レオンハルト・オイラー

レオンハルト・オイラー
ヤコブ・エマヌエル・ハンドマンによる肖像画、1753年
生まれる	( 1707-04-15 )1707年4月15日 バーゼル、スイス連邦
死亡	1783年9月18日(1783-09-18)（76歳） [ OS : 1783 年 9 月 7 日] サンクトペテルブルク、ロシア帝国
教育	バーゼル大学( MPhil )
知られている	貢献 同名
配偶者たち	カタリーナ・グゼル ​ ​ （ 1734年生まれ 、1773年死去） サロメ・アビゲイル・グセル ​ ​ （ 1776年生まれ）
子供たち	ヨハンを含む13人
受賞歴	FRS (1747)
科学者としてのキャリア
フィールド	数学 物理
機関	ロシア帝国科学アカデミー ベルリンアカデミー
論文	Dissertatio physica de sono (音に関する物理学論文)  (1726)
博士課程の指導教員	ヨハン・ベルヌーイ
博士課程の学生	ヨハン・ヘナート
その他の著名な学生	ニコラス・フス ステパン・ルモフスキー ジョセフ＝ルイ・ラグランジュ（書簡通信員）[a] アンダース・ヨハン・レクセル
サイン

レオンハルト・オイラー( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər ; ^[b] ドイツ語: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ^ⓘ、スイス標準ドイツ語:[ˈleɔnhardˈɔʏlər]; 1707年4月15日 - 1783年9月18日) は、スイスの数学者、物理学者、天文学者、地理学者、論理学者、エンジニアグラフ理論と位相の研究を創始し解析的数論、複素解析、微積分など、数学の他の多くの分野で先駆的で影響力のある発見をした数学関数の概念を含む、現代の数学用語と表記法。^[6]力学、流体力学、光学、天文学、音楽理論の分野での研究でも知られている。^[7]

オイラーは歴史上最も偉大で多作な数学者の一人であり、18世紀で最も偉大な数学者の一人とみなされている。オイラーの死後に著作を残した数人の偉大な数学者は、その分野におけるオイラーの重要性を認識しており、その多くに帰せられる引用文がそれを示している。ピエール＝シモン・ラプラスは「オイラーを読め、オイラーを読め。彼は我々すべての師である」と述べて、オイラーの数学への影響を表現した。^{[8] [c]} カール・フリードリヒ・ガウスは「オイラーの著作の研究は、数学のさまざまな分野にとって最良の学校であり続けるだろう。そして、他の何物もこれに取って代わることはできない」と書いた。^{[9] [d]}彼の866の出版物と書簡は、完成すると81冊の四つ折り本になるオペラ・オムニア・レオンハルト・オイラーに収集されている。^{[11] [12] [13]}彼は成人期のほとんどをロシアのサンクトペテルブルクと当時のプロイセンの首都ベルリンで過ごした。

オイラーは、円周と直径の比を表すギリシャ文字（小文字のπ ）を普及させたほか、関数の値の表記、虚数単位を表す文字、和を表すギリシャ文字（大文字のシグマ） 、差分を表すギリシャ文字（大文字のデルタ）を初めて使用し、三角形の辺を表すのに小文字を使い、角度を大文字で表すという手法も考案したとされる。^[14]彼は、現在オイラー数として知られている自然対数の底である 定数の現在の定義を与えた。^[15]${\displaystyle \pi}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle e}$

オイラーはグラフ理論を最初に開発した人物としても知られている（ケーニヒスベルクの7つの橋の問題に対する解決策として、これは位相幾何学の最初の実用的応用とも考えられている）。彼はまた、他の多くの業績の中でも、有名なバーゼル問題を含む数論と解析学におけるいくつかの未解決問題の解決策を提供したことで有名になった。オイラーはまた、多面体の頂点と面の数の合計から辺の数を引いた値が2に等しいことを発見したことでも知られており、この数は現在ではオイラー標数として一般的に知られている。物理学の分野では、オイラーは2巻からなる著作『力学』の中で、剛体の運動をよりよく説明するため、ニュートンの物理法則を新しい法則に再定式化した。彼はまた、固体の 弾性変形の研究にも多大な貢献をした。

レオンハルト・オイラーは1707年4月15日、バーゼルで、改革派教会の牧師パウル3世オイラーと、古典学の著名な学者を先祖に持つマルグリット（旧姓ブルッカー）の子として生まれた。^[16]彼は4人兄弟の長男で、アンナ・マリアとマリア・マグダレーナという2人の妹と、ヨハン・ハインリヒという1人の弟がいた。^{[17] [16]}レオンハルトの誕生後まもなく、オイラー一家はバーゼルからスイスのリーエンに引っ越し、そこで父親は地元の教会の牧師となり、レオンハルトは幼少期のほとんどを過ごした。^[16]

