コーンズ埋め込み問題

1970年代にアラン・コンヌによって定式化されたコンヌの埋め込み問題は、フォン・ノイマン代数理論における主要な問題である。当時、この問題は数学の様々な分野で再定式化されてきた。自由エントロピー理論を開発したダン・ヴォイクレスクは、コンヌの埋め込み問題がミクロ状態の存在と関連していることを発見した。この問題の正の解を仮定することで、フォン・ノイマン代数理論のいくつかの結果を得ることができる。この問題は量子論におけるいくつかの基本的な問題と関連しており、それがコンピュータ科学においても重要な意味を持つという認識につながった。

この問題には、いくつかの同等の定式化が可能である。^{[ 1 ]}特に、以下の長年の問題と同等である。

• C*-代数理論におけるキルヒベルクのQWEP予想
• 量子情報理論におけるツィレルソンの問題
• 任意の（分離可能な）フォン・ノイマン環のプレデュアルは、トレースクラスにおいて有限表現可能である。

2020 年 1 月に、Ji、Natarajan、Vidick、Wright、および Yuen は、量子複雑性理論^{[ 2 ]}においてConnes の埋め込み問題に対する否定的な答えを示唆する結果を発表しました。^{[ 3 ] [ 4 ]}しかし、2020 年 9 月に、彼らが使用した以前の結果に誤りがあることが発見され、以前の結果を回避する新しい証明が 9 月にプレプリントとして公開されました。^{[ 5 ]} 2021 年 11 月にCommunications of the ACMに概要が掲載され、^{[ 6 ]} MIP*=RE と Connes の埋め込み問題との関連性を説明する記事が 2022 年 10 月に発表されました。^{[ 7 ]}

させて${\displaystyle \omega }$自然数上の自由超フィルターとし、R をトレースを持つ超有限タイプ II ₁因子とする。${\displaystyle \tau }$超大国を構築することができる${\displaystyle R^{\omega }}$次のようにします。${\displaystyle l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}}$をノルム有界列のフォン・ノイマン環とし、${\displaystyle I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*}x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}}$商${\displaystyle R^{\omega }=l^{\infty }(R)/I_{\omega }}$_{微量のII 1}因子であることが判明${\displaystyle \tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })}$、 どこ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$は、${\displaystyle x}$。

コーンズの埋め込み問題は、可分ヒルベルト空間上のすべてのタイプ II ₁因子が何らかの空間に埋め込めるかどうかを問うものである。${\displaystyle R^{\omega }}$。

_{この問題に対する肯定的な解決策は、タイプ II 1}因子 ( Uffe Haagerup )の多くのクラスの演算子に対して不変部分空間が存在することを意味し、すべての可算離散群は超線形である。この問題に対する肯定的な解決策は、自由エントロピー間の等式によって示される。${\displaystyle \chi ^{*}}$そして、ミクロ状態によって定義される自由エントロピー（ダン・ヴォイクレスク）。2020年1月、研究者グループ^{[ 2 ]}は、この問題を否定的に解決したと主張した。すなわち、超冪に埋め込まれないタイプII _{1フォン・ノイマン因子が存在するというものである。}${\displaystyle R^{\omega }}$超有限II ₁因子の。

同型クラス${\displaystyle R^{\omega }}$連続体仮説が真である場合に限り、超フィルターに依存しない（Ge-Hadwin および Farah-Hart-Sherman ）。しかし、このような埋め込み特性は超フィルターに依存しない。なぜなら、可分ヒルベルト空間に作用するフォン・ノイマン環は、大まかに言えば非常に小さいからである。

この問題には、いくつかの同等の定式化が可能である。^{[ 1 ]}

• コーンズ氏による埋め込み問題と量子情報理論に関するワークショップ。テネシー州ナッシュビルのヴァンダービルト大学にて、2020年5月1日～7日開催予定（延期；日程未定）。
• 多面的なコーンズ埋め込み問題；カナダ、BIRS；2019年7月14日～19日
• 冬季講習会：コーンズの埋め込み問題と量子情報理論；オスロ大学、2019年1月7日～11日
• ソフィック群とハイパー線形群およびコンヌ埋め込み予想に関するワークショップ；ブラジル、フロリアノポリス連邦科学大学；2018年6月10日～21日
• 作用素環とエルゴード理論における近似特性；UCLA；2018年4月30日～5月5日
• 作用素環論と量子情報理論；アンリ・ポアンカレ研究所（パリ）；2017年12月
• 演算子空間、調和解析、量子確率に関するワークショップ；ICMAT、マドリード；2013年5月20日～6月14日
• フィールズワークショップ（コーンズ埋め込み問題関連）–オタワ大学、2008年5月16日～ 18日

• カプラーロ、ヴァレリオ (2010)。 「コンネスの埋め込み予想に関する調査」。arXiv : 1003.2076 [ math.OA ]。
• Farah, I.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). "作用素環のモデル理論 I: 安定性". Bulletin of the London Mathematical Society . 45 (4): 825–838 . arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID 15024863 . 
• Ge; Hadwin (2001). 「C*-代数の超積」. 『作用素論および関連トピックの最近の進歩』. 『作用素論：進歩と応用』第127巻、 305–326 頁。doi : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . ISBN  978-3-0348-9539-2。
• Collins, Benoit; Dykema, Ken (2008). "Connesの埋め込み問題の線形化" (PDF) . New York Journal of Mathematics . 14 : 617– 641.
• _{シャーマン、デイビッド（2008）。「II 1因子の超冪}の自己同型に関する注記」。arXiv : 0809.4439 [ math.OA ]。
• Pisier, Gilles (2020). "C*-代数と作用素空間のテンソル積: Connes-Kirchberg問題" (PDF) . 2021年4月19日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2020年1月25日取得。