ランダム行列

原子核物理学では、ユージン・ウィグナーが重原子核をモデル化するためにランダム行列を導入した。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}ウィグナーは、重原子核のスペクトルの線間の間隔はランダム行列の固有値間の間隔に似ており、基礎となる進化の対称クラスのみに依存すると仮定した。^{[ 5 ]}固体物理学では、ランダム行列は平均場近似における大きな無秩序ハミルトニアンの挙動をモデル化する。

量子カオスにおいて、ボヒガス・ジャンノーニ・シュミット（BGS）予想は、古典系がカオス的挙動を示す量子系のスペクトル統計はランダム行列理論によって記述されると主張している。^{[ 3 ]}

量子光学では、ランダムユニタリ行列で記述される変換は、量子計算が古典計算よりも優れていることを示す上で非常に重要です（例えば、ボソンサンプリングモデルを参照）。^{[ 6 ]}さらに、このようなランダムユニタリ変換は、そのパラメータを光回路コンポーネント（つまり、ビームスプリッタと位相シフター）にマッピングすることで、光回路に直接実装できます。^{[ 7 ]}

多変量統計学では、ランダム行列は、大規模サンプルの共分散行列を推定しようとしたジョン・ウィシャートによって導入されました。 ^{[ 8 ]}チェルノフ型、バーンスタイン型、ホフディング型の不等式は、ランダムエルミート行列の有限和の最大固有値（つまり、絶対値が最大の固有値）に適用すると、通常は強化されます。^{[ 9 ]}ランダム行列理論は、サンプル共分散行列などのランダム行列のスペクトル特性を研究するために使用され、これは高次元統計学で特に関心を集めています。ランダム行列理論は、ニューラルネットワーク^{[ 10 ]}やディープラーニングにも応用されており、最近の研究では、ランダム行列を使用して、再トレーニングを必要とせずに、ハイパーパラメータのチューニングを大規模ニューラルネットワーク間で安価に転送できることが示されています。^{[ 11 ]}

数値解析では、ジョン・フォン・ノイマンとハーマン・ゴールドスタインの研究以来^{[ 12 ]} 、ランダム行列は行列乗算などの演算における計算誤差を記述するために使用されてきた。ランダムエントリはアルゴリズムへの従来の「汎用」入力であるが、ランダム行列分布に関連する尺度の集中は、ランダム行列がアルゴリズムの入力空間の大部分をテストしないことを意味する^{[ 13 ] 。}

数論では、リーマンゼータ関数（およびその他のL関数）の零点の分布は、特定のランダム行列の固有値の分布によってモデル化されます。^{[ 14 ]}この関連性は、ヒュー・モンゴメリーとフリーマン・ダイソンによって最初に発見されました。これは、ヒルベルト・ポリア予想に関連しています。

自由確率とランダム行列の関係^{[ 15 ]}は、自由確率が他の分野で広く使われている主な理由です。Voiculescuは1983年頃、作用素代数の文脈で自由性の概念を導入しました。当初はランダム行列とは全く関係がありませんでした。この関係は1991年にVoiculescuによって初めて明らかにされました^{[ 16 ]} 。彼は、自由中心極限定理で見つけた極限分布が、ランダム行列の文脈でWignerの半円法則に以前現れていたという事実に動機づけられました。

計算神経科学の分野では、脳内のニューロン間のシナプス結合ネットワークをモデル化するためにランダム行列がますます使用されています。ランダム接続行列を持つニューロンネットワークの動的モデルは、シナプス重みの分散が無限システムサイズの限界で臨界値を超えると、カオスへの相転移を示すことが示されています^{[ 17 ]}。ランダム行列に関する結果は、ランダム行列モデルのダイナミクスが平均接続強度に影響されないことも示しています。代わりに、変動の安定性は接続強度の変動に依存し^{[ 18 ] [ 19 ]}、同期までの時間はネットワークトポロジーに依存します^{[ 20 ] [ 21 ] 。}

fMRIなどの大規模データの解析では、次元削減を実行するためにランダム行列理論が適用されてきました。PCAなどのアルゴリズムを適用する場合、重要な成分の数を選択できることが重要です。成分を選択する基準は複数あります（説明された分散、カイザー法、固有値などに基づく）。この内容のランダム行列理論の代表例はマルチェンコ・パスツール分布であり、ランダム変数共分散行列に関連付けられた固有値の理論的な上限と下限を保証します。このように計算されたこの行列は、理論的なランダム範囲から逸脱する固有値（およびその固有ベクトル）を見つけることを可能にする帰無仮説になります。このように除外された成分が、次元削減された空間になります（fMRIの例を参照^{[ 22 ] [ 23 ]}）。