オイラーは幼い頃から父親から数学の教育を受けていた。父親は数年前にバーゼル大学でヤコブ・ベルヌーイの講義を受けていた。8歳頃、オイラーは母方の祖母の家に預けられ、バーゼルのラテン語学校に入学した。さらに、数学に強い関心を持つ若い神学者、ヨハネス・ブルクハルトから個人指導を受けた。^[16]

1720年、13歳でオイラーはバーゼル大学に入学した。^[7]当時、これほど若くして大学に通うことは珍しいことではなかった。^[16]初等数学の講義は、亡くなったヤコブ・ベルヌーイ（オイラーの父の教師だった）の弟、ヨハン・ベルヌーイが担当した。ヨハン・ベルヌーイとオイラーはすぐに親しくなった。オイラーは自伝の中でベルヌーイについて次のように述べている。^[18]

「有名なヨハン・ベルヌーイ教授は、数学の分野で私を助けることを特別な喜びとしていました。しかし、個人レッスンは忙しいという理由で断られました。しかし、彼は私に、もっと有益なアドバイスをくれました。それは、私がもっと難しい数学の本をいくつか手に入れて、一生懸命に勉強し、もし私が異議や困難に直面したら、毎週土曜日の午後に彼に自由に会えるようにしてくれたのです。また、彼は、集められた困難について親切にコメントしてくれました。それはとても望ましい効果があり、彼が私の異議の 1 つを解決すると、他の 10 の異議がすぐに消えました。これは確かに、数学の分野で幸せな進歩を遂げる最良の方法です。」

この時期にオイラーはベルヌーイの支援を受けて、牧師ではなく数学者になることを父親の同意を得た。^{[19] [20]}

1723年、オイラーはルネ・デカルトとアイザック・ニュートンの哲学を比較した論文で哲学の修士号を取得した。^[16]その後、バーゼル大学の神学部に入学した。^[20]

1726年、オイラーは音の伝播に関する論文「De Sono」^{[21] [22]}を完成させたが、バーゼル大学への就職を試みたものの失敗に終わった。^[23] 1727年、彼はパリ・アカデミー賞コンクール（アカデミーは1720年から毎年、後に2年ごとに開催）^[24]に初めて参加した。その年に出された問題は、船のマストを最もよく配置する方法を見つけることだった。 「造船学の父」として知られるピエール・ブーゲが優勝し、オイラーは2位となった。 ^[25]オイラーはその後15回このコンクールに参加し、^[24] 12回優勝した。^[25]

ヨハン・ベルヌーイの二人の息子、ダニエルとニコラウスは1725年にサンクトペテルブルクのロシア帝国科学アカデミーに就職し、オイラーは空席があれば推薦すると約束された。^[23] 1726年7月31日、ニコラウスはロシアに来て1年も経たないうちに虫垂炎で亡くなった。^{[26] [27]}ダニエルは兄に代わって数学/物理学部門の職に就いたとき、自分が空けた生理学のポストに友人のオイラーを推薦した。^[23] 1726年11月、オイラーはその申し出を喜んで受け入れたが、バーゼル大学の物理学教授職に応募して落選したため、サンクトペテルブルク行きを遅らせた。^[23]

オイラーは1727年5月にサンクトペテルブルクに到着した。^{[23] [20]}彼はアカデミーの医学部の若手職から数学部の職に昇進した。彼はダニエル・ベルヌーイの家に下宿し、緊密に協力して働いた。^{[28]オイラーはロシア語を習得し、サンクトペテルブルクでの生活に落ち着き、}ロシア海軍の衛生兵という副業も始めた。^[29]

ピョートル大帝によって設立されたサンクトペテルブルクのアカデミーは、ロシアの教育を改善し、西ヨーロッパとの科学の格差を埋めることを目的としていた。その結果、アカデミーはオイラーのような外国人学者にとって特に魅力的なものとなった。^[25]アカデミーの支援者であり、亡き夫の進歩的な政策を引き継いだエカチェリーナ1世は、オイラーがサンクトペテルブルクに到着する前に亡くなった。 ^[30]ロシアの保守的な貴族は、12歳のピョートル2世の即位とともに権力を握った。^[30]貴族はアカデミーの外国人科学者に疑念を抱き、オイラーとその同僚への資金提供を削減し、外国人および非貴族の学生がギムナジウムや大学に入学することを妨げた。^[30]

