ヤコビアン予想

数学において、ヤコビアン予想は多変数多項式に関する予想である。ヤコビアン予想には2つのバージョンがあり、1つは2変数バージョン^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}で、平面ヤコビアン予想とも呼ばれる[ ^{5 ] [ 6 ]。もう1つ}はより一般的なバージョンで、${\displaystyle n}$変数。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}より一般的な場合、ヤコビアン予想は${\displaystyle n}$変数は、多項式関数が${\displaystyle n}$次元空間がそれ自身に対してヤコビ行列式を持ち、それがゼロでない定数である場合、関数は多項式の逆関数を持つ。2変数の場合については、次の式から導かれる。${\displaystyle n=2}$。

ドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなんで名付けられた2変数ヤコビ予想は、1884年にルートヴィヒ・クラウスによって定式化された。 ^{[ 11 ] [ 5 ] [ 12 ]}後に、より一般的なヤコビ予想が${\displaystyle n}$変数は、1939年にオット＝ハインリヒ・ケラーによって整数係数多項式に対して定式化された。^{[ 13 ]}ヤコビアン問題（予想）はその後、シュリーラム・アビヤンカーによって、微積分学の知識を少しだけ用いて理解できる代数幾何学の難問の例として広く知られるようになった。^{[ 14 ] [ 15 ]}${\displaystyle n}$-変数ヤコビアン予想は、スティーブン・スモールの1998年の「次世紀の数学的問題」リストの16番目である。^{[ 16 ]}

この予想は、クラウスとケラーのどちらの原著論文にも名前が付けられていなかった。ヤコビアン予想という名称の由来は明確には記録されていない。この用語が最初に公表されたのは、宮西正義の1973年の論文で、そこでは、${\displaystyle n}$2変数予想。^{[ 17 ]}ツォン・ツィエン・モーは後に、1960年代後半にパデュー大学でのセミナーでオスカー・ザリスキーがその主張が未証明のままであることを指摘した後、「私たちはそれをヤコビアン予想と呼ぶことにした」と回想している。 ^{[ 10 ]}アレクサンダー・ボリソフは後に、この命名を特にアビヤンカーに帰している。^{[ 18 ]}アビヤンカーの1977年の講義ノートでは2変数問題を扱い、1970～71年に得た結果を発表している。^{[ 14 ]}

2026年7月19日、数学者でAnthropicの従業員であるLevent Alpögeは、Anthropicの大規模言語モデルであるClaude Fable 5を使用して発見した3次元空間における明示的な反例を発表し、${\displaystyle n}$-変数予想${\displaystyle n>2}$[ ^{19 ] [ 20 ]この反例は、}数学者に対するAIによる数学の重要かつ最新の例であり、広範囲にわたる影響を及ぼした^{[ 21 ] [ 22 ]。}また、成功した反例として、予想を証明するための以前のアプローチがなぜ失敗したのかについての洞察を与えた^{[ 23 ] 。}

ヤコビアン予想${\displaystyle n=1}$これは容易に正しいことが証明できる。なぜなら、1変数の多項式写像でヤコビ行列式がゼロでない定数を持つのは、非定数アフィン写像だけであり、これらは1変数では線形関数とも呼ばれるからである。^{[ 8 ]}

2変数ヤコビアン予想は未解決のままである。^{[ 24 ]}専門文献では、2変数予想の証拠的地位を一般的な予想の証拠的地位と区別していた。${\displaystyle n}$2変数ヤコビアン予想。^{[ 25 ] [ 3 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 10 ]} 2変数ヤコビアン予想は、多数の公表された（少なくとも5つ）^{[ 28 ] [ 29 ]}および未公表の誤った証明で悪名高く、それらは微妙な誤りを含んでいることが判明した。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 27 ]}後に素数間の有界ギャップに関する研究で知られるようになった張一堂も、博士課程の研究を2変数ヤコビアン予想に捧げた。^{[ 30 ]}この問題の難しさが間接的に、彼が生活のために何年も雑用をしていたことにつながった。^{[ 4 ] [ 31 ]}

させて${\displaystyle n>1}$は固定された整数とし、多項式を考える。${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$変数において${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$場の係数を持つ${\displaystyle \mathbb {K} }$次に、ベクトル値関数を定義します。${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$設定により： $${\displaystyle F(X_{1},\dots ,X_{n})=(f_{1}(X_{1},\dots ,X_{n}),\dots ,f_{n}(X_{1},\dots ,X_{n}))}$$

どんな地図でも${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$このようにして生じるものを多項式写像と呼ぶ。

