代数

代数学は、代数構造と呼ばれる特定の抽象システムと、そのシステム内での文の操作を研究する数学の分野です。代数学は、加算や乗算などの標準的な算術演算以外の変数や代数演算を導入する算術の一般化です。

初等代数学は学校で教えられる代数学の主な形式で、不特定の値に対する変数を使用して数学的な記述を調べます。記述がどの値に対して真であるかを判断しようとします。そのためには、方程式を変換して変数を分離するさまざまな方法を使用します。線形代数学は、線形方程式とそれらの組み合わせであるシステムを調べる密接に関連した分野です。システム内のすべての方程式を同時に解く値を見つける方法と、これらの解の集合を調べる方法を提供します。

抽象代数学は、数学的オブジェクトの集合とその集合上で定義された 1 つまたは複数の演算から構成される代数構造を研究します。抽象代数学は、数値や非算術演算以外の数学的オブジェクトを許容するため、初等代数と線型代数学の一般化です。抽象代数学は、使用する演算の数と従う法則に基づいて、群、環、体などの異なるタイプの代数構造を区別します。普遍代数学と圏理論は、異なるクラスの代数構造を特徴付ける抽象パターンを調査するための一般的な枠組みを提供します。

代数的手法は、古代において、幾何学などの分野における特定の問題を解くために初めて研究されました。その後の数学者たちは、特定の用途とは関係なく、方程式を解く一般的な手法を検討しました。16世紀と17世紀に厳密な記号形式が開発されるまで、彼らは方程式とその解を言葉と略語で記述していました。19世紀半ばには、代数の範囲が方程式の理論を超えて、さまざまな種類の代数演算と構造をカバーするように広がりました。代数は、幾何学、位相幾何学、数論、微積分学などの数学の多くの分野、および論理学や経験科学などの他の研究分野に関連しています。

代数学は、代数構造とそこで使われる演算を研究する数学の一分野です。^{[1]代数構造とは、}整数などの数学的オブジェクトの空でない集合と、その集合上で定義された加算や乗算などの代数演算です。^{[2] [a]代数学では、代数構造の法則、一般的な特徴、種類について研究します。特定の代数構造内では、}方程式における変数の使用法や、これらの方程式の操作方法を調べます。 ^{[4] [b]}

代数は、しばしば算術の一般化として理解される。^[8]算術は、実数などの特定の数の領域における加算、減算、乗算、除算などの演算を研究する。 ^[9] 初等代数は抽象化の最初のレベルを構成する。算術と同様に、代数は特定の種類の数と演算に制限される。代数は、数に加えて変数の形で不定量を許容することにより、これらの演算を一般化する。^[10]より高いレベルの抽象化は抽象代数に見られ、これは特定の領域に限定されず、群や環などの代数構造を調べる。これは、他の種類の演算もカバーすることにより、典型的な算術演算を超えて拡張される。^[11]普遍代数は、特定の代数構造に関心がなく、代数構造一般の特性を調査するという点で、さらに抽象的である。^[12]

「代数」という用語は、より狭い意味で初等代数のみ、または抽象代数のみを指すために使用されることがあります。^[14]可算名詞として使用される場合、代数は、特定の種類の二項演算を備えたベクトル空間を含む特定の種類の代数構造です。^{[15]文脈に応じて、「代数」は}リー代数や結合代数などの他の代数構造を指すこともあります。^[16]

代数学という語は、もともとは骨の治療という外科的処置を指したアラビア語のالجبر ( al-jabr )に由来する。9世紀、ペルシャの数学者ムハンマド・イブン・ムサ・アル・フワーリズミーが方程式を解く方法を説明するためにこの語を使用し、代数学に関する論文「al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah [補完と平衡による計算に関する簡潔な書] 」の題名に使用して数学的な意味を獲得した。この論文はラテン語にLiber Algebrae et Almucabolaと翻訳された。^{[c]この語は16世紀に}イタリア語、スペイン語、中世ラテン語から英語に入り込んだ。^[18]当初、代数学の意味は方程式の理論、つまり多項式方程式を解くための操作の技術に限定されていました。これは19世紀に変わり、代数学の範囲は、さまざまな種類の代数演算と構造、およびそれらが従う基礎となる公理、つまり^法則の研究にまで広がりました。^[21]

