面のマーラー体積は超立方体のマーラー体積よりも約1倍大きい。^[1]${\displaystyle \left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{n}}$

ブラシュケ・サンタロ不等式は、最大マーラー体積を持つ形状は球と楕円体であると述べています。この結果の3次元ケースは、ヴィルヘルム・ブラシュケ（1917）によって証明されまし た。完全な結果は、ずっと後にルイス・サンタロ（1949）によって、中心対称の凸体はマーラー体積を減らさずに球に近い体に置き換えることができるシュタイナー対称化 と呼ばれる手法を使用して証明されました。 ^[1]

最小のマーラー体積を持つ図形として知られているのは、超立方体、交差多面体、そしてより一般的には、これら2種類の図形とそのアフィン変換を含むハナー多面体である。マーラー予想は、これらの図形のマーラー体積はn次元対称凸体の中で最小であるとしているが、 の場合には未解決のままである。テリー・タオは次のように書いている: ^[1]${\displaystyle n\geq 4}$

この予想が非常に難しい主な理由は、アフィン変換を除けば基本的に 1 つの極値 (つまり球) しかない上限とは異なり、下限には多くの異なる極値があるためです。立方体と八面体だけでなく、立方体と八面体の積、立方体と八面体の積の極体、極体の積など、さまざまな極値があります。これらの物体だけに収束し、他の物体には収束しないようなフローや最適化手順を思いつくのは非常に困難です。まったく異なるタイプの議論が必要になるかもしれません。

Bourgain & Milman (1987) は、ある絶対定数 に対して、マーラー体積が球の体積の 倍で下方に制限されることを証明しました。これは、超立方体体積のスケーリング動作と一致しますが、定数は小さくなります。Kuperberg (2008) は、より具体的には、この制限を考慮できることを証明しました。このタイプの結果は、逆サンタロ不等式として知られています。 ${\displaystyle c^{n}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}}$

• マーラー予想の2次元の場合はマーラー^[2]によって解決され、3次元の場合はイリエと柴田^{[3]によって解決されました。}
• ハンナー多面体のそれぞれは、バナッハ・マズール距離を備えた原点対称凸体のクラスにおいて、マーラー体積の厳密な局所最小化子であることが知られています。これは、ナザロフ、ペトロフ、リャボギン、ズヴァヴィッチによって単位立方体に対して最初に証明され、^[4]その後、イェギル・キムによってすべてのハンナー多面体に一般化されました。^[5]
• マーラー予想はゾノトープに対しても成り立つ。^[6]
• マーラー予想は、無条件体、つまり各座標超平面 { x _i = 0} 上の反射に対して不変な凸体のクラスで成立します。これは 1980 年にサン=レイモンドによって初めて証明されました。^[7]その後、はるかに短い証明がマイヤーによって見つかりました。^{[8]これは、より一般的な}反射群である対称群を持つ凸体にさらに一般化されました。最小化者は必ずしもハンナー多面体ではなく、反射群に対応する正則多面体であることがわかりました。^[9]
• ライスナーら（2010）は、マーラー体積の最小体はその境界上のほぼすべての場所でガウス曲率がゼロになる必要があることを示しており、極小体は多面体であることを強く示唆している。^[10]

マーラー体積は、対称性に関係なく内部に原点を含む凸体の場合、体積と極体積の積として同様に定義できます。マーラーは、この一般化により、最小体積は、その重心が原点にある単体によって得られると予想しました。対称マーラー予想と同様に、最小体積が単体の指数因子以内にあることを示す逆サンタロ不等式が知られています。^[11]

• ヴィルヘルム・ブラシュケ(1917)。 「Uber affine Geometrie VII: Neue Extremeingenschaften von Ellipse und Ellipsoid」。ベル。そうですね。ザックス。アカド。ウィス。ライプツィヒ数学-物理学Kl.（ドイツ語で）。69 .ライプツィヒ: 412–420。
• Bourgain, Jean ; Milman, Vitali D. (1987). 「凸対称体の新しい体積比特性」. Inventiones Mathematicae . 88 (2): 319–340. Bibcode :1987InMat..88..319B. doi :10.1007/BF01388911. MR  0880954.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Kuperberg, Greg (2008). 「マーラー予想からガウス連結積分へ」.幾何学と機能解析. 18 (3): 870–892. arXiv : math/0610904 . doi :10.1007/s00039-008-0669-4. MR  2438998.
• Nazarov, Fedor; Petrov, Fedor; Ryabogin, Dmitry; Zvavitch, Artem (2010). 「マーラー予想に関するコメント: 単位立方体の局所的極小性」. Duke Mathematical Journal . 154 (3): 419–430. arXiv : 0905.0867 . doi :10.1215/00127094-2010-042. MR  2730574.
• Santaló, Luis A. (1949). 「次元空間の凸体のアフィン不変量」. Portugaliae Mathematica (スペイン語). 8 : 155–161. MR  0039293.${\displaystyle n}$
• Tao, Terence (2007 年 3 月 8 日)。「未解決の問題: 凸体に関する Mahler 予想」。Tao, Terence (2009)に改訂・再録。「3.8 凸体に対するマーラーの予想」。構造とランダム性: 数学ブログ 1 年目のページ。アメリカ数学会。216～219 ページ。ISBN 978-0-8218-4695-7。