1730年にピョートル2世が死去し、ドイツの影響を受けたロシアのアンナが権力を握ると、状況はわずかに改善した。^[31]オイラーはアカデミーで急速に昇進し、1731年に物理学の教授になった。 ^{[31]彼はまた、ロシア海軍を去り、}中尉への昇進を拒否した。^[31] 2年後、ダニエル・ベルヌーイはサンクトペテルブルクでの検閲と敵意にうんざりしてバーゼルに去った。オイラーは彼の後を継いで数学科長になった。^{[32] 1734年1月、オイラーは}ゲオルク・グゼルの娘、カタリーナ・グゼル（1707–1773）と結婚した。^[33] フリードリヒ2世は1740年に新設したベルリンアカデミーにオイラーを採用しようとしたが、オイラーは当初サンクトペテルブルクに留まることを選んだ。^[34]しかし、アンナ皇后が亡くなり、フリードリヒ2世が1600エキュ（ロシアでオイラーが稼いだ額と同じ）を支払うことに同意した後、彼はベルリンへの移住に同意した。1741年、彼は視力のためにより温暖な気候が必要だと主張してベルリンへの移住許可を求めた。^[34]ロシアアカデミーは同意し、活動的な会員として彼に年間200ルーブルを支払うことになった。^[34]

ロシアで続く混乱を懸念したオイラーは、1741年6月にサンクトペテルブルクを離れ、プロイセンのフリードリヒ大王から提供されていたベルリン科学アカデミーの職に就いた。^[35]彼はベルリンで25年間暮らし、そこで数百の論文を書いた。^[20] 1748年に関数に関する著書『Introductionio in analysin infinitorum』が出版され、1755年には微分積分に関する著書『Institutiones calculi differentis』が出版された。^{[36] [37] 1755年、彼は}スウェーデン王立科学アカデミー^[38]とフランス科学アカデミーの外国人会員に選出された。^[39]ベルリンでオイラーに師事した著名な学生には、後にロシア初の天文学者とされるステパン・ルモフスキーがいる。 ^{[40] [41]} 1748年に彼はバーゼル大学から亡くなったヨハン・ベルヌーイの後任としてオファーを受けたが断った。^{[20] 1753年に彼は}シャルロッテンブルクに家を購入し、家族と未亡人の母親とともにそこに住んだ。^{[42] [43]}

オイラーは、アンハルト＝デッサウ公女でフリードリヒの姪であるブランデンブルク＝シュヴェート公女フリーデリケ・シャルロッテの家庭教師となった。1760年代初頭にオイラーは彼女に200通以上の手紙を書き、後にそれらは『ドイツ公女に宛てた自然哲学のさまざまな主題に関するオイラーの手紙』と題する一冊の本にまとめられた。^[44]この作品には、物理​​学と数学に関するさまざまな主題についてのオイラーの説明が含まれており、オイラーの性格と宗教的信念に関する貴重な洞察を提供している。この作品は複数の言語に翻訳され、ヨーロッパ全土と米国で出版され、彼の数学に関するどの作品よりも広く読まれた。手紙の人気は、オイラーが一般の聴衆に科学的事柄を効果的に伝える能力を証明しており、熱心な研究者科学者としては稀有な能力である。^[37]

オイラーはアカデミーの名声に多大な貢献をし、ジャン・ル・ロン・ダランベールによってアカデミー会長候補に推されていたにもかかわらず、フリードリヒ2世は自ら会長に就任した。^[43]プロイセン王は宮廷に多くの知識人を抱えており、この数学者は数字以外の事柄については素朴で無知であると感じていた。オイラーは単純で敬虔な信心深い人物で、既存の社会秩序や慣習的な信念に疑問を抱くことはなかった。彼は多くの点で、フリードリヒの宮廷で高い地位にあったヴォルテールとは正反対だった。オイラーは熟練した討論者ではなく、よく自分があまり知らない主題について議論することを心がけていたため、ヴォルテールの機知の標的になることが多かった。^[37]フリードリヒはオイラーの実用的な工学的能力にも失望を表明し、次のように述べている。

私は庭に水門を取り付けたかった。オイラーは水を貯水池まで汲み上げるのに必要な車輪の力を計算し、そこから水が溝を通って流れ落ち、最終的にサンスーシに噴出するようにした。私の水車は幾何学的に作られており、貯水池から50歩以内では一口分の水も汲み上げることができなかった。空虚の空虚！幾何学の空虚！^[4​​5]

しかし、技術的な観点から見れば、その失望はほぼ間違いなく不当なものだった。たとえオイラーとフリードリヒ2世や噴水建設者たちとのやり取りがうまくいかなかったとしても、オイラーの計算は正しいと思われる。^[46]

ベルリン滞在中、オイラーはサンクトペテルブルクのアカデミーと強いつながりを保ち、ロシアでも109本の論文を発表した。^[47]彼はサンクトペテルブルクのアカデミーの学生を支援し、時にはベルリンの自宅にロシア人学生を泊めることもあった。^[47] 1760年、七年戦争が激化する中、シャルロッテンブルクのオイラーの農場は進軍するロシア軍によって略奪された。^[42]この事件を知ったイヴァン・ペトローヴィチ・サルティコフ将軍はオイラーの財産に生じた損害の賠償金を支払い、後にロシア皇后エリザヴェータは当時としては法外な金額であった4000ルーブルを追加で支払った。^[48]オイラーは1766年にベルリンを離れ、ロシアに戻ることを決意した。^[49]

