ねじれ群

数学の一分野である群論において、捩れ群または周期群は、すべての要素が有限の順序を持​​つ群である。そのような群の指数は、存在する場合、要素の順序の 最小公倍数である。

たとえば、ラグランジュの定理から、すべての有限群は周期的であり、その位数を割り切る指数を持つことがわかります。

無限周期群の例には、有限体上の多項式環の加法群、有理数の整数による商群、およびそれらの直和であるプリューファー群などが​​ある。別の例としては、すべての二面体群の直和がある。これらの例のいずれも有限生成集合を持たない。有限生成無限周期群の明示的な例は、シャファレヴィッチとの共同研究に基づいてゴロド^{[1]によって構築され（}ゴロド・シャファレヴィッチの定理を参照）、またオートマトンを使用してアレシン^[2]とグリゴルチュク^{[3]によって構築された。これらの群は無限指数を持つ。有限指数の例としては、オルシャンスキー[4]によって構築された}タルスキモンスター群などが​​ある。

バーンサイドの問題は、有限生成群のみを考慮した場合の周期群と有限群の関係を扱う古典的な問題です。指数を指定すると有限性が強制されるのでしょうか? 前の段落のように、無限の有限生成周期群が存在することから、任意の指数に対して答えは「いいえ」であることがわかります。無限の有限生成群でどの指数が発生する可能性があるかについては、さらに多くのことが分かっていますが、問題が未解決のままになっているものもあります。

線型群などのいくつかの群のクラスでは、クラスに制限されたバーンサイドの問題の答えは正になります。

周期群の興味深い性質は、定義を一階述語論理で形式化することができないことである。これは、そうするためには、次の形式の公理が必要になるためである。

${\displaystyle \forall x,{\big (}(x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots {\big ) },}$

これは無限選言を含んでいるため、許容されない。第一階述語論理は1つの型に対する量指定子を許可し、その型の特性やサブセットを捉えることはできない。また、この無限選言を公理の無限集合を使って回避することも不可能である。コンパクト性定理は、周期群を特徴付ける第一階式の集合は存在しないことを意味している。^[5]

アーベル群Aの捩れ部分群は、有限の位数を持つすべての元で構成されるAの部分群です。捩れアーベル群は、すべての元が有限の位数を持つアーベル群です。捩れのないアーベル群は、単位元が有限の位数を持つ唯一の元であるアーベル群です。

• ねじれ（代数）
• ジョーダン・シューア定理

• RI Grigorchuk、「有限生成群の成長度と不変平均の理論」、Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48:5 (1984)、939–985 (ロシア語)。