微分（微分代数）

数学において、微分とは、微分演算子の特定の特徴を一般化する代数上の関数である。具体的には、環または体K上の代数Aが与えられた場合、K微分はライプニッツの法則を満たすK線型写像D  : A → Aである。

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

より一般的には、M がA双加群である場合、ライプニッツの法則を満たすK線型写像D  : A → Mは微分とも呼ばれます。 Aからそれ自身へのすべてのK微分の総体は Der _K ( A ) と表されます。AからA加群MへのK微分の総体はDer _K ( A , M )と表されます。

微分は数学のさまざまな分野でさまざまな文脈で発生します。変数に関する偏微分は、 R ⁿ上の実数値微分可能関数の代数上のR微分です。ベクトル場に関するリー微分は、微分可能多様体上の微分可能関数の代数上のR微分です。より一般的には、多様体のテンソル代数上の微分です。したがって、リー代数の随伴表現はその代数上の微分です。ピンチャール微分は抽象代数における微分の一例です。代数Aが非可換である場合、代数Aの元に関する交換子は、 Aのそれ自体への線型自己準同型を定義し、これはK上の微分です。つまり、

${\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N],}$

ここで はに関する交換子です。優れた微分dを備えた代数Aは微分代数を形成し、それ自体が微分ガロア理論などの分野で重要な研究対象となっています。 ${\displaystyle [\cdot ,N]}$${\displaystyle N}$

AがK代数で、Kが環であり、D : A → AがK微分であるとき、

• A が単位 1 を持つ場合、 D (1) = D (1 ² ) = 2 D (1) となり、D (1) = 0 となります。したがって、 K線形性により、すべてのk ∈ Kに対してD ( k ) = 0 となります。
• Aが可換な場合、ライプニッツの定理により、D ( x ² ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x )、かつD ( x ⁿ ) = nx ^{n −1} D ( x ) となります。
• より一般的には、任意のx ₁ , x ₂ , …, x _n ∈ Aに対して、帰納的に次の式が成り立つ。

  ${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

つまり、すべてのiに対して、D ( x _i )が と可換であるということです。${\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}}$

• n > 1の場合、 D ^{n は}微分ではなく、高次のライプニッツ規則を満たします。

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{nk}(u)\cdot D^{k}(v).}$

さらに、MがA-双加群であれば、

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

AからMまでのK導出の集合について。

• _K ( A , M )はK上の加群である。
• Der _K ( A ) は、交換子によって定義されるリー括弧を持つリー代数です。

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

2 つの導出の交換子が再び導出であることが容易に検証されるからです。

• A加群Ω _{A / K}（ケーラー微分と呼ばれる）があり、 K微分d : A → Ω _{A / K}によって任意の微分D : A → Mが因数分解される。つまり、任意の微分Dに対して、 A加群写像φが存在し、

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

対応はA加群の同型である: ${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• k ⊂ Kが部分環である場合、Aはk -代数構造を継承するため、包含関係が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

なぜなら、任意のK 微分は、さらに k微分であるからです。

次数付き代数 Aと、 A上の次数| D |の同次線型写像Dが与えられたとき、Dが同次微分となるのは、

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

交換因子ε = ±1に対して、 Aのすべての同次元aとすべての元bに対して、次数付き微分は同じεを持つ同次微分の合計です。

ε = 1 の場合には、この定義は通常の場合と同じになる。しかし、 ε = −1 の場合には、

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}}$

奇数| D |に対して、Dは反微分と呼ばれます。

反微分の例としては、微分形式に作用する外微分や内積などが挙げられます。

超代数の次数付き微分（つまり、Z ₂次代数）は、しばしば超微分と呼ばれます。

ハッセ・シュミット導出はK代数準同型 である

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

さらに、係数に形式的な冪級数 を送る写像と組み合わせると、微分が得られます。 ${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$${\displaystyle a_{1}}$

• 微分幾何学では、微分は接線ベクトルである。
• ケーラー微分
• ハッセ導関数
• p導出
• ヴィルティンガー導関数
• 指数写像の微分

• ブルバキ、ニコラ（1989）、代数I、数学の要素、Springer-Verlag、ISBN 3-540-64243-9。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1999）、代数幾何学に向けた可換代数（第3版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94269-8。
• 松村英之 (1970)、可換代数、数学講義ノートシリーズ、WA Benjamin、ISBN 978-0-8053-7025-6。
• コラージュ、イヴァン; スロバキア、ヤン; ミコル、ピーター W. (1993)、微分幾何学における自然演算、シュプリンガー・フェアラーグ。