フラットマニホールド

もし${\displaystyle (M,g)}$は滑らかな2次元連結完全平坦リーマン多様体である。${\displaystyle M}$次のいずれかと微分同相でなければならない

• $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（無限平面）
• $\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$（無限円筒）
• $\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$（トーラス）
• メビウスの帯​
• クラインの壺。

コンパクトな可能性は限られている$\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$そしてクラインの壺は、向きを変えることができる唯一の可能性は${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$そして${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

これらの空間上の明確な完全平坦リーマン計量を記述するには、より多くの労力が必要です。たとえば、$\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$半径として任意の 2 つの実数を持つことができます。これらの計量は、2 つの半径の比によって互いに区別されるため、この空間には、スケール係数を除いて等長ではない、無限に多くの異なる平坦積計量があります。5 つの可能性について統一的に議論し、特に抽象多様体としてメビウスの帯とクラインの壺を具体的に扱うためには、群作用の言語を使用すると便利です。

与えられた${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$させて${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$翻訳を表す$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$によって与えられた${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$させて${\displaystyle R}$反射を表す$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$によって与えられた${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y).}$2つの正の数が与えられた場合${\displaystyle a,b,}$次のサブグループを考慮する${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$等長変換のグループ$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$標準的な測定基準を用いて。

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$提供された${\displaystyle a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

これらはすべて、自由かつ適切に断続的に活動するグループです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$そして様々な剰余類空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$これらはすべて、2次元完全平坦リーマン多様体の構造を自然に備えている。これらの多様体は互いに等長ではなく、滑らかな2次元完全平坦連結リーマン多様体は、これらのいずれかと等長である。

オービフォールドに関する記事には、平坦な計量を持つコンパクトな2次元オービフォールド（トーラスやクラインの壺を含む）が17個リストされており、これらは17個の壁紙群に対応しています。

トーラスをドーナツとして標準的に「描く」と、中心から最も遠い点が正の曲率を持ち、中心に最も近い点が負の曲率を持つため、平坦な計量では表されないことに注意してください。ナッシュ埋め込み定理のカイパーの定式化によれば、${\displaystyle C^{1}}$埋め込み$${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$$これは、存在するフラットな製品指標のいずれかを誘発します${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$しかし、これらは容易に視覚化できるものではありません。$\displaystyle S^{1}}$は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$（平面）製品構造のいずれか$\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$は自然に部分多様体として表現される$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$同様に、クラインの壺の標準的な三次元視覚化では、平面的な計量は表現されません。紙片の両端を接着して作るメビウスの帯の標準的な構造は、確かに平面的な計量を与えますが、完全なものではありません。

向き付け可能な10個の平坦な3次元多様体は次のとおりです。^{[ 3 ]}

1. ユークリッド3次元空間、$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$。
2. 3次元トーラス$\displaystyle T^{3}}$立方体の向かい合う面を接着して作られます。
3. 立方体の向かい合う面同士を接着し、一方の面を1/2回転させて作る多様体。
4. 立方体の向かい合う面同士を接着し、一方の面を1/4回転させて作る多様体。
5. 六角柱の対向する面を、六角形の面に1/3のねじりを加えて接着して作られた多様体。
6. 六角柱の対向する面を、六角形の面に1/6のねじれを加えて接着して作られた多様体。
7. ハンツェ・ヴェント多様体。
8. 多様体$\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$2枚の平行な平面を接着して作られた空間。
9. 多様体$\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} }$無限に続く正方形の柱の対向する壁を接着して作られる。
10. 無限に続く正方形柱の対向する壁を、一方の壁面を1/2回転させて接着することによって作られる多様体。

8つの非可定向3次元多様体は次のとおりです。^{[ 4 ]}

1. 円とクラインの壺のデカルト積、${\displaystyle S^{1}\times K}$。
2. 前述の多様体と同様の多様体であるが、滑り面に平行な一方向に並進的にオフセットされている。この方向に移動すると、多様体の反対側に戻る。
3. 2つの直交するすべり面に関して点を反射させ、3番目の方向に沿って平行移動させることによって作られる多様体。
4. 前述の多様体と同様の多様体であるが、一方の滑り面に平行な方向に一方向に並進的にオフセットされている。この方向に移動すると、多様体の反対側に戻る。
5. 円と（無限の）メビウスの帯の直積。
6. 多様体${\displaystyle K\times \mathbb {R} }$ある点を一方の軸に沿って移動させ、それに垂直な滑り面に関して鏡映させることによって作られる。
7. ある点を一方の軸に沿って平行移動させ、平行なすべり面に関して鏡映することによって作られる多様体。
8. 互いに直交する2つのすべり面に関して一点を反射することによって作られる多様体。