初等代数学は、学校代数学、大学代数学、古典代数学とも呼ばれ、^{[22]最も古く、最も基本的な代数学の形式です。これは、}変数に依存し、数学的記述がどのように変換されるかを調べる算術の一般化です。 ^[23]

算術は数値演算の研究であり、加算、減算、乗算、除算、累乗、平方根、対数の算術演算を使用して数値がどのように結合および変換されるかを調べます。たとえば、加算演算では、加数と呼ばれる2つの数を合計と呼ばれる3番目の数に結合します。^[9]${\displaystyle 2+5=7}$

初等代数学では、同じ演算を利用しながら、通常の数値に加えて変数も許容しています。変数は、未指定または未知の量を表す記号です。変数を使用すると、正確な値がわからない関係を記述したり、どの数値が使用されているかに関係なく、正しい一般法則を表現したりすることができます。たとえば、方程式は算術に属し、これらの特定 の数値に対してのみ等式を表現します。数値を変数に置き換えることで、方程式で表される乗法の交換法則のように、数値のあらゆる組み合わせに適用される一般法則を表現することができます。^[23]${\displaystyle 2\times 3=3\times 2}$${\displaystyle a\times b=b\times a}$

代数式は、算術演算を使用して変数と数値を組み合わせることによって形成されます。慣例により、小文字の、、およびは変数を表します。場合によっては、、、およびのように、変数を区別するために添え字が追加されます。小文字の、、およびは通常、定数と係数に使用されます。^[e]式は、数値 5 を変数に掛け、その結果に数値 3 を加算して作成された代数式です。代数式のその他の例としては、およびがあります。^[25]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 5x+3}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 32xyz}$${\displaystyle 64x_{1}^{2}+7x_{2}-c}$

代数式の中には、2 つの式を互いに関連付けるステートメントの形をとるものがあります。方程式は、2 つの式を比較して、それらが等しいと述べるステートメントです。これは、のように等号( ) を使用して表現できます。不等式は、2 つの辺が異なると述べる、異なるタイプの比較を伴います。これは、小なり記号( )、大なり記号( )、不等号 ( ) などの記号を使用して表現できます。他の式とは異なり、ステートメントは真または偽になる可能性があり、その真理値は通常、変数の値によって異なります。たとえば、ステートメントは、が 2 または -2 の場合に真であり、それ以外の場合は偽です。 ^[26]変数を含む方程式は、恒等方程式と条件付き方程式に分けることができます。恒等方程式は、方程式 のように、変数に割り当てることができるすべての値に対して真です。条件付き方程式は、一部の値に対してのみ真です。たとえば、方程式 は、が 5 の場合にのみ真です。^[27]${\displaystyle =}$${\displaystyle 5x^{2}+6x=3y+4}$ ${\displaystyle <}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \neq }$${\displaystyle x^{2}=4}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 2x+5x=7x}$${\displaystyle x+4=9}$${\displaystyle x}$

初等代数学の主な目的は、文が真となる値を決定することです。これは、文を特定の規則に従って変換および操作することで達成できます。このプロセスを導く重要な原則は、方程式の片辺に適用された操作は、他の辺にも適用する必要があるということです。たとえば、方程式の左辺から 5 を引く場合、両辺のバランスをとるために右辺からも 5 を引く必要があります。これらの手順の目標は通常、片辺で関心のある変数を分離することであり、このプロセスは、その変数について方程式を解くこととして知られています。たとえば、両辺に 7 を加えることで方程式を解くことができ、左辺で分離され、方程式 になります。^[28]${\displaystyle x-7=4}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=11}$

方程式を解くのに使われる手法は他にもたくさんあります。簡略化は複雑な式を同等のより単純な式に置き換えるために用いられます。例えば、分配法則により、式 は式 に置き換えることができます。 ^[29]複数の変数を持つ文の場合、置換は1つの変数をその変数を使用しない同等の式に置き換える一般的な手法です。例えば、 がわかっていれば、式を に簡略化することができます。同様に、1つの変数の値がわかっていれば、それを使って他の変数の値を決定できる場合があります。^[30]${\displaystyle 7x-3x}$${\displaystyle 4x}$${\displaystyle 7x-3x=(7-3)x=4x}$${\displaystyle y=3x}$${\displaystyle 7xy}$${\displaystyle 21x^{2}}$

