最小曲面

数学において、極小曲面とは、その面積を局所的に最小化する曲面のことである。これは、平均曲率がゼロであることと同義である（下記の定義を参照）。

「極小曲面」という用語は、これらの曲面がもともと何らかの制約の下で総表面積を最小化する曲面として生まれたことに由来します。面積を最小化する極小曲面の物理モデルは、ワイヤーフレームを石鹸水に浸して石鹸膜を形成することで作ることができ、この石鹸膜は境界がワイヤーフレームである極小曲面です。しかし、この用語は、自己交差したり制約を持たないより一般的な曲面にも使用されます。特定の制約に対して、面積の異なる複数の極小曲面が存在する場合もあります（例えば、回転体の極小曲面を参照）。標準的な定義は局所最適解のみに関係し、全体最適解には関係しません。

極小曲面は、いくつかの同等な方法で定義できます。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$それらが等価であるという事実は、極小曲面理論が微分幾何学、変分法、ポテンシャル理論、複素解析、数理物理学など、いくつかの数学分野の交差点に位置していることを示すのに役立つ。^{[ 1 ]}

局所最小面積の定義：表面$\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$最小となるのは、Mのすべての点pが、同じ境界を持つすべての曲面の中で最小の面積を持つ、単純な閉曲線で囲まれた近傍を持つ場合のみです。

この性質は局所的なものです。つまり、最小曲面内には、同じ境界を持つより小さな面積の曲面が存在する可能性があります。この性質は石鹸膜との関連性を示しています。ワイヤーフレームを境界として変形させた石鹸膜は、面積を最小化します。

変分定義：曲面$\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$が最小となるのは、それがコンパクトにサポートされたすべてのバリエーションに対する領域関数の臨界点である場合に限る。

この定義により、極小曲面は測地線の2次元版となり、測地線は長さ汎関数の臨界点として同様に定義される。

平均曲率の定義：表面$\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$最小となるのは、その平均曲率がすべての点でゼロに等しい場合のみである。

この定義の直接的な意味は、表面上のすべての点が、主曲率が等しく反対向きの鞍点であるということです。さらに、これにより極小曲面は平均曲率流の静的解となります。ヤング・ラプラス方程式によれば、石鹸膜の平均曲率は、両側の圧力差に比例します。石鹸膜が領域を囲んでいない場合、その平均曲率はゼロになります。対照的に、球状の石鹸泡は、外部領域とは異なる圧力を持つ領域を囲んでいるため、平均曲率はゼロではありません。

微分方程式の定義：曲面$\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$領域の画像によって形成される$\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{2}}$機能の下で${\displaystyle \mathbf {f} :X\to M}$、${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,u(x,y))}$、 どこ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$は実数値関数であり、 が最小となるのは、 の場合のみです。${\displaystyle u}$満たす

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

この定義における偏微分方程式は、もともと1762年にラグランジュによって発見され^{[ 2 ]}、ジャン・バティスト・ムニエは1776年にそれが平均曲率がゼロになることを意味することを発見した^{[ 3 ]} 。この方程式は、位置が非対称であるという意味で非対称な定義を与える。${\displaystyle z}$軸は関数として決定されます${\displaystyle u}$の${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$すべての曲面がこの方法で都合よく表現できるわけではない。より一般的な表現に基づく別の定義${\displaystyle \mathbf {x}$ :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},(u,v)\mapsto (x,y,z)} は

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}{\boldsymbol {\times }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}{\sqrt {({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}){\boldsymbol {\cdot }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}}}={\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}{\sqrt {({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}){\boldsymbol {\cdot }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}}}}$。

エネルギーの定義：共形浸漬${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$が最小となるのは、それがコンパクト台を持つすべての変分に対するディリクレエネルギーの臨界点である場合、または同等に、任意の点が${\displaystyle p\in M}$その境界に対してエネルギーが最も低い近隣領域を持つ。

この定義は、極小曲面を調和関数とポテンシャル理論に結びつけるものである。

調和の定義：${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$リーマン面を3次元空間に等長的に埋め込み、${\displaystyle X}$最小であると言われるのは${\displaystyle x_{i}}$は調和関数である${\displaystyle M}$各${\displaystyle i}$。

この定義と調和関数の最大値原理の直接的な帰結は、コンパクトで完全な極小曲面は存在しないということである。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$。

ガウス写像の定義：表面$\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$最小となるのは、その立体投影されたガウスマップが${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$は基礎となるリーマン面構造に関して有理型であり、${\displaystyle M}$球体の一部ではない。

この定義では、平均曲率が形状演算子のトレースの半分であることを使用しており、これはガウス写像の導関数と関連しています。投影されたガウス写像がコーシー・リーマン方程式に従う場合、トレースはゼロになるか、Mのすべての点が臍点となり、その場合は球面の一部となります。

局所最小面積と変分定義により、最小曲面を他のリーマン多様体に拡張することが可能になります。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[ ^{4 ]​}

