肯定形

複素幾何学において、正形式という用語は、ホッジ型(p, p)の実微分形式のいくつかのクラスを指します。

複素多様体M上の実 ( p , p ) 形式は、型 ( p , p ) かつ実数である形式、つまり、交差に存在する形式です。実 (1,1) 形式は、次のいずれかの同値な条件が満たされる場合 、それぞれ半正値^[1] (単に正値^[2]と呼ばれることもある)、正値^[3] (または正定値^{[4] ) と呼ばれます。}${\displaystyle \Lambda^{p,p}(M)\cap \Lambda^{2p}(M,{\mathbb{R} }).}$${\displaystyle \omega}$

1. ${\displaystyle -\omega }$は、半正定値（または正定値）エルミート形式の虚部です。
2. (1,0)形式の空間内の何らかの基底については、実数および非負数（それぞれ正）と同様に、対角的に記述することができます。${\displaystyle dz_{1},...dz_{n}}$${\displaystyle \Lambda^{1,0}M}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i},}$${\displaystyle \alpha_{i}}$
3. 任意の (1,0)-接ベクトル に対して、(それぞれ、)。${\displaystyle v\in T^{1,0}M}$${\displaystyle -{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0}$${\displaystyle >0}$
4. 任意の実接ベクトル、（それぞれ 、）に対して、 は複素構造演算子です。${\displaystyle v\in TM}$${\displaystyle \omega (v,I(v))\geq 0}$${\displaystyle >0}$${\displaystyle I:\;TM\mapsto TM}$

代数幾何学では、正定値 (1,1) 形式は、十分な直線束(正直線束とも呼ばれる) の曲率形式として生じる。Lを複素多様体上の正則エルミート直線束とする。

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)}$

複素構造演算子Lは、エルミート構造を保存し、

${\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\部分 }}}$。

この接続はチャーン接続と呼ばれます。

チャーン接続の曲率は常に純虚数 (1,1)-形式です。直線束L は、 が正の (1,1)-形式である場合に正と呼ばれます。( の de Rham コホモロジー類は、Lの最初のチャーン類の倍数であることに注意してください。)小平埋め込み定理は、正の直線束は十分であり、逆に、十分な直線束は正のエルミート計量を許容することを主張しています。 ${\displaystyle \Theta}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$

M上の半正定値 (1,1) 形式は凸錐 を形成する。M がコンパクトな複素曲面 のとき、この錐はポアンカレ対に対して自己双対 である。${\displaystyle dim_{\mathbb {C} }M=2}$${\displaystyle \eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta }$

(p, p)形式 (ただし)には、正値性に関する 2 つの異なる概念があります。^[5]形式が 強正値であるとは、半正値の積の線形結合で、正の実係数を持つ場合です。n 次元複素多様体 M 上の実( p , p )形式は、コンパクトな台を持つすべての強正値(np, np)形式 ζ に対して が成り立つ場合、弱正値であるとされています。 ${\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C} }M-2}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0}$

弱正形式と強正形式は凸錐を形成します。コンパクト多様体では、これらの錐はポアンカレ対に対して 双対です。

• P. グリフィスとJ. ハリス(1978)、『代数幾何学の原理』、Wiley。ISBN 0-471-32792-1 
• グリフィス、フィリップ（2020年1月3日）。「正値定理と消失定理」。hdl ： 20.500.12111/7881。
• J.-P. Demailly、「正の直線束と随伴理論の L2 消失定理」、CIME コース「代数幾何学の超越論的手法」の講義ノート (イタリア、チェトラロ、1994 年 7 月)。
• Huybrechts、Daniel (2005)、Complex Geometry: An Introduction、Springer、ISBN 3-540-21290-6、MR  2093043
• ヴォワザン、クレア(2007) [2002]、ホッジ理論と複素代数幾何学 (2巻)、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511615344、ISBN 978-0-521-7180​​1-1、MR  1967689