ダイナミックビリヤード

動的ビリヤードは、粒子が自由運動（通常は直線）と境界からの鏡面反射を交互に繰り返す力学システムです。粒子が境界に当たると、速度を失うことなく境界から反射します（弾性衝突）。ビリヤードは、ビリヤードゲームのハミルトン理想化ですが、境界で囲まれた領域は長方形以外の形状をとったり、多次元にしたりすることもできます。動的ビリヤードは、非ユークリッド幾何学でも研究できます。実際、ビリヤードの最初の研究では、一定の負の曲率の表面上でのエルゴード運動が確立されました。領域内ではなく領域の外側に保持されるビリヤードの研究は、外部ビリヤード理論として知られています。

ビリヤード内の粒子の動きは、境界（ビリヤード台のリーマン計量が平坦でない場合は測地線）との反射の間で、一定のエネルギーを持つ直線です。すべての反射は鏡面反射です。つまり、衝突直前の入射角は、衝突直後の反射角に等しくなります。反射のシーケンスは、粒子の動きを完全に特徴付けるビリヤード マップによって記述されます。

ビリヤードは、積分可能性からカオス運動まで、ハミルトン系の複雑さをすべて捉えており、運動方程式を積分してポアンカレ写像を決定するという困難を伴わない。バーコフは、楕円テーブルを備えたビリヤード系が積分可能であることを示した。

表面上を摩擦なしで自由に移動する 質量mの粒子のハミルトニアンは、次のようになります。

${\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)}$

ここで、ポテンシャルは粒子が移動できる領域内ではゼロ、それ以外の場合は無限大になるように設計されている。 ${\displaystyle V(q)}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle V(q)={\begin{cases}0&q\in \Omega \\\infty &q\notin \Omega \end{cases}}}$

この形のポテンシャルは境界での鏡面反射を保証します。運動項は粒子がエネルギーの変化なしに直線的に動くことを保証します。粒子が非ユークリッド多様体上を動く場合、ハミルトニアンは次のように置き換えられます。

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p^{i}p^{j}g_{ij}(q)+V(q)}$

ここで、 は点 における計量テンソルです。このハミルトニアンは非常に単純な構造のため、粒子の運動方程式であるハミルトン・ヤコビ方程式 は、多様体上の測地線方程式に他なりません。つまり、粒子は測地線に沿って動きます。 ${\displaystyle g_{ij}(q)}$${\displaystyle q\;\in \;\オメガ }$

アダマールのビリヤードは、一定の負の曲率を持つ表面、特に、負の曲率を持つ最も単純なコンパクトなリーマン面、種数 2 の面 (2 つの穴があるドーナツ) 上の自由点粒子の運動に関するものです。このモデルは正確に解くことができ、表面上の測地線フローによって与えられます。これは、1898 年に ジャック アダマールによって導入され、これまでに研究された決定論的カオスの最も古い例です。

アルティンのビリヤードは、一定の負の曲率を持つ表面、特に1つの尖端を持つ最も単純な非コンパクトなリーマン面上の点粒子の自由運動を考慮します。これは正確に解けるだけでなく、エルゴード的であるだけでなく強く混合することで有名です。これはアノソフ系の一例です。この系は1924年に エミール・アルティンによって初めて研究されました。

M を境界のない完全な滑らかなリーマン多様体とし、その最大断面曲率はK以下で、単射半径 とします。境界が余次元 1 の滑らかな部分多様体であるような n個の測地凸部分集合(壁) 、の集合について考えます。 、ここで は集合 の内部を表します。この集合をビリヤード台と呼びます。ここで、集合B内を測地線に沿って単位速度で移動する粒子を考えます。この粒子は集合B _iの 1 つに到達し(このようなイベントは衝突と呼ばれます)、「入射角は反射角に等しい」という法則に従って反射します (集合 、 の 1 つに到達した場合、その瞬間以降の軌道は定義されません)。このような力学系は半分散ビリヤードと呼ばれます。壁が厳密に凸である場合、ビリヤードは分散 と呼ばれます。この命名は、局所的に平行な軌道ビームが壁の厳密に凸状の部分と衝突した後に分散するが、壁の平坦な部分と衝突した後は局所的に平行のままであるという観察に基づいている。 ${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle B_{i}\subset M}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle B=M\ (\bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Int} (B_{i}))}$${\displaystyle \operatorname {Int} (B_{i})}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle B\subset M}$${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$