ベルリン時代（1741-1766年）はオイラーの生産性が最も高かった時期だった。彼は380の著作を書き、そのうち275が出版された。^[50]これにはベルリンアカデミーでの125の回想録と、彼を会員として留め、年間の給与を支払っていたサンクトペテルブルクアカデミーに送られた100以上の回想録が含まれている。オイラーの『無限分析入門』は1748年に2部構成で出版された。オイラーは自身の研究に加えて、図書館、天文台、植物園、そしてアカデミーの収入源となった暦や地図の出版を監督した。^{[51]彼は王の夏の宮殿である}サンスーシの噴水の設計にも関わった。^[52]

エカチェリーナ2世の即位後、ロシアの政情は安定し、1766年にオイラーはサンクトペテルブルクのアカデミーに戻るよう招かれた。彼の条件はかなり法外なもので、年俸3000ルーブル、妻への年金、息子たちの高官就任の約束などであった。大学では、教え子のアンデルス・ヨハン・レクセルが彼を助けた。^[53]サンクトペテルブルクに住んでいた1771年、彼の家は火事で焼け落ちた。^[54]

1734年1月7日、彼はサンクトペテルブルクのアカデミー・ギムナジウム出身の画家ゲオルク・グゼルの娘カタリーナ・グゼル（1707年 - 1773年）と結婚した。 ^{[33]若い夫婦は}ネヴァ川沿いに家を購入した。

13人の子供のうち、幼少期を生き延びたのは5人だけで、³人の息子と2人の娘でした。^[56]彼らの最初の息子はヨハン・アルブレヒト・オイラーで、クリスティアン・ゴールドバッハが名付け親でした。^[56]

1773年に妻が亡くなってから3年後、^[54]オイラーは妻の異母妹サロメ・アビゲイル・グゼル（1723年 - 1794年）と結婚した。^[57]この結婚は1783年にオイラーが亡くなるまで続いた。

弟のヨハン・ハインリヒは1735年にサンクトペテルブルクに定住し、アカデミーで画家として働いた。^[34]

オイラーは若い頃にウェルギリウスの『アエネイス』を全文暗記し、老年期には詩全体を暗唱できるようになり、学んだ版の各ページの最初と最後の文を暗唱できた。^{[58] [59]}

オイラーの視力は数学者としてのキャリアを通じて悪化していった。1738年、熱病で瀕死の状態から3年後、^[60]右目がほぼ見えなくなった。オイラーはサンクトペテルブルク・アカデミーで地図作成をしていたことが原因だと主張したが^[61]、失明の原因は依然として憶測の的となっている。^{[62] [63]}オイラーの左目の視力はドイツ滞在中ずっと悪化し、フリードリヒ1世は彼を「サイクロプス」と呼んだ。オイラーは視力低下について「これで気が散ることが減る」と述べた。^[61] 1766年、左目に白内障が見つかった。白内障を治療すると一時的に視力は改善したが、合併症により最終的には左目もほぼ完全に失明した。^[39]しかし、彼の状態は生産性にほとんど影響を及ぼさなかったようである。筆記者の助けにより、オイラーの多くの研究分野での生産性は向上した。^[64]そして1775年には、平均して毎週1本の数学論文を発表した。^[39]

1783年9月18日、サンクトペテルブルクで家族と昼食をとった後、オイラーは新しく発見された惑星天王星とその軌道についてアンネシュ・ヨハン・レクセルと話し合っていたところ、脳出血で倒れて亡くなった。^[62]ヤコブ・フォン・シュテーリン [de]はロシア科学アカデミーに短い死亡記事を書き、オイラーの弟子の一人であるロシアの数学者ニコラ・フスはより詳しい弔辞を書き、 ^[55]追悼集会で述べた。フランスの数学者で哲学者のコンドルセ侯爵はフランス科学アカデミーに送った弔辞で次のように書いている 。

計算することと生きることをやめた— ... 彼は計算することも生きることもやめた。^[65]

オイラーは、ヴァシリエフスキー島のスモレンスク・ルーテル墓地でカタリーナの隣に埋葬された。1837年、ロシア科学アカデミーは、生い茂ったオイラーの墓碑の代わりに新しい記念碑を設置した。1957年、オイラー生誕250周年を記念して、彼の墓はアレクサンドル・ネフスキー修道院のラザレフスコエ墓地に移された。^[66]