代数方程式は、グラフの形で空間図形を記述するために幾何学的に解釈することができる。そのためには、方程式内のさまざまな変数を座標として理解し、方程式を解く値をグラフの点として解釈する。たとえば、方程式 で がゼロに設定されている場合、方程式が真であるためには が −1 でなければならない。これは、-ペアが方程式のグラフの一部であることを意味する。対照的に、 -ペアは方程式を解かないため、グラフの一部ではない。グラフは、方程式を解く -ペアの全体を包含する。 ^[31]${\displaystyle x}$${\displaystyle y=0.5x-1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (0,-1)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (0,7)}$${\displaystyle (x,y)}$

多項式は、 のように、互いに加算または減算される 1 つ以上の項で構成される式です。各項は、定数、変数、または定数と変数の積です。各変数は、正の整数乗できます。単項式は 1 つの項を持つ多項式で、2 項および 3 項の多項式は、二項式および三項式と呼ばれます。多項式の次数は、変数の指数の合計の最大値 (上記の例では 4) です。^{[32]次数 1 の多項式は、}線形多項式と呼ばれます。線型代数は、線形多項式の体系を研究します。^[33]多項式は、1 つ以上の変数を使用するかどうかによって、一変量または多変量と呼ばれます。 ^[34]${\displaystyle x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1}$

因数分解は、式を複数の因数の積として書き直すために使用されます。この手法は、評価結果がゼロになる多項式の値を決定するためによく使用されます。たとえば、多項式はとして因数分解できます。多項式全体がゼロになるのは、その因数の 1 つがゼロの場合、つまり が-2 または 5 の場合のみです。 ^[35] 19 世紀以前は、代数学の多くは多項式方程式、つまり多項式をゼロに等しくすることで得られる方程式に費やされていました。多項式方程式を解く最初の試みは、解をn乗根で表すことでした。 という形式の 2 次多項式方程式の解は、二次方程式の公式で与えられます^[36] 3 次と 4 次に対する解は、3 次と 4 次方程式で与えられます。19世紀にいわゆるアーベル・ルフィニの定理 によって証明されたように、高次の一般解は存在しません。^[37]一般解が存在しない場合でも、ニュートン・ラプソン法などの数値ツールによって近似解を求めることができます。^[38]${\displaystyle x^{2}-3x-10}$${\displaystyle (x+2)(x-5)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$$

代数学の基本定理は、実数または複素数の係数を持つ正の次数の単変数多項式方程式には、少なくとも1つの複素解が存在することを主張する。したがって、正の次数の多項式はすべて線形多項式に因数分解できる。この定理は19世紀初頭に証明されたが、定理は解を計算する方法を提供していないため、問題は解決していない。^[39]

線型代数学は、初等代数学の手法を用いて線型方程式の連立方程式を研究する。^[40]方程式が線型であるのは、 、、 ...、が定数である形式で表現できる場合である。つまり、変数同士の乗算は行われず、変数は 1 より大きいべき乗にはされない。たとえば、方程式と は線型であるが、方程式と は非線型である。線型方程式の連立方程式とは、共通の解に関心がある線型方程式の集合である。^[41]線型代数学は、連立方程式を操作および変換して解くことに関心があり、すべての方程式が同時に真となる値を決定することが含まれる。^[42]${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0}$${\displaystyle 0.25x-y=4}$${\displaystyle x^{2}=y}$${\displaystyle 3x_{1}x_{2}+15=0}$

線形方程式系は、多くの場合、行列とベクトルと呼ばれる数値表で表現され、^[43]単一の方程式でシステム全体を表現します。これは、各方程式の左側に変数を移動し、右側に定数項を移動することで実行できます。次に、方程式のすべての係数を含む行列を作成し、それを変数で構成される列ベクトルと乗算することで、システムを表現します。 ^[44]たとえば、方程式系は 次のように記述できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.}$$