最適制御理論では、 n 個の状態変数の時間経過に伴う変化は、任意の時点で、それらの値とk 個の制御変数の値に依存します。線形進化の場合、係数行列が状態方程式 (進化方程式) に現れます。いくつかの問題では、これらの行列のパラメータの値が確実にはわかっていないため、状態方程式にランダム行列が存在し、この問題は確率的制御の問題として知られています。^{[ 24 ] : ch. 13 [ 25 ]}確率行列を持つ線形二次制御の場合の重要な結果は、確実性等価原理が適用されないことです。乗数不確実性がない場合(つまり、加法的不確実性のみの場合) には、二次損失関数を持つ最適ポリシーは、不確実性を無視した場合に決定されるものと一致しますが、状態方程式にランダム係数が含まれている場合は、最適ポリシーが異なる可能性があります。

計算力学では、モデル化されたシステムの物理に関する知識の欠如に起因する認識論的不確実性により、ある意味で不十分な計算モデルに関連付けられた数学演算子が生じます。このような演算子は、モデル化されていない物理に関連する特定の特性を欠いています。このような演算子を離散化して計算シミュレーションを実行すると、その精度は欠落した物理によって制限されます。この数学演算子の欠陥を補うには、モデルパラメータをランダムにするだけでは不十分であり、ランダムな数学演算子を検討し、それによって計算モデルのファミリーを生成して、そのうちの1つが欠落した物理を捉えることを期待する必要があります。この意味でランダム行列が使用されてきました^{[ 26 ]。}振動音響学、波動伝播、材料科学、流体力学、熱伝達などの応用があります。

ランダム行列理論は、電気工学および通信工学の研究活動に応用することで、大規模多入力多出力（MIMO）無線システムの研究、モデル化、開発に役立てることができる。

最も一般的に研究されているランダム行列分布は、ガウスアンサンブル（GOE、GUE、GSE）です。これらはしばしばダイソン指数で表され、GOEはβ  = 1、GUEはβ = 2、 GSEはβ = 4となります。この指数は、行列要素あたりの実数成分の数を表します。     

スペクトル分布

GUE/GOE/GSEの固有値λ1 , λ2 _, ..., λnの同時確率密度は_次のように与えられる_。

ここで、Z _β、nは明示的に計算できる正規化定数です（セルバーグ積分を参照）。GUE ( β  = 2)の場合 、式 (1) は行列式点過程を表します。結合確率密度がゼロ (の) を持つため、固有値は反発します。${\displaystyle \beta }$一致する固有値の場合、 次）$\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$、 そして${\displaystyle Z_{2,n}=(2\pi )^{n/2}\prod _{k=1}^{n}k!}$。

より簡潔に言うと、$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\|\lambda \|_{2}^{2}}|\Delta _{n}(\lambda )|^{\beta }}$$どこ$\displaystyle \Delta _{n}}$はヴァンデルモンド行列式です。

GOEとGUEの最大固有値の分布は明示的に解くことができる。^{[ 27 ]}それらは適切にシフトおよびスケーリングした後、 Tracy–Widom分布に収束する。

スペクトルを$\displaystyle {\sqrt {N\sigma ^{2}}}}$区間上では、分布は半円分布に収束する。${\displaystyle [-2,+2]}$:${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}}$。 ここ$\displaystyle \sigma ^{2}}$これは非対角要素の分散です。対角要素の分散は関係ありません。

ウィシャート行列は、 H = X X ^*の形式のn  × nランダム行列です。ここで、Xは独立な要素を持つn × mランダム行列 ( m ≥ n ) であり、X ^*はその共役転置行列です。ウィシャートが考察した重要な特殊ケースでは、 Xの要素は同一分布のガウス型ランダム変数 (実数または複素数) です。     