オイラーは、幾何学、微分積分学、三角法、代数学、数論、連続体物理学、月理論、その他の物理学の分野など、数学のほぼすべての分野で研究を行った。彼は数学の歴史において重要な人物であり、彼の著作の多くは基礎的な興味をそそるもので、印刷されれば60〜80冊の四つ折り本になるだろう。 [ ^39]オイラーの名前は多くの話題と結びついている。オイラーの著作は1725年から1783年まで平均して年間800ページである。彼はまた、4500通を超える手紙と数百の原稿を書いた。レオンハルト・オイラーは、18世紀の数学、物理学、力学、天文学、航海術の成果を合わせた4分の1の著者であると推定されている。^[14]

オイラーは、多数の広く頒布された教科書を通じて、いくつかの表記法を導入し、普及させた。最も顕著なのは、関数の概念を導入したこと[ ^6]と、引数xに適用された関数f を表すためにf ( x )と書いた最初の人物である。また、三角関数の現代的な表記法、自然対数(現在はオイラー数としても知られている)の底を表す文字e 、合計を表すギリシャ文字Σ 、虚数単位を表す文字i も導入した。^[67]円周と直径の比を表すギリシャ文字πの使用もオイラーによって普及したが、これはウェールズの数学者ウィリアム・ジョーンズが考案したものである。^[68]

微積分の発展は18世紀の数学研究の最前線にあり、ベルヌーイ家（オイラーの友人）は、この分野における初期の進歩の多くを担っていました。彼らの影響により、微積分の研究はオイラーの研究の主な焦点となりました。オイラーの証明のいくつかは、現代の数学的厳密さの基準では受け入れられないものですが^[69]（特に代数の一般性の原理への依存）、彼のアイデアは多くの大きな進歩をもたらしました。オイラーは、関数を無限個の項の和として表現する冪級数を頻繁に使用し、発展させたことで解析学でよく知られています。^[70]たとえば、 $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$$

オイラーは冪級数を用いることで、 1735年にバーゼル問題を解き、あらゆる自然数の平方の逆数の和を求めることに成功した（1741年にはより精緻な議論を展開している）。バーゼル問題はもともとピエトロ・メンゴリが1644年に提起したもので、1730年代には有名な未解決問題となり、ヤコブ・ベルヌーイによって普及したが、当時の多くの一流数学者によって挑戦されたが、成功しなかった。オイラーは次のことを発見した。^{[71] [72] [69]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

オイラーは、現在オイラー定数またはオイラー・マスケローニ定数として知られている定数を導入し 、その定数と調和級数、ガンマ関数、リーマンゼータ関数の値との関係を研究した。^[73]$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,}$$

オイラーは、指数関数と対数を解析的証明に導入した。彼は、さまざまな対数関数をべき級数で表現する方法を発見し、負の数と複素数に対する対数を定義することに成功し、対数の数学的応用の範囲を大幅に拡大した。^{[67]彼はまた、複素数の指数関数を定義し、}三角関数との関係を発見した。任意の実数 φ（ラジアンとみなされる）に対して、オイラーの公式によれば、複素指数関数は次式を満たす。 $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

これはリチャード・ファインマンによって「数学における最も注目すべき公式」と呼ばれた。^[74]

上記の式の特別なケースはオイラーの恒等式として知られている。 $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

オイラーはガンマ関数^{[75] [76]}を導入して高次超越関数の理論を詳述し、四次方程式を解く新しい方法を導入した。^{[77]彼は複素極限での積分を計算する方法を発見し、現代の}複素解析の発展を予見した。彼は変分法を発明し、この分野の最適化問題を微分方程式の解に還元するオイラー-ラグランジュ方程式を定式化した。

オイラーは数論の問題を解くために解析的手法を使う先駆者でした。そうすることで、彼は数学の2つの異なる分野を統合し、解析的数論という新しい研究分野を導入しました。この新しい分野を開拓するために、オイラーは超幾何級数、q級数、双曲三角関数、連分数の解析的理論を創始しました。たとえば、彼は調和級数の発散を使用して素数の無限性を証明し、解析的手法を使用して素数の分布方法をある程度理解しました。この分野でのオイラーの研究は素数定理の開発につながりました。^[78]

オイラーの数論への関心は、サンクトペテルブルクアカデミーの友人であるクリスチャン・ゴールドバッハ^[79]の影響に遡ることができます。 ^{[60]オイラーの数論に関する初期の研究の多くは、}ピエール・ド・フェルマーの研究に基づいています。オイラーはフェルマーのアイデアのいくつかを発展させ、すべての数（フェルマー数）は素数であるという予想など、フェルマーの予想のいくつかを反証しました。^[80]${\textstyle 2^{2^{n}}+1}$

オイラーは素数分布の性質を解析学の考え方と結び付けた。彼は素数の逆数の和が発散することを証明した。その過程で、彼はリーマンゼータ関数と素数の関係を発見した。これはリーマンゼータ関数のオイラー積の公式として知られている。^[81]

