シンプルに繋がった空間

位相空間は、パス連結であり、2点間のすべてのパスが、その2つの端点を保持したまま、他の任意のパスに連続的に変換できる場合、単連結（または1連結、または1単連結^{[ 1 ]}）であると呼ばれる。直感的には、これは、互いに素な部分がなく、完全に貫通する穴もない空間に対応する。なぜなら、そのような穴の異なる側を回る2つのパスは、互いに連続的に変換できないからである。位相空間の基本群は、その空間が単連結でないことを示す指標である。パス連結な位相空間は、その基本群が自明である場合に限り、単連結である。

位相空間${\displaystyle X}$パス連結で、かつ任意のループがである場合、 は単純連結であると呼ばれます。${\displaystyle X}$定義される${\displaystyle f:S^{1}\to X}$点に縮約できる：連続写像が存在する${\displaystyle F:D^{2}\to X}$そのため${\displaystyle F}$制限される$\displaystyle S^{1}}$は${\displaystyle f.}$ここ、$\displaystyle S^{1}}$そして${\displaystyle D^{2}}$はそれぞれ、ユークリッド平面における単位円と閉じた単位円盤を表す。

同等の表現は以下のとおりです。${\displaystyle X}$は、パス連結である場合に限り、単純連結であり、${\displaystyle p:[0,1]\to X}$そして${\displaystyle q:[0,1]\to X}$開始点と終了点が同じ 2 つのパス (つまり、連続マップ) です (${\displaystyle p(0)=q(0)}$そして${\displaystyle p(1)=q(1)}$）、 それから${\displaystyle p}$連続的に変形できる${\displaystyle q}$両端点を固定したまま。具体的には、ホモトピーが存在する。${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$そのため${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$そして${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

位相空間${\displaystyle X}$は、以下の場合に限り単調接続される。${\displaystyle X}$は経路連結であり、基本群は${\displaystyle X}$各点において、は自明であり、すなわち単位元のみから構成される。同様に、${\displaystyle X}$すべての点に対して、が単調連結である場合に限り、単調連結である。${\displaystyle x,y\in X,}$射の集合${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$基本群の中で${\displaystyle X}$要素は1つだけです。^{[ 2 ]}

複素解析において：開集合${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$は、両方が${\displaystyle X}$とリーマン球面におけるその補集合は連結している。虚部が厳密にゼロより大きく1より小さい複素数の集合は、その補集合が連結ではない平面の非有界連結開部分集合の例を提供する。しかしながら、それは単連結である。${\displaystyle X}$連結性によって、連結な拡張補集合を持つ平面の開集合の探索が可能になります。例えば、（必ずしも連結ではない）開集合は、その連結成分のそれぞれが単連結である場合に限り、連結な拡張補集合を持ちます。

非公式には、空間内の物体が単連結であるとは、それが単一の部品で構成され、貫通する「穴」がない場合を指します。例えば、ドーナツや（取っ手付きの）コーヒーカップは単連結ではありませんが、中空のゴムボールは単連結です。2次元では、円は単連結ではありませんが、円盤と線は単連結です。連結しているが単連結ではない空間は、非単連結または多重連結と呼ばれます。

この定義では、取っ手のような形の穴のみが除外されます。球体（または、同等に、中心が空洞のゴムボール）は単純に連結しています。なぜなら、球体の表面にあるループは、中心に「穴」があっても一点に縮めることができるからです。物体にいかなる大きさの穴も存在しないという、より強い条件は、収縮性と呼ばれます。

• ユークリッド平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$単純に接続されているが、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$原点を引いた値${\displaystyle (0,0)}$そうではない。${\displaystyle n>2,}$そして両方とも${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$原点を除いた線は単純に連結されている。
• 同様に、n次元球面${\displaystyle S^{n}}$は、以下の場合に限り単調接続される。${\displaystyle n\geq 2.}$
• すべての凸部分集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$単純に繋がっている。
• トーラス、（楕円）円筒、メビウスの帯、射影平面、クラインの壺は、単純につながっているわけではない。
• すべての位相ベクトル空間は単連結である。これにはバナッハ空間とヒルベルト空間も含まれる。
• のために${\displaystyle n\geq 2,}$特殊直交群${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$単に繋がっているわけではなく、特別な単一グループ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$単純に繋がっている。
• 一点圧縮${\displaystyle \mathbb {R} }$単純にはつながっていない（たとえ${\displaystyle \mathbb {R} }$単純に接続されている）。
• 長い列${\displaystyle L}$単純に連結されているが、そのコンパクト化、拡張された長い線${\displaystyle L^{*}}$（経路が連結されていないため）そうではありません。

曲面（2次元位相多様体）は、連結であり、かつその種数（曲面のハンドルの数）が0である場合に限り、単連結である。

あらゆる（適切な）空間を普遍的に覆うカバー${\displaystyle X}$は、${\displaystyle X}$カバーマップを介して。

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$ホモトピー同値であり、${\displaystyle X}$単純に繋がっているならば、${\displaystyle Y.}$

単連結集合の連続関数による像は、必ずしも単連結であるとは限りません。例えば、指数写像による複素平面を考えてみましょう。像は次のようになります。${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$それは単純に繋がっているわけではない。

単純な連結性という概念は、以下の理由から複素解析において重要である。

• コーシーの積分定理によれば、${\displaystyle U}$複素平面の単連結な開部分集合である${\displaystyle \mathbb {C} ,}$そして${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$は正則関数である。${\displaystyle f}$反微分を持つ${\displaystyle F}$の上${\displaystyle U,}$そして、各線積分値は${\displaystyle U}$積分関数付き${\displaystyle f}$終点のみに依存する${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$経路の、そして次のように計算できます。${\displaystyle F(v)-F(u).}$したがって、積分は特定の経路に依存しない${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v,}$
• リーマン写像定理は、空でない任意の開単連結部分集合が${\displaystyle \mathbb {C} }$（例外）${\displaystyle \mathbb {C} }$それ自体は単位円盤と等角的に等価である。

単純連結性の概念は、ポアンカレ予想においても重要な条件である。

• 変形リトラクト– 位相空間から部分空間への連続的かつ位置保存的なマッピングリダイレクトターゲットの簡単な説明を表示するページ 
• 地域的にシンプルに繋がった空間
• n連結空間
• ユニコヒーレント空間– 位相空間の一種 

• スパニア、エドウィン（1994年12月）。代数トポロジー。シュプリンガー。ISBN 0-387-94426-5。
• コンウェイ、ジョン（1986）。1変数複素関数I。シュプリンガー。ISBN 0-387-90328-3。
• ブルバキ、ニコラス(2005)。リー群とリー代数。スプリンガー。ISBN 3-540-43405-4。
• ガムリン、セオドア(2001 年 1 月)。複雑な分析。スプリンガー。ISBN 0-387-95069-9。
• ジョシ、カプリ（1983年8月）。一般トポロジー入門。ニューエイジ出版社。ISBN 0-85226-444-5。