分散境界は、負の曲率が測地線の流れに対して力学の指数関数的不安定性を引き起こすのと同じ役割をビリヤードに対して果たします。分散ビリヤードに最も強いカオス特性を与えるのは、まさにこの分散メカニズムであり、これはYakov G. Sinaiによって確立されました。^[1]つまり、ビリヤードはエルゴード的、混合的、ベルヌーイ的であり、正のコルモゴロフ-シナイエントロピーと相関の指数関数的減衰を持ちます。

一般的な半分散ビリヤードのカオス特性は十分に理解されていませんが、半分散ビリヤードの重要なタイプの 1 つであるハードボールガスのカオス特性は1975 年以来詳細に研究されてきました (次のセクションを参照)。

ドミトリ・ブラーゴとセルジュ・フェルレガー^[2]による非退化半分散ビリヤードにおける衝突回数の均一推定に関する一般的な結果により、その位相エントロピーの有限性と周期軌道の指数関数的増加以上ではないことが証明されました。^[3]対照的に、退化半分散ビリヤードは無限の位相エントロピーを持つ可能性があります。^[4]

ローレンツ ガスのテーブル(シナイ ビリヤードとも呼ばれる) は、中心から円盤が取り除かれた正方形です。テーブルは平らで、曲率がありません。ビリヤードは、相互作用する 2 つの円盤が正方形内で跳ね返り、正方形の境界で反射し、互いに反射する動作を研究することで生まれました。構成変数としての質量中心を排除することで、相互作用する 2 つの円盤のダイナミクスは、シナイ ビリヤードのダイナミクスに縮小されます。

ビリヤードは、物理的な熱力学的特性を示す相互作用ハミルトン系の例として、ヤコフ・G・シナイによって導入されました。ビリヤードの可能な軌道のほぼすべて（測度ゼロまで）はエルゴードであり、正のリアプノフ指数を持ちます。

このモデルによるシナイの偉大な功績は、理想気体の古典的なボルツマン-ギブス集団が本質的に最大限に混沌としたアダマールビリヤードである ことを示したことである。

粒子は一定の力（例えば地球の重力）を受け、周期的に波打つ振動床上で非弾性的に散乱する。床が円弧または円でできている場合、特定の周波数間隔で軌道の指数関数的分離率を半解析的に推定することができる。^[5]

ブニモビッチスタジアムと呼ばれるテーブルは、長方形の上に半円が乗った形状で、スタジアムと呼ばれます。レオニード・ブニモビッチによって導入されるまで、正のリアプノフ指数を持つビリヤードでは、軌道の指数発散を生成するために、シナイビリヤードのディスクのような凸状の散乱が必要であると考えられていました。ブニモビッチは、凹面領域の焦点を超えた軌道を考慮することで、指数発散を得ることができることを示しまし た。

磁気ビリヤードは、垂直磁場の存在下で荷電粒子が伝播するビリヤードを表します。その結果、粒子の軌道は直線から円弧に変わります。この円の半径は磁場の強さに反比例します。このようなビリヤードは、ビリヤードの実際のアプリケーション、通常はナノデバイスのモデリングに役立っています(アプリケーションを参照)。

一般化ビリヤード (GB) は、区分的に滑らかな境界 を持つ閉領域 内の質点 (粒子) の運動を記述します。境界上では、粒子が一般化ビリヤード法則 の作用を受けるにつれて、点 の速度が変換されます。GB は、一般的な場合^[6]および が平行六面体である場合^[7]には、熱力学の第二法則の正当化に関連して、Lev D. Pustyl'nikov によって導入されました。物理的な観点から、GB は、容器の壁が加熱または冷却される一方で、容器内を移動する有限個の粒子からなるガスを記述します。一般化の本質は次のとおりです。粒子が境界 に衝突すると、その速度は、直積(は実数直線、は境界の点、は時間) 上で定義される所定の関数 の助けを借りて、次の法則に従って変換されます。速度 で移動する粒子の軌跡が、時刻 に点で交差すると仮定します。すると、時刻 に粒子は速度 を獲得します。これは、点 でに接する無限に重い平面 から弾性的に押されたかのようになり、時刻 では速度で の法線に沿って移動します。境界自体の位置は固定されていますが、粒子に対する境界の作用は関数 によって定義されることを強調しておきます。 ${\displaystyle \Pi \,\subset \,\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle f(\gamma ,\,t)}$${\displaystyle \Gamma \,\times \,\mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \gamma \,\in \,\Gamma }$${\displaystyle t\,\in \,\mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \gamma \,\in \,\Gamma }$${\displaystyle t^{*}}$${\displaystyle t^{*}}$${\displaystyle v^{*}}$${\displaystyle \Gamma^{*}}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t^{*}}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t^{*})}$${\displaystyle f}$