線形代数における2つの中心的な問題は、方程式系に解があるかどうか、また、あるとすれば一意の解があるかどうかである。方程式系が矛盾している場合、つまり2つ以上の方程式が互いに矛盾している場合、解はない。たとえば、方程式と は、両方の方程式を同時に解く との値が存在しないため、互いに矛盾している。矛盾のない方程式系だけが解を持つ。 ^[45]矛盾のない方程式系が一意の解を持つかどうかは、変数と独立方程式の数によって決まる。複数の方程式が同じ情報を提供せず、互いから導くことができない場合、それらの方程式は互いに独立している。変数の数が独立方程式の数と同じ場合、一意の解が存在する。対照的に、劣決定系は独立方程式よりも多くの変数を持ち、矛盾がなければ無限の数の解を持つ。^[46]${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

線形方程式系を解く方法は、置換法^[47]や消去法^{[48]のような初歩的なものから、}クラメールの定理、ガウス・ジョルダンの消去法、LU分解^[49]のような行列計算に基づくアルゴリズムを使用するより高度な手法まで多岐にわたります。

連立方程式は幾何学的図形として解釈できる。2変数の連立方程式の場合、各方程式は2次元空間の線を表す。2本の線が交差する点が全連立方程式の解である。なぜなら、これが最初の方程式と2番目の方程式の両方を解く唯一の点だからである。矛盾する連立方程式の場合、2本の線は平行に走り、交差することはないため解はない。2つの方程式が独立でない場合は同じ線を表すため、一方の方程式のすべての解はもう一方の方程式の解でもある。これらの関係により、方程式をプロットしてどこで交差するかを決定することで、解をグラフィカルに求めることができる。^[50]同じ原理は、より多くの変数を持つ連立方程式にも当てはまるが、方程式は線ではなく高次元の図形を表すという違いがある。たとえば、3変数の方程式は3次元空間の平面に対応し、すべての平面が交差する点が連立方程式を解く。^[51]

別のアプローチでは、線型代数を有限次元ベクトル空間間の線型写像の研究と定義しています。線型写像とは、ベクトルの加算とスカラー乗算の演算を維持しながら、あるベクトル空間から別のベクトル空間へベクトルを変換する関数です。^[52]この観点から、行列は線型写像の表現です。つまり、変換されるベクトルを記述するために特定の基底を選択すると、行列の要素は基底ベクトルに線型写像を適用した結果を与えます。^[53]

抽象代数学は現代代数学とも呼ばれ、^[54]さまざまな種類の代数構造を研究します。代数構造とは、数の加算など、数学的オブジェクトに対する演算を理解するための枠組みです。初等代数学と線型代数学は特定の代数構造の範囲内で機能しますが、抽象代数学は、代数構造が互いにどのように異なるか、およびグループ、環、体などの代数構造の種類を比較する、より一般的なアプローチを採用しています。^[55]これらのタイプの代数構造の主な違いは、使用する演算の数と従う法則にあります。^[56]数学教育では、抽象代数学は、線形代数のコースを修了した後に数学専攻者が受講する高度な学部コースを指します。^[57]

形式的なレベルでは、代数構造とは、基礎集合と呼ばれる数学的オブジェクトの集合^{[f]と、1つまたは複数の演算[g]}を組み合わせたものである。抽象代数は主に、基礎集合の任意の2つのオブジェクトを入力として受け取り、それらをこの集合の別のオブジェクトにマップして出力する二項演算^{[h]に関心がある。 [61]}たとえば、代数構造では、基礎集合として自然数( )が、二項演算として加算 ( ) が使用される。^[59]基礎集合には、数値以外の数学的オブジェクトを含めることができ、演算は通常の算術演算に限定されない。^[62]たとえば、幾何学的オブジェクトの対称群の基礎集合は、回転などの幾何学的変換で構成され、その変換ではオブジェクトは変化しない。その二項演算は関数合成であり、2つの変換を入力として受け取り、最初の変換を適用してから2番目の変換を適用した結果の変換を出力とする。^[63]${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle +}$

抽象代数は、代数構造を、その演算が従う法則または公理と、使用する演算の数に基づいて分類します。最も基本的なタイプの 1 つは、1 つの演算を持ち、この演算が結合的であり、単位元と逆元 を持つことを要求している群です。演算が結合的であるのは、複数の適用の順序が重要でない場合、つまり^{[i] が}すべての要素について同じである場合です。演算は、他の要素の値を変更しない1 つの要素e が存在する場合、つまり である場合、単位元または中立元を持ちます。演算は、任意の要素に対して を元に戻す逆元が存在する場合、逆元を持ちます。要素がその逆に対して演算する場合、結果は中立元eであり、正式には と表現されます。これらの要件を満たすすべての代数構造は群です。^[65]たとえば、は、整数の集合と加算演算によって形成される群です。中立元は 0 で、任意の数の逆元はです。^[66]対照的に、加法を伴う自然数は正の整数のみを含み、したがって逆元がないため、群を形成しません。^[67]${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

