充填領域推測

微分幾何学において、ミハイル・グロモフの充填面積予想は、点間に近道を導入することなく、与えられた長さの閉曲線を充填する 向き付け可能な面の中で半球面の面積が最小になることを主張する。

ユークリッド空間内のすべての滑らかな曲面Mまたは曲線は計量空間であり、その中で、 Mの2 点x、  y間の(固有の) 距離d _M ( x、y )は、 Mに沿ってxからyに向かう曲線の長さの最小値として定義されます。たとえば、長さ2 Lの閉曲線では、曲線の各点xに対して、 xから距離Lのところに曲線の唯一の他の点 ( xの対蹠点と呼ばれる)が存在します。 ${\displaystyle C}$

コンパクトサーフェスM は、その境界 (境界とも呼ばれ、∂ Mと表記) が曲線Cである場合に、閉曲線Cを塗りつぶします。境界曲線Cの任意の 2 点x、yについて、 Mに沿ったそれらの間の距離d _M ( x、y )が境界に沿った距離d _C ( x、y )と同じ (小さくない) 場合、塗りつぶし M は等長であると言われます。言い換えると、曲線を等長的に塗りつぶすということは、近道を導入せずに塗りつぶすということです。

質問: 与えられた長さの境界曲線を等角的に埋める表面の面積は、どのくらい小さくなる可能性がありますか?

例えば、3次元ユークリッド空間では、円

${\displaystyle C=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}=1\}}$

（長さ2π ）は平らな円板で満たされる

${\displaystyle D=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$

これは等尺充填ではない。なぜなら、それに沿った直線の弦はショートカットになるからだ。対照的に、半球は

${\displaystyle H=\{(x,y,z):\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1{\text{ および }}z\geq 0\}}$

同じ円Cの等長充填で、平らな円の 2 倍の面積を持ちます。これは最小の面積ですか?

表面は、柔軟だが伸縮性のない素材でできていると想像できます。そのため、表面はユークリッド空間内で動かしたり曲げたりすることができます。これらの変換はいずれも、表面の面積や、表面上に描かれた曲線の長さ（問題に関連する大きさ）を変更しません。表面をユークリッド空間から完全に削除して、長さと面積をエンコードするリーマン計量を持つ抽象的な滑らかな表面であるリーマン面を取得することもできます。逆に、ナッシュ-カイパー定理によれば、境界を持つ任意のリーマン面は、リーマン計量によって指定された長さと面積を保存しながら、ユークリッド空間に埋め込むことができます。したがって、充填問題は、ユークリッド空間に特定の方法で配置されていない リーマン面に関する質問として同等に述べることができます。

予想（グロモフの充填面積予想、1983年）：半球面は、与えられた長さの境界曲線を等長的に充填する有向^{コンパクトリーマン面の中で最小の面積を持つ。 [1] ：p. 13}

グロモフが予想を述べた同じ論文で、彼は次のことを証明した。

半球面は、与えられた長さの円を等長的に埋めるリーマン面の中で面積が最小であり、円板と同相である。^[1]

証明:を、長さ の境界を等長的に埋めるリーマン円板とします。各点を、から最大距離にあるの唯一の点として定義されるその対心点 に接着します。このように接着すると、実射影平面に同相で、収縮できない最短曲線の長さが に等しい閉じたリーマン面が得られます。(逆に、射影平面を長さ の最短の収縮できないループに沿って切り開くと、長さ の境界を等長的に埋める円板が得られます。)したがって、等長充填が持つことができる最小面積は、収縮できないリーマン射影平面が持つことができる最小面積に等しくなります。しかし、Pu のシストリック不等式は、与えられたシストリックのリーマン射影平面が最小面積を持つのは、それが円形である場合 (つまり、ユークリッド球面から各点をその反対点と同一視することによって得られる場合) のみであることを正確に主張しています。この円形射影平面の面積は、半球の面積に等しくなります (各半球の面積は球の半分であるため)。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle 2L}$${\displaystyle x\in \partial M}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 2L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$