オイラーはトーティエント関数φ( n ) を発明した。これは整数n以下の正の整数のうちnと互いに素なものの個数である。この関数の特性を利用して、彼はフェルマーの小定理を一般化した。現在ではオイラーの定理として知られている。^{[82]彼は、}ユークリッド以来数学者を魅了してきた完全数論に大きく貢献した。彼は、偶数の完全数とメルセンヌ素数(彼が以前に証明していた) の関係が 1 対 1 であることを証明した。この結果はユークリッド-オイラーの定理としても知られている。^{[83]オイラーは、}二次の相互法則についても予想した。この概念は数論における基本定理とみなされており、彼のアイデアはカール・フリードリヒ・ガウスの研究、特に『算術研究』への道を開いた。^{[84] 1772年までにオイラーは2 31}  − 1 = 2,147,483,647がメルセンヌ素数であることを証明した。これは1867年まで最大の素数として知られていた可能性がある^。[85]

オイラーは整数の分割理論にも大きな発展をもたらした。^[86]

1735年、オイラーは「ケーニヒスベルクの7つの橋」として知られる問題の解法を提示した。^[87]プロイセンのケーニヒスベルク市はプレーゲル川沿いにあり、7つの橋で互いに、また本土と結ばれた2つの大きな島を含んでいた。問題は、各橋を正確に1回渡って出発点に戻る経路をたどることが可能かどうかを判断することである。それは不可能である。オイラー閉路は存在しないからである。この解法はグラフ理論の第一定理と考えられている。^[87]

オイラーはまた、凸多面体の頂点、辺、面の数を関係付ける公式を発見した。 ^[88]これは平面グラフの公式でもある。この公式の定数は現在、グラフ（または他の数学的対象）のオイラー特性として知られており、対象の種数と関係している。 [ 89 ^]この公式の研究と一般化、特にコーシー^[90]とルイリエ[ ^{91]による研究と一般化は、}位相幾何学の起源である。^[88]${\displaystyle V-E+F=2}$

オイラーの最大の功績は、現実世界の問題を解析的に解くことと、ベルヌーイ数、フーリエ級数、オイラー数、定数eとπ、連分数、積分の数多くの応用を説明したことである。彼はライプニッツの微分積分学とニュートンの流数法を統合し、微積分学を物理的問題に適用しやすくするツールを開発した。彼は積分の数値近似の改善に大きな進歩を遂げ、現在ではオイラー近似法として知られるものを発明した。これらの近似法の中で最も注目すべきものは、オイラー法^[92]とオイラー・マクローリンの公式[93] である。^{[94 ] [95]}

オイラーは、工学の基礎となったオイラー・ベルヌーイの梁方程式の開発に貢献した。 ^{[96]オイラーは、}古典力学の問題に解析ツールをうまく適用しただけでなく、これらの手法を天体の問題にも適用した。彼の天文学における仕事は、生涯を通じてパリ・アカデミー賞を何度も受賞している。彼の業績には、彗星やその他の天体の軌道を非常に正確に決定し、彗星の性質を理解し、太陽の視差を計算したことなどがある。彼の計算は、正確な経度表の開発に貢献した。^[97]

オイラーは光学において重要な貢献をした。^[98]彼は当時の主流であったニュートンの光の粒子理論^[99]に反対した。1740年代の彼の光学に関する論文は、少なくとも光の量子論が発展するまでは、クリスティアーン・ホイヘンスが提唱した光の波動理論が主流の考え方となることを確実にするのに役立った。^[100]

流体力学において、オイラーは1754年に初めてキャビテーション現象を予測した。これは19世紀後半に初めて観測されるよりずっと前のことである。また、流体の流れの計算に使用されるオイラー数は、タービンの効率に関する彼の関連研究に由来している。^{[101] 1757年に彼は}流体力学における非粘性流に関する重要な方程式を発表した。これは現在ではオイラー方程式として知られている。^[102]

オイラーは、理想的な支柱の臨界座屈荷重であるオイラーの臨界荷重を与える公式で構造工学においてよく知られており、この荷重は支柱の長さと曲げ剛性のみに依存します。[ 103 ^]

オイラーは三段論法を説明するために閉曲線を使ったとされている（1768年）。これらの図はオイラー図として知られるようになった。^[104]