群論は、有限アーベル群の基本定理やフェイト・トムソン定理などの基本定理を用いて群の性質を研究する。^[68]フェイト・トムソン定理は、20世紀の最も重要な数学的成果の一つである、1960年から2004年の間に主に出版され、1万ページを超えるジャーナルページを占めた共同作業によって完成した有限単純群の完全な分類である^[69]。

環は、加算と乗算と同様に機能する2 つの演算 (および) を持つ代数構造です。群のすべての要件は最初の演算にも適用されます。つまり、結合法則であり、単位元と逆元を持ちます。さらに、可換法則であり、すべての元に対して が成り立ちます。分配法則の公理は、2 つの演算が互いにどのように作用するかを規定します。分配法則は、および であると規定しています。^[70]整数環はで表される環です。^{[71] [j]}両方の演算が結合法則、可換法則、分配法則の公理に従い、両方の演算に単位元と逆元がある場合、環は体になります。^{[73] [k]}整数環は乗法逆元がないため、体を形成しません。たとえば、 の乗法逆元はであり、これは整数の一部ではありません。有理数、実数、複素数はそれぞれ加算と乗算の演算を伴う体を形成します。^[75]${\displaystyle \circ }$${\displaystyle \star }$${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$${\displaystyle a\star (b\circ c)=(a\star b)\circ (a\star c)}$${\displaystyle (b\circ c)\star a=(b\star a)\circ (c\star a)}$${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,\times \rangle }$${\displaystyle 7}$${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$

環論は環の研究であり、部分環、商環、多項式環、イデアルなどの概念やヒルベルトの基底定理などの定理を探求する。^[76]体論は体に関するもので、体の拡大、代数的閉包、有限体を調べる。^[77] ガロア理論は、ガロア理論の基本定理に基づいて、体論と群論の関係を探求する。^[78]

群、環、体のほかにも、代数学で研究される代数構造は数多くある。それらには、マグマ、半群、モノイド、アーベル群、可換環、加群、格子、ベクトル空間、体上の代数、結合代数と非結合代数などがある。それらは、記述するオブジェクトの種類や、その演算が満たす要件に関して互いに異なっている。多くは、基本構造に追加の要件を加えることでより高度な構造に変えることができるという点で互いに関連している。^[56]たとえば、マグマは、その演算が結合的であれば半群になる。^[79]

準同型性は、 2 つの代数構造を比較することによって構造的特徴を調べるためのツールです。^[80]準同型性は、ある代数構造の基礎となる集合から別の代数構造の基礎となる集合への、特定の構造的特徴を保持する関数です。2 つの代数構造が二項演算を使用し、形式がであり、次の要件を満たす場合、関数は準同型です。準同型性の存在は、2 番目の代数構造における演算が最初の代数構造における演算と同じ役割を果たすことを示しています。 ^[81]同型性は、2 つの代数構造間の類似性が高いことを示す特別なタイプの準同型です。同型性は全単射準同型性であり、2 つの代数構造の要素間に 1 対 1 の関係を確立することを意味します。これは、最初の代数構造のすべての要素が 2 番目の構造の 1 つの一意の要素にマップされ、2 番目の構造にマップされていない要素がないことを意味します。^[82]${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$${\displaystyle h:A\to B}$${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \circ }$

もう一つの比較ツールは、代数構造とその部分代数の関係である。^[83]代数構造とその部分代数は、同じ公理に従う同じ演算^{[l] を}使用する。唯一の違いは、部分代数の基礎となる集合が代数構造の基礎となる集合の部分集合であることだ。^{[m]部分代数のすべての演算は、その基礎となる集合内で}閉じている必要がある。つまり、この集合に属する要素のみを生成する。^[83]たとえば、加算を伴う偶数集合は、加算を伴う整数の完全集合の部分代数である。これは、2 つの偶数の合計がやはり偶数であるためである。しかし、加算を伴う奇数集合は、閉じていないため部分代数ではない。2 つの奇数を加算すると、選択された部分集合の一部ではない偶数が生成されます。^[84]

