アティヤ予想

数学において、アティヤ予想は、-ベッティ数の可能な値に対する制限に関する一連の主張の総称です。 ${\displaystyle l^{2}}$

1976年、マイケル・アティヤは、離散可算群の自由なココンパクト作用を持つ多様体の-コホモロジー（例えば、コンパクト多様体の普遍被覆とデッキ変換による基本群の作用）を導入した。アティヤは、結果として得られる-コホモロジー群のフォン・ノイマン次元として-ベッティ数も定義し、いくつかの例を計算したが、それらはすべて有理数であることが判明した。そこで彼は、 -ベッティ数が無理数になる可能性があるかどうかを尋ねた。 ${\displaystyle l^{2}}$ ${\displaystyle l^{2}}$${\displaystyle l^{2}}$${\displaystyle l^{2}}$

それ以来、さまざまな研究者が-Betti 数の可能な値についてより洗練された疑問を投げかけており、それらはすべて慣例的に「アティヤ予想」と呼ばれています。 ${\displaystyle l^{2}}$

多くの肯定的な結果がピーター・リンネルによって証明されました。たとえば、作用する群が自由群である場合、 -ベッティ数は整数です。 ${\displaystyle l^{2}}$

2011 年後半の時点で未解決の最も一般的な問題は、作用する群の有限部分群の位数に上限がある場合に -Betti 数が有理数であるかどうかです。実際、可能な分母と問題の位数との間の正確な関係が推測されています。捩れのない群の場合、このステートメントは零因子予想を一般化します。議論については、B. Eckmann の記事を参照してください。 ${\displaystyle l^{2}}$

そのような上限がない場合、ティム・オースティンは 2009 年に-ベッティ数が超越値をとることができることを示しました。その後、その場合、それらは任意の非負の実数になり得ることが示されました。 ${\displaystyle l^{2}}$

• アティヤ、MF (1976)。 「楕円演算子、離散群、フォン・ノイマン代数」。アンリ・カルタン名誉教授のコロク「分析とトポロジー」（オルセー、1974）。パリ: Soc.数学。フランス。 43–72ページ。アステリスク、No. 32-33。

• オースティン、ティム( 2013)。 「無理次元を持つ核を持つ有理群環要素」。ロンドン数学会紀要。107 (6): 1424–1448。arXiv : 0909.2360。doi : 10.1112/plms/pdt029。

• Eckmann, Beno (2000). 「トポロジーにおける - 法の紹介: 縮小- ホモロジー、調和連鎖、- ベッティ数」.イスラエル数学ジャーナル. 第 117 巻. pp. 183–219. doi : 10.1007/BF02773570 .${\displaystyle \ell_{2}}$${\displaystyle \ell_{2}}$${\displaystyle \ell_{2}}$