オイラー図は、集合とその関係を表す図式的な手段です。オイラー図は、集合を表す平面上の単純な閉曲線 (通常は円) で構成されます。各オイラー曲線は、平面を 2 つの領域または「ゾーン」に分割します。内部は集合の要素を象徴的に表し、外部は集合のメンバーではないすべての要素を表します。曲線のサイズや形状は重要ではありません。図の重要性は、それらがどのように重なり合うかにあります。各曲線で囲まれた領域間の空間関係 (重なり、包含、またはどちらでもない) は、集合論的な関係 (交差、部分集合、および分離) に対応します。内部ゾーンが交差しない曲線は、互いに素な集合を表します。内部ゾーンが交差する 2 つの曲線は、共通要素を持つ集合を表します。両方の曲線の内側のゾーンは、両方の集合に共通する要素の集合 (集合の交差) を表します。別の曲線の内部ゾーンに完全に含まれる曲線は、その曲線のサブセットを表します。

オイラー図（およびそれを改良したベン図）は、1960年代の新数学運動の一環として集合論の指導の一部として取り入れられました。 ^[105]それ以来、オイラー図は特性の組み合わせを視覚化する方法として広く使用されるようになりました。^[106]

オイラーの珍しい関心事の一つは、数学的アイデアを音楽に応用することだった。1739年に彼は『音楽の新理論の試み』 ( Tentamen novae theoriae musicae ) を著し、最終的には音楽理論を数学の一部として取り入れたいと考えた。しかし、彼の著作のこの部分は広く注目されることはなく、かつては音楽家には数学的すぎる、数学者には音楽的すぎると評されたこともあった。^[107]音楽を扱うときでさえ、オイラーのアプローチは主に数学的であり、^[108]たとえば、オクターブを小数部分に分割することを数値的に記述する方法として、 2進対数を導入した。 ^[109]音楽に関する彼の著作は特に多くはないが(全著作約3万ページのうち数百ページ)、それらは彼が幼少期に抱いていた関心と、生涯を通じて抱いていた関心を反映している。^[108]

オイラーの音楽理論の第一の点は、「ジャンル」の定義、すなわち素数 3 と 5 を使ったオクターブの可能な分割である。オイラーはそのようなジャンルを 18 種類説明しており、一般的な定義は 2 ^m A である。ここで、A はジャンルの「指数」（すなわち、3 と 5 の指数の合計）であり、2 ^m（ここで「m は不定数で、小さくても大きくても構わないが、音が知覚できる限りである」^[110]）は、関係が関係するオクターブの数とは無関係に成り立つことを表す。A = 1 の最初のジャンルはオクターブ自体（またはその複製）である。2 番目のジャンル 2 ^m .3 は、オクターブを 5 度で割ったもの（5 度 + 4 度、C–G–C）である。3 番目のジャンルは 2 ^m .5 で、長 3 度 + 短 6 度（C–E–C）である。 4番目は2 ^m .3 ²で、4分の2と1音（C–F–B ♭ –C）です。5番目は2 ^m .3.5（C–E–G–B–C）です。などです。ジャンル12（2 ^m .3 ³ .5）、13（2 ^m .3 ² .5 ²）、14（2 ^m .3.5 ³ ）は、それぞれ古代のダイアトニック、クロマチック、異名同音の修正版です。ジャンル18（2 ^m .3 ³ .5 ²）は「ダイアトニコクロマチック」で、「すべての作曲で一般的に使用」されており、^[111]ヨハン・マッテゾンによって記述されたシステムと同一であることが判明しました。^[112]オイラーは後に素数7を含むジャンルを記述する可能性を思い描きました。 ^[113]

オイラーは、全音階の半音階のジャンルを説明するために、Speculum musicum ^{[114] [115]}という特別なグラフを考案し、特定の音程におけるこのグラフの経路について議論し、ケーニヒスベルクの7つの橋（上記参照）への関心を思い起こさせた。このグラフは、新リーマン理論におけるトンネッツとして新たな関心を集めた（Lattice (music)も参照）。^[116]

オイラーはさらに「指数」の原理を使って、音程と和音の素因数からgradus suavitatis (柔らかさ、心地よさの度合い) を導出することを提案した。彼が考慮したのは純正律、つまり 1 と素数 3 と 5 だけだったことを忘れてはならない。^[117]このシステムを任意の数の素数に拡張する公式が提案されている。たとえば、 p i_は素数、k _{i は}その指数である。^[118]$${\displaystyle ds=\sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,}$$

オイラーは生涯を通じて信仰深い人物であった。^[20]オイラーの宗教的信念について知られていることの多くは、彼の『ドイツ王女への手紙』と、それ以前の著作『自由思想家の反論に対する神の啓示の擁護』から推測することができる。これらの著作は、オイラーが聖書が神の啓示によるものだと信じていた敬虔なキリスト教徒であったことを示している。『解放論』は主に聖書の神の啓示を主張するものであった。^{[119] [120]}

オイラーはライプニッツの モナド論とクリスティアン・ヴォルフの哲学の概念に反対した。^[121]オイラーは知識は部分的には正確な定量的法則に基づいていると主張したが、これはモナド論とヴォルフの科学では提供できないものだった。オイラーはまたヴォルフの考えを「異教徒で無神論的」と呼んだ。^[122]

