ピカールグループ

数学において、環空間Xのピカール群（Pic( X )と表記）は、 X上の可逆層（または線束）の同型類の群であり、群演算はテンソル積である。この構成は、因子類群またはイデアル類群の構成のグローバル版であり、代数幾何学や複素多様体の理論で広く用いられている。

あるいは、ピカール群は層コホモロジー群として定義することもできる。

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

積分スキームの場合、ピカール群はカルティエ因子の類群と同型である。複素多様体の場合、指数層列はピカール群に関する基本的な情報を提供する。

この名称は、エミール・ピカールの理論、特に代数曲面上の因子に関する理論に敬意を表して付けられたものである。

• デデキント領域のスペクトルのピカール群は、そのイデアル類群である。
• 射影空間P ⁿ ( k )上の可逆層 ( kは体)は、ねじれ層である。${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$したがって、 P ⁿ ( k )のピカール群はZと同型である。
• k上の 2 つの原点を持つアフィン直線のピカール群はZと同型である。
• ピカードグループの${\displaystyle n}$次元複素アフィン空間：$\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$実際、指数列はコホモロジーにおいて以下の長完全列を与える。

  $\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

そしてそれ以来${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$^{[ 1 ]}私たちには$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$$なぜなら${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$収縮可能であれば、$\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$そしてドルボー同型性を適用して計算することができます$\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$ドルボー・グロタンディークの補題により。

ピカール群（表現可能な関手版）上のスキーム構造であるピカールスキームの構築は、代数幾何学、特にアーベル多様体の双対性理論において重要なステップである。これはグロタンディーク（1962）によって構築され、マムフォード（1966）とクライマン（2005）によっても記述されている。

古典代数幾何学において最も重要なケースでは、標数ゼロの体上の非特異完全多様体Vに対して、ピカール スキームにおける恒等式の連結成分は、ピカール多様体と呼ばれるアーベル多様体であり、Pic ⁰ ( V ) と表記される。ピカール多様体の双対はアルバネーゼ多様体であり、 Vが曲線である特別な場合、ピカール多様体は自然にVのヤコビ多様体と同型である。しかし、標数が正の体の場合、イグサはPic ⁰ ( S ) が非既約であり、したがってアーベル多様体ではない滑らかな射影曲面Sの例を構成した。

商群 Pic( V )/Pic ⁰ ( V ) は有限生成アーベル群NS( V ) であり、これはVのネロン・セヴェリ群である。言い換えれば、ピカール群は正確な数列に収まる。

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,}$

NS( V ) のランクが有限であるという事実は、フランチェスコ・セヴェリの基底定理です。ランクはVのピカール数であり、しばしばρ ( V ) と表記されます。幾何学的には、NS( V ) はV上の因子の代数的同値類を記述します。つまり、因子の線形同値の代わりに、より強力な非線形同値関係を使用することで、分類は離散不変量に適合するようになります。代数的同値性は、本質的に交点数による位相的分類である数値的同値性と密接に関連しています。

f : X → S をスキームの射とする。相対ピカール関手（またはスキームの場合は相対ピカールスキーム）は、任意のSスキームTに対して次のように与えられる。^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}$

どこ${\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}$はfの基本変化であり、f _T ^*は引き戻しです。

Lは​${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}$任意の幾何学的点s → Tに対してプルバックが次数 r である場合、次数はrである。${\displaystyle s^{*}L}$Lのsに沿ったものは、ファイバーX _s上の可逆層として次数rを持ちます(次数はX _sのピカール群に対して定義されます)。

• 層コホモロジー
• チャウチャウの品種
• カルティエ除算器
• 正則線束
• 理想的なクラスグループ
• アラケロフクラスグループ
• グループスタック
• ピカードカテゴリー

• Grothendieck、A. (1962)、V. Les schemas de Picard。存在の理論、ブルバキセミナー、t. 14: アネ 1961/62、暴露 223-240、いいえ。 7、トークNo. 232、143～161ページ 
• グロタンディーク、A. (1962)、VI。ピカールのスキーマ。一般財産、ブルバキセミナー、t. 14: アネ 1961/62、暴露 223-240、いいえ。 7、トークNo. 236、221–243ページ​ 
• ハートショーン、ロビン（1977）、『代数幾何学』、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90244-9MR 0463157、OCLC 13348052​  
• 井草淳一(1955)「抽象代数幾何学におけるいくつかの問題について」米国科学アカデミー紀要、41 (11): 964–967、Bibcode : 1955PNAS...41..964I、doi : 10.1073/pnas.41.11.964、PMC 534315、PMID 16589782  
• Kleiman, Steven L. (2005)、「ピカール方式」、Fundamental algebraic geometry、Math. Surveys Monogr.、vol.  123、Providence, RI: American Mathematical Society、pp. 235–321、arXiv : math/0504020、Bibcode : 2005math......4020K、MR 2223410  
• マムフォード、デイヴィッド（1966）、『代数曲面上の曲線に関する講義』、数学研究年報、第 59巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-07993-6MR 0209285、OCLC 171541070​  
• マムフォード、デイヴィッド（1970）、『アーベル多様体』、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-560528-0OCLC 138290​