極小曲面理論は、1762年に曲面を見つける変分問題を考察したラグランジュに端を発する。${\displaystyle z=z(x,y)}$与えられた閉じた輪郭に沿って引き伸ばされた最小面積。彼はその解に対するオイラー・ラグランジュ方程式を導出した。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

彼は平面以外の領域では解決策を見つけることに成功しなかった。1776年、ジャン・バティスト・マリー・ムニエは、ヘリコイドとカテノイドがこの方程式を満たし、微分表現が曲面の平均曲率の2倍に相当することを発見し、平均曲率がゼロの曲面が面積を最小化すると結論付けた。

ラグランジュ方程式を拡張して

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

1795年、ガスパール・モンジュとルジャンドルは解曲面の表現式を導出した。これらは1830年にハインリヒ・シェルクによって自身の曲面を導出する際に有効に用いられたものの、一般的には実用的ではないと考えられていた。カタランは1842/43年に、ヘリコイドが唯一の線織極小曲面であることを証明した。

19世紀半ばにビョルリング問題が複素数法を用いて解決されるまで、進歩はかなり緩慢であった。極小曲面の「最初の黄金時代」が始まった。シュヴァルツは1865年に正四角形に対するプラトー問題の解を、1867年には一般四角形に対するプラトー問題の解を複素数法を用いて発見した（これにより周期曲面族の構成が可能になった）。ワイエルシュトラスとエンネパーは、極小曲面を複素解析と調和関数にしっかりと結びつける、より有用な表現公式を開発した。その他、ベルトラーミ、ボネ、ダルブー、リー、リーマン、セレ、ワインガルテンらが重要な貢献をした。

1925年から1950年にかけて、極小曲面理論は再び注目を集め、主に非パラメトリック極小曲面を対象とするようになった。ジェシー・ダグラスとティボール・ラドによるプラトー問題の完全解決は、この分野における重要なマイルストーンとなった。バーンスタインの問題や、ロバート・オッサーマンによる有限全曲率の完全極小曲面に関する研究もまた重要であった。

1980年代には、別の復活が始まった。その一因は、1982年にセルソ・コスタが、平面、カテノイド、ヘリコイドだけが完全埋め込み極小曲面であるという予想を覆す曲面を発見したことである。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$有限位相型の。これは、古いパラメトリック法の使用に関する新しい研究を刺激しただけでなく、研究対象の曲面を視覚化するためのコンピュータグラフィックスと、「周期問題」（共役曲面法を使用してより大きな対称曲面に組み立てることができる曲面パッチを決定する場合、埋め込み曲面を生成するために特定のパラメータを数値的に一致させる必要がある）を解決するための数値的方法の重要性も示しました。もう1つの原因は、 1970年にアラン・ショーンが経験的に最初に記述した三重周期の極小曲面が実際に存在することをH. カーチャーが検証したことです。これにより、たとえばハンドルを追加したり、曲面を歪ませたりすることによって、古い曲面から新しい曲面を導出するさまざまな曲面ファミリーと方法が生まれました。

現在、極小曲面の理論は、他の環境幾何学における極小部分多様体へと多様化し、数理物理学（例えば、正の質量予想、ペンローズ予想）や3次元多様体幾何学（例えば、スミス予想、ポアンカレ予想、サーストン幾何化予想）に関連するものとなっている。

極小曲面の古典的な例としては、以下のようなものがある。

• 飛行機は、自明なケースである
• カテノイド：懸垂線をその準線を中心に1回転させて作られる極小曲面
• ヘリコイド：直線に垂直な軸を中心に一定速度で回転し、同時にその軸に沿って一定速度で移動する直線によって掃引される表面。

19世紀の黄金時代に作られた表面素材には以下のようなものがあります。

• シュワルツ極小曲面：三重周期曲面$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• リーマン極小曲面：死後に記述された周期曲面
• エンネパーの表面
• ヘンネベルク曲面：最初の非可定向極小曲面
• ブールのミニマルサーフェス
• ネオビウス曲面：三重周期曲面

現代の表面材には以下が含まれます。

• ジャイロイド：1970年にシェーンが考案した曲面の一つで、液晶構造にとって特に興味深い三重周期曲面である。
• サドルタワーファミリー：シェルクの第二曲面の一般化
• コスタの極小曲面：有名な予想の反証。1982年にセルソ・コスタによって記述され、後にジム・ホフマンによって視覚化された。その後、ジム・ホフマン、デビッド・ホフマン、ウィリアム・ミークス3世は、この定義を拡張して、異なる回転対称性を持つ曲面の族を作り出した。
• Chen –Gackstatter曲面ファミリーに、Enneper曲面にハンドルを追加したもの。

極小曲面は、他の多様体でも定義できます。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$例えば、双曲空間、高次元空間、リーマン多様体など。