普遍代数は、代数構造一般の研究である。その一般的な観点の一部として、普遍代数は、基礎となる集合を構成する特定の要素には関心がなく、3項演算などの 2 つ以上の入力を伴う演算を考慮する。これは、異なる代数構造に共通する構造的特徴を調査するための枠組みを提供する。^{[86] [n]}これらの構造的特徴の 1 つは、異なる代数構造で真となる恒等式に関するものである。この文脈では、恒等式とは普遍方程式、つまり基礎となる集合のすべての要素に対して真となる方程式である。たとえば、可換性は、すべての要素に対して がと同一であることを述べる普遍方程式である。 ^[88]多様体は、特定の恒等式を満たすすべての代数構造のクラスである。たとえば、2 つの代数構造が可換性を満たす場合、それらは両方とも対応する多様体の一部である。^{[89] [o] [p]}${\displaystyle a\circ b}$${\displaystyle b\circ a}$

カテゴリー理論は、カテゴリーの概念を使用して、数学的対象が互いにどのように関連しているかを調べます。カテゴリーは、オブジェクトのコレクションと、それらのオブジェクト間のいわゆる射または「矢印」のコレクションです。これら2つのコレクションは、特定の条件を満たしている必要があります。たとえば、射は結合、つまり合成できます。オブジェクトからオブジェクトへの射と、オブジェクトからオブジェクトへの別の射が存在する場合、オブジェクトからオブジェクトへの射も存在する必要があります。射の合成は結合的である必要があり、すべてのオブジェクトに「恒等射」が必要です。^[93]カテゴリーは、多くの基本的な数学的概念を記述および分析するための統一的なフレームワークを提供するため、現代数学で広く使用されています。たとえば、集合は集合のカテゴリーで記述でき、任意のグループは、オブジェクトが1つだけのカテゴリーの射と見なすことができます。^[94]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$

代数の起源は、算術計算や未知数を含む数学的問題を解く試みにある。これらの発展は、古代バビロニア、エジプト、ギリシャ、中国、インドで起こった。代数問題に関する最も古い文書の1つは、紀元前1650年頃に書かれた古代エジプトのリンド数学パピルスである。 ^[q]このパピルスは、「ある量に4分の1を加えると15になる。その量はいくらか」といった問題で表現される線形方程式の解法について論じている。同時期のバビロニアの粘土板には、平方完成法など、線形および二次多項式方程式を解く方法が説明されている。^[96]

これらの洞察の多くは古代ギリシャにも伝わった。紀元前6世紀以降、彼らの主な関心は代数学よりも幾何学にあったが、幾何学の問題を解くために代数的手法を採用した。例えば、彼らは幾何学的図形を研究する際に、長さや面積を決定すべき未知数とみなした。これはピタゴラスの2平方の差の方法の定式化や、後にユークリッドの『原論』に^{例示されている。[97]}紀元3世紀には、ディオファントスが『算術』と呼ばれる一連の本の中で代数方程式の解き方を詳細に説明した。彼は多項式を表現する記号表記法を試みた最初の人物だった。^[98]古代中国では、紀元前10世紀から紀元後2世紀にかけて書かれた『九章算術』[ ^99]で、行列のような構造の使用を含む代数方程式を解くさまざまな技法が探求されている。^[100]

これらの初期の発展が、代数学の先駆者ではなく、代数学そのものの一部とみなされるべきかどうかは議論の余地がある。代数学の問題に対する解決策は提示されたが、抽象的かつ一般的な方法では捉えられず、特定のケースや応用に焦点が当てられていた。^[101]この状況は、ペルシャの数学者アル・フワーリズミー^[r]が825 年に『計算の完成と平衡に関する大要』を出版したことで変わった。この本は、両辺を「簡約」し「平衡」させることで線形方程式と二次方程式を操作するために使用できる一般的な方法を初めて詳細に扱っている。^[103]代数学への影響力のある貢献は、9 世紀のアラブの数学者タービト・イブン・クルラや、 11 世紀と 12 世紀のペルシャの数学者オマール・ハイヤームによるものもある。 ^[104]