平面の運動の正の方向はの内部に向かうとします。したがって、導関数 の場合、粒子は衝突後に加速します。 ${\displaystyle \Gamma^{*}}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t)\;>\;0}$

上記の反射法則の結果として粒子が得た速度 が領域 の内部に向けられている場合、粒子は境界を離れ、との次の衝突まで内側に移動し続けます。速度 がの外側に向けられている場合、ある時点で境界との相互作用によって粒子が境界を離れるよう強制されるまで、粒子は点 に留まります。 ${\displaystyle v^{*}}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle v^{*}}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\tilde {t}}\;>\;t^{*}}$

関数が時間に依存しない場合、つまり、一般化されたビリヤードは古典的なビリヤードと一致します。 ${\displaystyle f(\gamma ,\,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\;=\;0}$

この一般化された反射法則は非常に自然です。まず、ガスの入った容器の壁は動かないという明白な事実を反映しています。次に、粒子に対する壁の作用は依然として古典的な弾性押しです。本質的には、与えられた速度で無限に移動する境界を考慮します。

これは、古典力学（ニュートン力学の場合）と相対性理論（相対論の場合）の両方の枠組みにおいて 境界からの反射と見なされます。${\displaystyle \Gamma}$

主な結果：ニュートン力学の場合、粒子のエネルギーは有限であり、ギブスエントロピーは定数である^{[7] [8] [9]}（注参照）。相対論的の場合、粒子のエネルギー、ギブスエントロピー、位相体積に関するエントロピーは無限大に増加する^{[7] [9]}（注参照）。一般化ビリヤードを参照。

ビリヤードの量子バージョンは、いくつかの方法で簡単に研究できます。上で示したビリヤードの古典的なハミルトニアンは、定常状態のシュレーディンガー方程式 、より正確には、 ${\displaystyle H\psi \;=\;E\psi }$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(q)=E_{n}\psi _{n}(q)}$

ここではラプラシアンです。領域外では無限大ですが、領域内ではゼロになるポテンシャルは、ディリクレ境界条件に変換されます。 ${\displaystyle \nabla^{2}}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle \psi _{n}(q)=0\quad {\mbox{for}}\quad q\notin \Omega }$

いつものように、波動関数は正規直交であるとみなされます。

${\displaystyle \int _{\Omega }{\overline {\psi _{m}}}(q)\psi _{n}(q)\,dq=\delta _{mn}}$

興味深いことに、自由場シュレーディンガー方程式はヘルムホルツ方程式と同じである。

${\displaystyle \left(\nabla^{2}+k^{2}\right)\psi =0}$

と

${\displaystyle k^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}2mE_{n}}$

これは、2 次元および 3 次元の量子ビリヤードが、特定の形状のレーダー空洞の古典的な共鳴モードによってモデル化できることを意味し、実験による検証への道が開かれます。(レーダー空洞モードの研究は、ディリクレ境界条件に従う 横磁気(TM) モードに限定する必要があります)。

半古典的な極限は に対応し、これは と同等であると見ることができ、質量が増加するため古典的に動作します。 ${\displaystyle \hbar \;\to \;0}$${\displaystyle m\;\to \;\infty }$

一般的な言い方をすると、古典的な運動方程式が積分可能である場合(たとえば、長方形または円形のビリヤード台)、ビリヤードの量子力学的バージョンは完全に解けると言えます。古典的なシステムがカオスである場合、量子システムは一般に正確には解けず、量子化と評価に多くの困難が生じます。カオス量子システムの一般的な研究は、量子カオスとして知られています。

楕円形のテーブル上の傷の特に顕著な例は、いわゆる量子ミラージュの観察によって示されます。

量子ビリヤードと古典ビリヤードの両方が、物理学のいくつかの分野で非常に多様な現実世界のシステムをモデル化するために応用されてきました。例としては、光線光学、^[10] レーザー、^{[11] [12]} 音響、^[13]光ファイバー（二重クラッドファイバーなど ^{[14] [15]}）、または量子-古典対応^[16]などがあります。最も頻繁な応用の1つは、ナノデバイス内部で移動する粒子をモデル化することです。たとえば、量子ドット、^{[17] [18]} pn接合、^[19]アンチドット超格子、^{[20] [21]}などがあります。ビリヤードが物理モデルとして広く有効である理由は、無秩序またはノイズが少量の状況では、電子や光線などの粒子の動きが、ビリヤードの点粒子の動きと非常によく似ているという事実にあります。さらに、粒子衝突のエネルギー保存の性質は、ハミルトン力学のエネルギー保存則を直接反映しています。