ウィシャート行列の経験的スペクトル尺度の限界は、ウラジミール・マルチェンコとレオニード・パストゥールによって発見された^{[ 28 ]}。

ランダムバンド行列は、特定のバンド外のすべての要素がゼロであるという性質を持つランダム行列です。^{[ 29 ]}これらは、各粒子が隣接する粒子とのみ相互作用することを許容する、おおよそグリッド状に配置された相互作用する粒子のシステムを大まかにモデル化するために使用でき、これは平均場モデルの改善です。^{[ 29 ]}

一次元では、これは次のことを意味します。${\textstyle H_{ij}=0}$もし${\textstyle |ij|>W}$ここで、W は帯域幅です。物理的には、粒子iとjの相互作用量は、それらの距離が W を超える場合 0 であることを意味します。 1 次元を超える場合、i と j はもはや整数ではなく、整数成分を持つn次元ベクトルであり、${\textstyle H_{ij}=0}$もし${\displaystyle |ij|_{L^{1}}}$、 どこ${\displaystyle |\cdot |_{L^{1}}}$これは、2地点間のタクシーでの移動距離を示します。${\textstyle H_{ij}=H_{ji}}$すべての i,j および非ゼロ値に対して${\textstyle H_{ij}}$差異がある${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}}$同じ桁数で、正規化して${\textstyle \sum _{j}\sigma _{ij}^{2}=1}$j の各値について。^{[ 29 ]}

経験的スペクトル尺度$\displaystyle \mu _{H}}$の${\displaystyle H}$定義される$${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{Aにおける}}H{\text{の固有値}\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$$ あるいはもっと簡潔に言うと、$\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$は、${\displaystyle H}$$${\displaystyle \mu _{H}(d\lambda )={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}(d\lambda ).}$$

通常、$\displaystyle \mu _{H}}$は決定論的な尺度であり、これは自己平均化の特殊なケースです。極限尺度の累積分布関数は状態密度の積分と呼ばれ、 N ( λ )で表されます。状態密度の積分が微分可能な場合、その導関数は状態密度と呼ばれ、 ρ ( λ )で表されます。 

行列アンサンブルが与えられたとき、そのスペクトル測度は弱収束すると言います。${\displaystyle \rho }$任意の可測集合に対して${\displaystyle A}$すると、アンサンブル平均は収束する。$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} _{H}[\mu _{H}(A)]=\rho (A)}$$収束は弱くほぼ確実に起こる：サンプリングすると${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$アンサンブルとは独立に、確率1で、$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$$任意の可測集合に対して${\displaystyle A}$。

別の意味では、弱いほぼ確実な収束とは、我々がサンプリングすることを意味します。${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$独立してではなく、「成長」（確率過程）によって、確率1で、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$任意の可測集合に対して${\displaystyle A}$。

例えば、ガウスアンサンブルから行列のシーケンスを次のように「生成」することができます。

• 標準乱数列の無限二重無限列をサンプリングする${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,3,\dots }}$。
• それぞれを定義する${\displaystyle H_{n}=(G_{n}+G_{n}^{T})/{\sqrt {2n}}}$どこ${\displaystyle G_{n}}$行列はエントリで構成されています${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,\dots ,n}}$。

一般的な行列アンサンブルでは拡大はできませんが、3つのガウスアンサンブルなど、一般的な行列アンサンブルのほとんどは拡大が可能です。

グローバルな体制においては、線形統計量の分布が関心の対象となる。${\displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)}$。

ウィグナー行列の経験的スペクトル尺度の限界は、ユージン・ウィグナーによって記述されました。ウィグナー半円分布とウィグナー推測を参照してください。標本共分散行列に関しては、マルチェンコとパストゥールによって理論が開発されました。^{[ 28 ] [ 31 ]}

不変行列アンサンブルの経験的スペクトル測度の極限は、ポテンシャル理論から生じるある種の積分方程式によって記述される。^{[ 32 ]}

^{[ 36 ] [ 37 ]}ウィグナーの半円法則の典型的な記述は、次の記述と同等である。各固定区間${\displaystyle [\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}$一点を中心とする${\displaystyle \lambda _{0}}$、 として${\displaystyle N}$ガウスアンサンブルの次元数が増加すると、区間内に含まれる固有値の割合は収束する。${\displaystyle \int _{[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}\rho (t)dt}$、 どこ${\displaystyle \rho (t)}$これは半円分布の密度です。

もし${\displaystyle \Delta \lambda }$減少が許容される${\displaystyle N}$が増加すると、厳密に強い定理が得られ、「局所法則」または「メソスコピックレジーム」と呼ばれる。