インドでは、ブラフマグプタが7世紀に二次方程式や多変数連立方程式を解く方法を研究した。彼の革新の中には、代数方程式におけるゼロと負の数の使用があった。^[105] 9世紀のインドの数学者マハーヴィーラと12世紀のバースカラ2世は、ブラフマグプタの方法と概念をさらに洗練させた。 ^[106] 1247年、中国の数学者秦九紹は、高次多項式を含む多項式の数値評価アルゴリズムを含む『九部数学論』を著した。^[107]

イタリアの数学者フィボナッチは、著書『算盤の書』などでフワーリズミーの考えや技法をヨーロッパにもたらした。^[108] 1545年、イタリアの博学者ジェロラモ・カルダーノは著書『アルス・マグナ』を出版した。この本では代数学の多くの話題を取り上げ、虚数について論じ、三次方程式と四次方程式を解く一般的な方法を初めて提示した。^[109] 16世紀と17世紀には、フランスの数学者フランソワ・ヴィエトとルネ・デカルトが変数や演算を表す文字や記号を導入し、抽象的で簡潔な方法で方程式を表現できるようにした。彼らの先人たちは、問題と解決策を言葉で説明することに頼っていた。^[110]一部の歴史家は、この発展を代数学の歴史における重要な転換点とみなし、それ以前のものは記号操作に基づく抽象性が欠如していたため、代数学の前史であると考えている。^[111]

17世紀と18世紀には、5次以上の多項式の一般解を見つける試みが数多くなされたが、その全ては失敗した。^[37] 18世紀末には、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスが代数の基本定理を証明した。これは、一般解を与えることなく、あらゆる次数の多項式の零点の存在を記述するものである。 ^[19] 19世紀初頭には、イタリアの数学者パオロ・ルッフィニとノルウェーの数学者ニールス・ヘンリク・アーベルが、 5次以上の多項式には一般解が存在しないことを示すことができた。^[37]彼らの発見に応えて、そしてその直後に、フランスの数学者エヴァリスト・ガロワが、後にガロア理論として知られるようになる理論を開発した。これは、多項式の解のより詳細な分析を提供し、同時に群論の基礎を築いた。^[20]数学者はすぐに群論の他の分野への関連性を認識し、幾何学や数論などの分野に応用しました。^[112]

19世紀半ばから、代数学への関心は初等代数学に関連する多項式の研究から、より一般的な代数構造の研究へと移り、抽象代数学の出現を象徴するようになった。このアプローチは、任意の代数演算の公理的基礎を探求した。^{[113]この発展に伴い、}ブール代数、ベクトル代数、行列代数など、さまざまな演算と要素に基づく新しい代数システムが発明された。^{[114]抽象代数学の影響力のある初期の発展は、ドイツの数学者}ダフィト・ヒルベルト、エルンスト・シュタイニッツ、エミー・ネーター、およびオーストリアの数学者エミール・アルティンによってなされた。彼らはさまざまな形式の代数構造を研究し、その基礎となる公理に基づいて群、環、体などのタイプに分類した。^[115]

普遍代数に関連するさらに一般的なアプローチのアイデアは、イギリスの数学者アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドが1898年に著した『普遍代数に関する論文』で考案されました。1930年代から、アメリカの数学者ギャレット・バーコフがこのアイデアを拡張し、この分野の基礎概念の多くを開発しました。^[116]普遍代数の発明は、数学の代数化、つまり代数的手法を他の数学分野に適用することに焦点を当てたさまざまな新しい分野の出現につながりました。位相代数は20世紀初頭に生まれ、位相群やリー群などの代数構造を研究しました。^[117] 1940年代と50年代には、ホモロジーを研究するために代数的手法を採用するホモロジー代数が登場しました。^[118]同じ頃に圏論が開発され、それ以来数学の基礎において重要な役割を果たしてきました。^{[119]その他の発展としては、}モデル理論の定式化と自由代数の研究が挙げられる。^[120]

代数学の影響は、数学内だけでなく他の分野への応用においても広範囲に及んでいる。^[121]数学の代数化とは、代数的手法や原理を幾何学、位相幾何学、数論、微積分学などの数学の他の分野に適用する過程である。これは、変数の形で記号を用いて数学的洞察をより一般的なレベルで表現することで行われ、数学者が物体同士がどのように相互作用し、関係するかを記述する正式なモデルを開発することを可能にする。^[122]