ヤコビ行列式${\displaystyle F}$、で示される${\displaystyle J_{F}}$は、​${\displaystyle n\times n}$偏微分からなるヤコビ行列${\displaystyle f_{i}}$に関して${\displaystyle X_{j}}$:

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial X_{n}}}\end{matrix}}\right|,}$

それから${\displaystyle J_{F}}$それ自体は、${\displaystyle n}$変数${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$。

多変数連鎖律から、${\displaystyle F}$多項式の逆関数を持つ${\displaystyle G:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$、 それから${\displaystyle J_{F}}$は多項式の逆数を持つため、はゼロでない定数である。ヤコビアン予想は、次の部分的な逆である。

ヤコビアン予想:${\displaystyle \mathbb {K} }$特徴を持つ${\displaystyle 0}$。 もし${\displaystyle J_{F}}$はゼロでない定数であるならば、${\displaystyle F}$逆関数を持つ${\displaystyle G:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$それは正則であり、その構成要素は多項式である。

体上の多項式の場合${\displaystyle \mathbb {K} }$特性ゼロのものは、以下のように還元できる。${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$レフシェッツの原理を用いて。^{[ 9 ]}

ファン・デン・エッセンによれば、この問題は1939年にケラーによって整数係数多項式の場合について初めて予想された。しかし、ファン・デン・エッセンは同じ文の中で、ケラーは2変数の場合についてのみ言及したと主張しているが^{[ 32 ]} 、実際にはケラーは一般の場合について言及していた。${\displaystyle n}$-変数ケース。^{[ 13 ]}さらに、 zbMATHデータベースの2025年の検索により、2変数ケースが${\displaystyle \mathbb {C} }$1884年にルートヴィヒ・クラウスが既に述べていたが、彼は同じ論文の中で欠陥のある証明を与えていた。^{[ 5 ]}

ヤコビアン予想の明白な類似物は、${\displaystyle \mathbb {K} }$特徴がある${\displaystyle p>0}$1つの変数についても同様です。体の特性は、ゼロでない場合は素数でなければならないので、少なくとも${\displaystyle 2}$多項式$\displaystyle xx^{p}}$派生${\displaystyle 1-px^{p-1}}$それは${\displaystyle 1}$（なぜなら${\displaystyle px}$は${\displaystyle 0}$）しかし、逆関数は存在しない。しかし、Kossivi Adjamagboは、ヤコビアン予想を特性に拡張することを提案した。${\displaystyle p>0}$仮説を追加することで${\displaystyle p}$場の拡張の度合いを分割しない${\displaystyle \mathbb {K} (X)/\mathbb {K} (F)}$[ ^{33 ]​}

多項式の逆関数が存在することは明らかです。${\displaystyle F}$これは単に変数に関して線形な関数の集合です。なぜなら、その場合、逆関数も線形関数の集合になるからです。単純な非線形の例は次のとおりです。

${\displaystyle u=x^{2}+y+x}$

${\displaystyle v=x^{2}+y}$

ヤコビ行列式は

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}1+2x&1\\2x&1\end{matrix}}\right|=(1+2x)(1)-(1)2x=1.}$

この場合、逆関数は多項式として存在する。

${\displaystyle x=uv}$

${\displaystyle y=v-(uv)^{2}.}$

しかし、 Fを少し修正すると、

${\displaystyle u=2x^{2}+y}$

${\displaystyle v=x^{2}+y}$

すると行列式は

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}4x&1\\2x&1\end{matrix}}\right|=(4x)(1)-2x(1)=2x,}$

これは定数ではなく、ヤコビアン予想は適用されません。実数上で計算し、仮定すると、この関数は逆関数を持ちます。${\displaystyle x>0}$:

${\displaystyle x={\sqrt {uv}}}$

${\displaystyle y=2v-u,}$

しかし、この表現は${\displaystyle x}$これは多項式ではありません。代わりに複素数で計算すると、平方根は多価になります。

状態${\displaystyle J_{F}\neq 0}$これは多変数微積分における逆関数定理に関連しています。実際、滑らかな関数（したがって特に多項式）の場合、滑らかな局所逆関数は${\displaystyle F}$あらゆる点で存在する${\displaystyle J_{F}}$はゼロではない。これは、そのような各点の近傍が存在し、それがその像に一対一で写像されることを意味する。たとえば、マップ${\displaystyle x\mapsto x+x^{3}}$滑らかなグローバル逆関数を持つが、その逆関数は多項式ではない。