メゾスコピック領域は、局所領域と大域領域の中間に位置する。メゾスコピック領域では、ゼロに縮小するが十分にゆっくりと縮小する集合内の固有値の極限分布に関心がある。そのため、内部の固有値の数はゼロに収束する。${\displaystyle \to \infty }$。

例えば、ジニブレ集合にはメソスコピック法則がある。面積が縮小する円盤の任意のシーケンスに対して${\displaystyle u}$統合ディスク内部で、ディスクの面積が${\displaystyle A_{n}=O(n^{-1+\epsilon })}$ディスク内部のスペクトルの条件付き分布も一様分布に収束します。つまり、縮小するディスクをディスク内部のスペクトルとともに切り取り、ディスクを単位面積に拡大すると、ディスク内のスペクトルが平坦な分布に収束することがわかります。^{[ 37 ]}

局所的な領域では、固有値の数が残るほど急速に縮小する集合内の固有値の極限分布に関心がある。${\displaystyle O(1)}$。

通常、これは固有値間の間隔の研究を意味し、より一般的には、長さが 1/ n程度の区間における固有値の同時分布の研究を意味します。極限スペクトル測度のサポート内の区間に関するバルク統計と、サポートの境界付近の区間に関するエッジ統計を区別します。

スペクトル剛性現象とは、一般的に用いられる行列アンサンブルの固有値は、独立にランダムにサンプリングした場合よりも均一に分布する傾向があるという現象である。つまり、純粋なポアソン点過程よりも、固有値が密集して分布する傾向が低い。これは固有値剛性、あるいはレベル反発とも呼ばれる。

より定量的に、行列アンサンブルの極限スペクトル密度測度が${\displaystyle \mu }$. サブセットを固定する${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle 0<\mu (S)<1}$これは、範囲内に収まる固有値の割合です。${\displaystyle S}$大きな限界で${\displaystyle N}$なので、 の範囲内に収まる固有値の期待値は${\displaystyle S}$は${\displaystyle N\mu (S)}$さて、純粋なポアソン点過程であれば、実際の数は${\displaystyle N\mu (S)+O({\sqrt {N\mu (S)(1-\mu (S))}})}$、 以来${\displaystyle {\sqrt {N\mu (S)(1-\mu (S))}}}$は、範囲内に収まる点の数の標準偏差です。${\displaystyle S}$点が互いに完全に独立している場合。逆に、点が完全に剛体である場合、実際の数は次のようになります。${\displaystyle N\mu (S)}$変動なし。さて、多くの行列アンサンブルでは、範囲内に入る点の数は${\displaystyle S}$は${\displaystyle N\mu (S)+O({\sqrt {\ln N}})}$つまり、完全に剛体ではないが、それに非常に近い。^{[ 43 ] [ 44 ]}スペクトル剛性は、リーマンゼータ関数の零点で数値的に観測されている。^{[ 45 ]}

固有値の同時確率密度${\displaystyle n\times n}$ランダムなエルミート行列${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$分割関数は次の形式である。 $${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}}$$ どこ $${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$$ そして${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$空間における標準ルベーグ測度${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$エルミートの${\displaystyle n\times n}$行列は、次のように与えられる。 $${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$$ の${\displaystyle k}$点相関関数（または周辺分布）は次のように定義されます。 $${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$$ これらは変数の歪対称関数である。特に、一点相関関数、または状態密度は、 $${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$ ボレル集合上の積分${\displaystyle B\subset \mathbf {R} }$に含まれる固有値の期待値を示します${\displaystyle B}$: $${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).}$$

以下の結果は、これらの相関関数を、ペアにおける適切な積分カーネルを評価することによって形成される行列の行列式として表しています。${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$相関器内に現れる点の数。

定理[ダイソン・メータ]任意の ${\displaystyle k}$、${\displaystyle 1\leq k\leq n}$の${\displaystyle k}$-点相関関数${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$行列式として表すことができる $${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),}$$ どこ${\displaystyle K_{n,V}(x,y)}$は${\displaystyle n}$クリストッフェル・ダルブー核 $${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),}$$ 関連${\displaystyle V}$準多項式を用いて記述する $${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},}$$ どこ${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$は、直交条件を満たす、次数が指定された単項式の完全な列である。 $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$$

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