オイラーが宗教をめぐって世俗の哲学者たちと論争した有名な伝説^[123]がある。これはオイラーがサンクトペテルブルクのアカデミーに二度在籍していた頃のことである。フランスの哲学者デニス・ディドロは、エカチェリーナ2世の招待でロシアを訪れていた。しかし、女帝は、この哲学者の無神論の議論が宮廷の人々に影響を与えていることに不安を感じ、オイラーはフランス人と対決するよう依頼された。ディドロは、博学な数学者が神の存在の証明を行ったことを知らされ、法廷で提示された証明を見ることに同意した。オイラーが現れ、ディドロに向かって進み出て、完全に確信に満ちた口調で、この非論理的な発言をした。

「先生、、それゆえ神は存在するのです。お答えください！」 ${\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}$

ディドロにとって数学はすべて意味不明だった（と物語は言う）ため、宮廷から笑い声が上がると、彼は呆然と立ち尽くした。恥ずかしくなった彼はロシアを離れることを願い出たが、皇后はその願いを快く認めた。この逸話は面白いかもしれないが、ディドロ自身が数学の研究をしていたことを考えると、真偽のほどは定かではない。^{[124]この伝説は、明らかに}デュドネ・ティエボー が最初に語り、オーギュスト・ド・モルガンが脚色を加えたものである。^[123]

オイラーは、スイスの10フラン紙幣の第6シリーズ^[125]と第7シリーズ^{[126]の両方に描かれており、スイス、ドイツ、ロシアの多数の郵便切手にも描かれている。1782年に彼は}アメリカ芸術科学アカデミーの外国人名誉会員に選出された。^[127]小惑星2002オイラーは彼にちなんで名付けられた。^[128]

オイラーは膨大な参考文献を持っています。彼の著書には以下のものがあります。

• メカニカ（1736）
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solution solutionatis isperimetrici latissimo sensu accepti (1744) ^[129] (最大または最小の特性を持つ曲線を見つける方法、または最も広く受け入れられた意味での等周問題の解法) ^[130]
• Introductio in ananalysin infinitorum (1748) ^{[131] [132]} (無限の分析入門) ^[133]
• Institutiones calculi Differentialis (1755) ^{[132] [134]} (微分積分の基礎)
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1765) ^[132] (代数の要素)
• Institutiones calculiintegris (1768–1770) ^[132] (積分計算の基礎)
• ドイツの王女への手紙（1768–1772） ^[37]
• ディオプトリカ、1769年に3巻で出版^[98]

オイラーの死後に出版された作品の大半が個別に出版されたのは1830年になってからで、^[135]さらに61点の未発表作品がポール・ハインリヒ・フォン・フス（オイラーの曾孫でニコラス・フスの息子）によって発見され、1862年にコレクションとして出版された。^{[135] [136]}オイラーの作品の年代順カタログは、スウェーデンの数学者グスタフ・エネストロームによって編纂され、1910年から1913年にかけて出版された。 ^[137]エネストローム索引として知られるこのカタログでは、オイラーの作品にE1からE866までの番号が付けられている。 [ ^138]オイラー・アーカイブはダートマス大学で始まり^{[139]、その後}アメリカ数学会^[140]に移り、最近では2017年にパシフィック大学に移った。 ^[141]

1907年、スイス科学アカデミーはオイラー委員会を設立し、オイラーの全作品の出版を委託した。19世紀に数回の延期を経て、^[135]オペラ・オムニアの第1巻は1911年に出版された。^[142]しかし、新しい写本の発見により、このプロジェクトの規模は拡大し続けた。幸いなことに、オイラーのオペラ・オムニアの出版は着実に進み、2006年までに70巻以上（各巻平均426ページ）が出版され、2022年までに80巻が出版された。^{[143] [12] [14]}これらの巻は4つのシリーズに分かれている。第1シリーズは解析学、代数学、数論に関する作品をまとめたもので、29巻、14,000ページを超える数から構成されている。シリーズIIの31巻、合計10,660ページには、力学、天文学、工学に関する作品が含まれています。シリーズIIIには物理学に関する12巻が含まれています。シリーズIVには、オイラーの書簡、未発表の原稿、メモなど膨大な量が含まれており、1967年に編集が開始されました。シリーズIVの8巻を印刷して出版した後、プロジェクトは2022年にシリーズIVの残りの予定巻をオンライン形式のみで出版することを決定しました。^{[12] [142] [14]}

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  Solutio 問題からの図... 1743 年の命題がActa Eruditorumに出版、1744 年
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  オイラーの方法論 inveniendi lineas curvasのタイトルページ
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  オイラーの1760年の世界地図
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  オイラーの1753年のアフリカ地図