Pu の不等式の証明は、均一化定理に依存します。

2001年、セルゲイ・イワノフは、円板に同相な等長充填物の中で半球面が最小の面積を持つことを証明する別の方法を提示した。^{[2] [3] [4]彼の議論は}均一化定理を採用しておらず、円板上の2つの曲線は、その4つの端点が境界上にあり絡み合っている場合、必ず交差するという位相的事実に基づいている。さらに、イワノフの証明は、より一般的にはフィンスラー計量を持つ円板に適用され、これはリーマン計量とは異なり、無限小レベルでピタゴラス方程式を満たす必要がない。フィンスラー面の面積は、さまざまな非同値な方法で定義することができ、ここで採用されているのはホームズ・トムソン面積であり、これは計量がリーマン計量である場合の通常の面積と一致する。イワノフが証明したのは、

半球面は、与えられた長さの閉曲線を等尺的に埋めるフィンスラー円板の中で、最小のホームズ・トムソン面積を持ちます。

リーマンの場合とは異なり、閉曲線を等長的に埋め、半球と同じホームズ・トムソン面積を持つフィンスラー円板は多種多様です。代わりにハウスドルフ面積を使用すると、半球の極小性は維持されますが、半球が唯一の最小化者になります。これは、フィンスラー多様体のハウスドルフ面積がホームズ・トムソン面積よりも小さくなることはなく、2 つの面積が等しいのは計量がリーマンである場合のみであるため、イワノフの定理に従います。

円を埋めるユークリッド円板は、境界点間の距離を減らさずに、同じ円をN =10 回埋める（境界が円をN回囲むという意味で）が、ホームズ・トムソン面積が円板の面積のN^{倍よりも小さいフィンスラー円板に置き換えることができます。 [6]}半球面についても同様の置き換えが可能です。言い換えると、有理係数のフィンスラー 2鎖が充填として許可され、有向面（整数係数の 2 鎖と見なすことができます） の代わりに許可される場合、充填面積予想は誤りです。

種数1の向き付け可能なリーマン面が円を等長的に充填する場合、その面積は半球面の面積より小さくなることはない。^[7]この場合の証明も、境界の反対称点を接着することから始まる。このようにして得られた向き付け不可能な閉曲面は、種数 2 の向き付け可能な二重被覆を持ち、したがって超楕円である。次に、証明では積分幾何学の J. ハーシュの公式を利用する。つまり、赤道に自己交差点がある、フットボール上の 8 の字ループの族を考える。ハーシュの公式は、フットボールの共形類における計量の面積を、族からの 8 の字ループのエネルギーの平均として表す。ハーシュの公式をリーマン面の超楕円商に適用すると、この場合の充填面積予想が証明される。

リーマン多様体M (任意の次元) がほぼ平坦である場合(より正確には、Mは標準ユークリッド計量の - に近いリーマン計量を持つの領域)、 M は体積最小化子です。つまり、同じ境界を埋め、境界点間の距離を縮めることなく体積が小さくなる有向リーマン多様体で置き換えることはできません。^[8]これは、球の一部が十分に小さい (したがってほぼ平坦である) 場合、それが体積最小化子であることを意味します。この定理を大きな領域 (つまり、半球全体) に拡張できる場合、充填領域予想が正しいことになります。すべての単純なリーマン多様体 (境界で凸であり、すべての 2 つの点が一意の測地線で結ばれているもの) は体積最小化子であると予想されています。^[8]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{2}}$

ほぼ平坦な多様体Mがそれぞれ体積最小化要素であることの証明には、 Mを に埋め込み、 ${\displaystyle L^{\infty }(\partial M)}$Mの任意の等長置換も同じ空間 にマッピングでき、体積を増やすことなくMに投影できることを示すことが含まれます。これは、置換の体積が元の多様体Mよりも小さくないことを意味します。 ${\displaystyle L^{\infty }(\partial M)}$

• 充填半径
• Puの不等式
• 収縮期幾何学

• Katz, Mikhail G. (2007)、「シストリック幾何学と位相幾何学」、数学調査とモノグラフ、第137巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4177-8