極小曲面の定義は、平均曲率が一定の曲面、すなわち平均曲率がゼロである必要のない曲面にも一般化／拡張することができる。

離散微分幾何学では、離散極小曲面が研究されています。これは、頂点の位置の小さな摂動の下で面積を最小化する三角形の単体複体です。 ^{[ 5 ]}閉じた形式の式が知られていない場合でも、このような離散化は極小曲面を数値的に近似するためによく使用されます。

極小曲面上のブラウン運動は、極小曲面に関するいくつかの定理の確率論的証明につながる。 ^{[ 6 ]}

等温面の曲率線は等温網を形成する。^{[ 7 ]}

極小曲面は、複雑な材料の自己組織化への応用が期待されることから、特に分子工学や材料科学の分野で集中的な科学的研究の対象となっている。 ^{[ 8 ]}細胞生物学における重要な構造である小胞体は、非自明な極小曲面に適合するように進化的な圧力を受けていると考えられている。^{[ 9 ]}

一般相対性理論とローレンツ幾何学の分野では、見かけの地平線として知られる極小曲面の概念の特定の拡張と修正が重要である。^{[ 10 ]}事象の地平線とは対照的に、これらはブラックホールの境界を理解するための曲率に基づくアプローチを表している。

表面積が最小限の構造物はテントとして使用できる。

極小曲面は、現代のデザイナーが使用する生成デザインツールボックスの一部です。建築においては、極小曲面と密接に関連する張力構造に大きな関心が寄せられています。注目すべき例としては、フライ・オットー、坂茂、ザハ・ハディドの作品が挙げられます。フライ・オットーによるミュンヘンオリンピックスタジアムの設計は、石鹸の表面から着想を得ています。^{[ 11 ]}また、同じくフライ・オットーによる注目すべき例として、カナダのモントリオールで開催されたエキスポ67のドイツ館があります。^{[ 12 ]}

美術界では、ロバート・エングマン（1927年～2018年）、ロバート・ロングハースト（1949年～）、チャールズ・O・ペリー（1929年～2011年）などの彫刻家によって、最小限の表面が幅広く探求されてきた。

教科書

• R. クーラント著『ディリクレの原理、等角写像、極小曲面』、M. シファーによる付録、インターサイエンス・パブリッシャーズ社、ニューヨーク、1950年、xiii+330ページ。
• H. ブレイン・ローソン・ジュニア著『極小部分多様体に関する講義』第1巻、第2版。数学講義シリーズ9。Publish or Perish, Inc.、ウィルミントン、デラウェア州、1980年。iv+178ページ。ISBN 0-914098-18-7
• ロバート・オッサーマン著『極小曲面の概説』第2版、ドーバー出版、ニューヨーク、1986年、vi+207ページ、ISBN 0-486-64998-9MR 0852409​ 
• ヨハネス・C・C・ニッチェ著『極小曲面に関する講義』第1巻：序論、基礎、幾何学、および基本的な境界値問題。ジェリー・M・ファインバーグによるドイツ語からの翻訳。ドイツ語の序文付き。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1989年。xxvi+563ページ。ISBN 0-521-24427-7
• 西川清樹（2002）.幾何学における変分問題. 数学モノグラフ翻訳シリーズ；岩波現代数学シリーズ. 第 205巻. 阿部紀悦訳. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1356-0ISSN 0065-9282、翻訳元: {{cite book}}: CS1 maint: postscript (リンク)

• 西川青季 (1998).幾何幾何変分問題. 岩波講座現代数学の基礎。 Vol.  28. 東京：岩波書店。ISBN 4-00-010642-2。

• ウルリッヒ・ディエルケス、ステファン・ヒルデブラント、フリードリヒ・ソーヴィニー。最小限の表面。改訂増補第２版。 A. Küster と R. Jakob の支援と貢献による。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、339。Springer、ハイデルベルク、2010。xvi+688 pp. ISBN 978-3-642-11697-1、土井：10.1007/978-3-642-11698-8、MR 2566897 
• トビアス・ホルク・コールディングとウィリアム・P・ミニコッツィ、II。最小限の路面で構成されたコース。数学の大学院研究、121。米国数学協会、ロードアイランド州プロビデンス、2011 年。xii+313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8

オンラインリソース

• ケルヒャー、ヘルマン；ポルティエ、コンラート（1995）。「石鹸膜に触れる - 極小曲面入門」 。 2006年12月27日取得。（極小曲面と石鹸膜に関する図解による解説。）
• Jacek Klinowski。「周期的極小曲面ギャラリー」 。 2009年2月2日取得。（古典的および現代的な例を含む、極小曲面のコレクション）
• Martin Steffens と Christian Teitzel。「Grape Minimal Surface Library」 。2008年10 月 27 日取得。（極小曲面の集合）
• Various (2000). "EGモデル" . 2004年9月28日取得。（極小曲面のモデルを複数掲載しているオンラインジャーナル）

• 「極小曲面」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 3D-XplorMath-J ホームページ—対話型数学可視化のための Java プログラムとアプレット
• 回転可能な極小曲面のギャラリー
• WebGLベースの回転・ズーム可能な極小曲面ギャラリー