2026年7月19日、数学者でAnthropicの従業員であるLevent Alpögeは、3次元空間における予想に対する明確な反例を提示し、それがClaude Fable 5 AIモデルを使用して発見されたと述べた。^{[ 50 ] [ 51 ]}ロンドン大学クイーン・メアリー校のAbhishek Sahaによると、反例はそれ自体簡単に検証できるが、AlpögeとFableがどのようにしてそれにたどり着いたのかは不明である。^{[ 52 ]}

多項式マップが与えられた場合${\displaystyle F:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3},{\text{where}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}{\bigl (}~\!&(1+xy)^{3}z+y^{2}(1+xy)(4+3xy),\\&y+3x(1+xy)^{2}z+3xy^{2}(4+3xy),\\&2x-3x^{2}y-x^{3}z~\!{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

この関数のヤコビ行列式は定数 −2 です。ただし、この写像は複数の異なる点を同じ画像に写像するため、大域的に単射ではありません（したがって逆写像も存在しません）。たとえば、点における写像を評価すると、${\displaystyle {\bigl (}0,0,{-{\tfrac {1}{4}}}{\bigr )}}$、${\displaystyle {\bigl (}1,-{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {13}{2}}{\bigr )}}$そして ${\displaystyle {\bigl (}{-1},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {13}{2}}{\bigr )}}$収量${\displaystyle {\bigl (}{-{\tfrac {1}{4}}},0,0{\bigr )}}$いずれの場合も。

定義を考慮すると${\displaystyle F}$上記より、任意の整数に対して${\displaystyle n\geq 4}$多項式マップ $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n},\quad (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\dots ,x_{n})\mapsto (F(x_{1},x_{2},x_{3}),x_{4},\dots ,x_{n})}$$そして反例を挙げると${\displaystyle n}$変数。

翌日、ミシガン大学の数学博士課程学生であるアンディ・ジャンが幾何学的再定式化を発表し、それを「GPT」によるものとした。^{[ 53 ]}カリフォルニア大学ロサンゼルス校（UCLA）の数学者テレンス・タオは、二進形式の乗算を用いてこの反例の幾何学的説明について論じた。一般的な二進三次式は3つの線形因子を持ち、したがって、それを特定の線形因子と残りの二次因子の積として表現する方法は3通りある。スケーリングの曖昧さを解消するために結果として正規化を課し、二進三次式の空間の特定のアフィンスライスに制限した後、タオはエタール、つまり一般的に3対1の写像を得た。${\displaystyle X\to \mathbb {C} ^{3}}$3倍から${\displaystyle X}$内部${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$（バイナリ立方体の空間）は、明示的に多項式同型である${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$[ ^{19 ]}この3次因数分解の構成は、アナトリー・ヴィトゥシュキンによる以前の2次例と類似している。ヴィトゥシュキンの有理写像^は複素数直線上に極を持つが、その直線の補集合上では判別曲線の補集合の2シートエタール被覆を定義する。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$[ ^{54 ]​}

上記の幾何学的再定式化を補完するものとして、ヴィトール・フレイタスはクロード・オプス4.8を用いて反例の簡略化された表現を見出した。^{[ 55 ]}

させて${\displaystyle u=1+xy}$そして${\displaystyle W=u^{2}z+3y^{2}u+y^{2}}$上記の地図は次のように表現できます。${\displaystyle F(x,y,z)=(a,b,c)}$⁠、

${\displaystyle a=uW,}$

${\displaystyle b=y+3xW,}$

${\displaystyle c=x(2-3xy-x^{2}z).}$

立方分解

${\displaystyle P(Y)=2Y^{3}-3bY^{2}+18aY+b^{3}-18ab+27a^{2}c}$

要因として

${\displaystyle P(Y)=2(Y-y)\left(Y^{2}-\left({\frac {3b}{2}}-y\right)Y+9a-y\left({\frac {3b}{2}}-y\right)\right).}$

もし${\displaystyle D=3a+Y^{2}-bY}$そして${\displaystyle aD\neq 0}$それぞれの根${\displaystyle Y}$の⁠${\displaystyle P}$原像の復元を可能にする${\displaystyle F^{-1}(a,b,c)}$⁠として

${\displaystyle x={\frac {b-Y}{D}},\quad u={\frac {3a}{D}},\quad W={\frac {D}{3}}}$

（⁠${\displaystyle y}$そして​${\displaystyle z}$（以下参照）。一般的な${\displaystyle (a,b,c)}$3次多項式${\displaystyle P(Y)}$この写像は3つの異なる根を持ち、それぞれ異なる逆像を生成します。これは、写像が一般的に3対1であり、したがって可逆ではないことを明確に示しています。

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