ビリヤードをシミュレートするオープン ソース ソフトウェアは、さまざまなプログラミング言語で存在します。最新のものから古いものまで、既存のソフトウェアは、DynamicalBilliards.jl (Julia)、Bill2D (C++)、Billiard Simulator (Matlab) です。このページのアニメーションは、DynamicalBilliards.jl を使用して作成されました。

• フェルミ・ウラムモデル（振動壁を持つビリヤード）
• 圧縮のルバチェフスキー・スティリンガーアルゴリズムは、剛体球が境界だけでなく、球同士が衝突しながらサイズが大きくなることをシミュレートする^[15]
• 算数ビリヤード
• 照明の問題

• シナイ、Ya. G. (1963)。「統計力学の動的システムに対するエルゴード仮説の基礎について」。SSSR国立アカデミー紀要(ロシア語)。153 ( 6): 1261–1264。（英文では、Sov. Math Dokl. 4（1963）pp. 1818–1822）。
• Ya. G. Sinai、「弾性反射を伴う動的システム」、ロシア数学調査、25、(1970)pp.137-191。
• VI アーノルドと A. アベス、Théorie ergodique des systèms dynamiques、(1967 年)、ゴーティエ ヴィラール、パリ。 （英語版：Benjamin-Cummings、マサチューセッツ州レディング、1968 年）。(シナイのビリヤードに関する議論と参考資料を提供します。)
• D. Heitmann、JP Kotthaus、「量子ドットアレイの分光法」、Physics Today (1993) pp. 56–63。(シリコンウェーハ上のナノスケール (メソスコピック) 構造として実現されたシナイのビリヤードの量子バージョンの実験テストのレビューを提供します。)
• S. Sridhar と WT Lu、「シナイビリヤード、ルエルゼータ関数とルエル共鳴: マイクロ波実験」、(2002) Journal of Statistical Physics、第108巻第 5/6 号、pp. 755–766。
• Linas Vepstas、Sinai's Billiards、(2001)。(3 次元空間における Sinai のビリヤードのレイ トレーシング画像を提供します。これらの画像は、システムの強いエルゴード性をグラフィックで直感的に示しています。)
• N. Chernov および R. Markarian、「Chaotic Billiards」、2006 年、数学概説およびモノグラフ第 127 号、AMS。

• T. Schürmann および I. Hoffmann、「n 単体内の奇妙なビリヤードのエントロピー」。J . Phys. A28、5033 ページ以降、1995 年。PDF ドキュメント

• LABunimovich (1979). 「どこにも分散しないビリヤードのエルゴード的性質について」. Commun Math Phys . 65 (3): 295–312. Bibcode :1979CMaPh..65..295B. doi :10.1007/BF01197884. S2CID  120456503.
• LABunimovich & Ya. G. Sinai (1980). 「分散ビリヤードのマルコフ分割」. Commun Math Phys . 78 (2): 247–280. Bibcode :1980CMaPh..78..247B. doi :10.1007/bf01942372. S2CID  123383548.
• 混乱したブニモビッチスタジアムを描いたフラッシュアニメーション

• MV DeryabinとLD Pustyl'nikov、「一般化相対論的ビリヤード」、Reg. and Chaotic Dyn. 8(3)、pp. 283–296 (2003)。
• MV DeryabinとLD Pustyl'nikov、「外部力場における一般化相対論的ビリヤードについて」、Letters in Mathematical Physics、63(3)、pp. 195–207 (2003)。
• MV DeryabinとLD Pustyl'nikov、「一般化相対論的ビリヤードにおける指数アトラクター」、Comm. Math. Phys. 248(3)、pp. 527–552 (2004)。

• ワイスタイン、エリック・W.「ビリヤード」。マスワールド。
• Scholarpedia のダイナミックビリヤードに関する記事 (レオニード・ブニモビッチ)
• ビリヤードを用いた動的システム入門、マックス・プランク複雑系物理学研究所