幾何学は代数的記述で記述できる幾何学的図形に興味があります。たとえば、方程式は2次元空間の直線を記述しますが、方程式は3次元空間の球に対応します。代数幾何学にとって特に興味深いのは代数多様体です。^[s]は多項式方程式のシステムの解であり、より複雑な幾何学的図形を記述するために使用できます。^[124]代数的推論は幾何学的問題を解くこともできます。たとえば、これら2つの方程式で構成される方程式システムを解くことで、によって記述される直線がによって記述される円と交差するかどうか、またどこで交差するかを判断できます。 ^{[125]位相幾何学は、}連続的な変形の操作によって保存される幾何学的図形または位相空間の特性を研究します。代数位相学は、群論などの代数理論に依存して位相空間を分類します。たとえば、ホモトピー群は、位相空間をループまたは穴の存在に基づいて分類します。^[126]${\displaystyle y=3x-7}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$${\displaystyle y=x+1}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=25}$

数論は整数の性質と整数間の関係を扱っています。代数的数論は代数的方法と原理をこの研究分野に適用します。数論学者は代数式を用いてフェルマーの最終定理のような一般法則を記述し、整数環のような数がどのように代数的構造を形成するかを解析します。^[127]代数の洞察は微積分にも関連しており、微積分は数式を用いて変化と蓄積の速度を調べます。微積分は代数を利用してこれらの式をどのように変換できるか、変数がその中でどのような役割を果たすかを理解します。^[128]代数論理は代数の方法を用いて論理的推論の基礎となる構造とパターンを記述および解析し、^[129]関連する数学的構造自体と具体的な論理の問題への応用の両方を探ります。^{[130]これには}命題論理を記述するためのブール代数の研究^{[131]と、より複雑な}論理システムに対応する代数的構造の定式化と解析が含まれます。^[132]

代数的手法は、自然科学などの他の分野でも一般的に使用されています。物理学では、科学法則を表現し、方程式を解くために使用されます。 ^[134]同様の応用は 、経済学、地理学、工学（電子工学やロボット工学を含む）、コンピューターサイエンス、暗号学などの分野で、関係を表現し、問題を解決し、システムをモデル化するために見られます。^[135]さまざまな分野が、抽象代数によって調査される代数構造に依存しています。たとえば、結晶学や量子力学などの物理科学では、群論が広く使用されており、^[136]数独やルービックキューブなどのパズルの研究にも使用されています。^{[137]さまざまな代数ツールが}折り紙の分析に使用されます。^[138]

代数教育は主に初等代数に焦点を当てており、これが初等代数が学校代数とも呼ばれる理由の 1 つです。初等代数は、算術の基礎を習得する必要がある一方で、抽象的な推論や一般化に関連する新しい認知的課題を提起するため、通常は中等教育まで導入されません。 ^[140]代数教育の目的は、変数を使用して未知の量を表す方法など、数学記号を理解できるようにすることで、生徒に数学の形式的な側面に慣れてもらうことです。生徒にとってさらに難しいのは、算術計算とは異なり、代数式を直接解くのが難しいことが多いことです。代わりに、生徒は特定の法則に従って代数式を変換する方法を学ぶ必要があり、多くの場合、未知数を決定することを目的としています。^[141]

代数の抽象的な側面を学生に紹介するツールの中には、幾何学的類推、棒やカップなどの操作物、方程式をフロー図として表す「関数マシン」など、方程式の具体的なモデルや視覚化に頼るものがあります。 1 つの方法は、学生が代数の基本的な問題を理解するのに役立つ図解アプローチとして天秤を使用します。 天秤の上のいくつかの物体の質量は未知であり、変数を表します。 方程式を解くことは、両側に物体を追加したり削除したりして、片側に残っている唯一の物体が質量が未知である物体になるまで、両側のバランスを保つことに対応します。^[142] 文章題は、代数が実際の状況にどのように適用されるかを示すもう 1 つのツールです。 たとえば、ナオミの兄弟がナオミの 2 倍のリンゴを持っているという状況を学生に提示する場合があります。 2 人を合わせると 12 個のリンゴがあるので、学生はこの状況を表す代数方程式 ( ) を見つけ、ナオミが持っているリンゴの数( )を決定するように求められます。^[143]${\displaystyle 2x+x=12}$${\displaystyle x=4}$