数学的論理

数理論理学は、数学における形式論理の研究です。主要なサブ領域には、モデル理論、証明理論、集合論、再帰理論（計算可能性理論とも呼ばれる）などがあります。数理論理学の研究では、表現力や演繹力など、論理の形式体系の数学的特性が一般的に扱われます。ただし、正しい数学的推論を特徴づけたり、数学の基礎を確立したりするために論理を使用することも含まれる場合があります。

数理論理学は、その発祥以来、数学の基礎研究に貢献し、またその研究を動機づけてきた。この研究は、19世紀後半に幾何学、算術、解析学の公理的枠組みの開発から始まった。20世紀初頭には、基礎理論の無矛盾性を証明するためのデイヴィッド・ヒルベルトのプログラムによって形作られた。クルト・ゲーデル、ゲルハルト・ゲンツェンらの研究成果は、このプログラムに部分的な解決をもたらし、無矛盾性の証明に伴う問題を明確にした。集合論の研究は、集合論の共通公理系では証明できない定理もいくつかあるが、ほとんどすべての通常の数学は集合の観点から形式化できることを示した。現代の数学の基礎研究は、数学のすべてを展開できる理論を見つけようとするよりも、数学のどの部分を特定の形式体系で形式化できるかを確立すること（逆数学など）に重点が置かれていることが多い。

1977年の『数理論理学ハンドブック』^[1]では、現代の数理論理学を大まかに4つの領域に分類しています。

1. 集合論
2. モデル理論
3. 再帰理論、そして
4. 証明理論と構成的数学（単一の領域の一部とみなされます）。

さらに、計算複雑性理論の分野も数理論理学の一部に含まれることがある。^[2]各分野には明確な焦点があるが、多くの技術や結果は複数の分野で共有されている。これらの分野間の境界線、および数理論理学と他の数学の分野を分ける線は、必ずしも明確ではない。 ゲーデルの不完全性定理は、再帰理論と証明理論における画期的な出来事であるだけでなく、様相論理におけるレーブの定理にもつながっている。強制法は、集合論、モデル理論、再帰理論、および直観主義数学の研究で採用されている。

数学の分野である圏論では、多くの形式的な公理的手法が用いられ、圏論的論理の研究も含まれるが、圏論は通常、数理論理学のサブフィールドとはみなされていない。数学のさまざまな分野に応用できるため、サンダース・マクレーンなどの数学者は、集合論とは独立した数学の基礎体系として圏論を提唱している。これらの基礎では、古典的または非古典的論理を採用する集合論の一般化モデルに似た トポスが用いられる。

数理論理学は、形式哲学論理学と数学という2つの伝統の合流を反映して、19世紀半ばに数学のサブフィールドとして登場しました。^[3]数理論理学は、「ロジスティック」、「記号論理学」、「論理の代数」、最近では単に「形式論理」とも呼ばれ、19世紀を通じて人工的な表記法と厳密な演繹法を用いて練り上げられた一連の論理理論です。^{[4]この登場以前は、論理学は}修辞学、計算、^[5]三段論法、哲学を通じて研究されていました。20世紀前半には、数学の基礎をめぐる活発な議論を伴った基本的な結果が爆発的に増加しました。

論理学の理論は、歴史上、中国、インド、ギリシャ、イスラム世界など多くの文化で発展してきました。ギリシャの方法、特に『オルガノン』に見られるアリストテレス論理学（または項論理学）は、西洋の科学と数学において何千年にもわたって広く応用され、受け入れられてきました。^[6]ストア派、特にクリュシッポスは述語論理学の発展を開始しました。18世紀のヨーロッパでは、形式論理の操作を記号的または代数的な方法で扱う試みが、ライプニッツやランバートなどの哲学的数学者によってなされていましたが、彼らの研究は孤立したままでほとんど知られていませんでした。

19世紀半ば、ジョージ・ブールとオーガスタス・ド・モルガンが論理学の体系的な数学的扱い方を提示した。ジョージ・ピーコックなどの代数学者の研究を基にした彼らの研究は、伝統的なアリストテレス論理学の教義を数学の基礎を研究するのに十分な枠組みにまで拡張した。^[7] 1847年、ヴァトロスラフ・ベルティッチはブールとは独立して論理学の代数化に関する重要な研究を行った。^[8] チャールズ・サンダース・パースは後にブールの研究を基に関係と量指定子の論理体系を開発し、1870年から1885年にかけていくつかの論文を発表した。

ゴットロープ・フレーゲは、1879年に出版されたBegriffsschriftの中で、量指定子を使った論理の独自の展開を提示しました。この著作は、論理学の歴史における転換点となったと一般に考えられています。しかし、フレーゲの著作は、世紀の変わり目近くにバートランド・ラッセルが宣伝し始めるまで、あまり知られていません。フレーゲが開発した2次元表記法は広く採用されることはなく、現代のテキストでは使用されていません。

1890 年から 1905 年にかけて、エルンスト・シュレーダーは3 巻からなる『代数学の論理学入門』を出版しました。この作品はブール、ド・モルガン、パースの業績を要約し、拡張したものであり、19 世紀末に理解されていた記号論理学の包括的な参考文献でした。

数学が適切な基礎の上に構築されていないという懸念から、算術、解析、幾何学などの数学の基礎領域に対する公理体系が開発されました。

論理学では、算術という用語は自然数の理論を指す。ジュゼッペ・ペアノ^[9]は、ブールとシュレーダーの論理体系のバリエーションを使用し、量指定子を追加した算術の公理集（ペアノ公理）を発表し、彼の名前を冠した。ペアノは当時フレーゲの研究を知らなかった。同じ頃、リヒャルト・デデキントは、自然数は帰納的性質によって一意に特徴付けられることを示した。デデキントは、ペアノの公理の形式論理的特徴を欠いた別の特徴付けを提案した^{[10] 。しかし、デデキントの研究では、自然数集合の一意性（同型性まで）や、}後続関数と数学的帰納法からの加算と乗算の再帰的定義など、ペアノの体系ではアクセスできない定理が証明された。

19世紀半ば、ユークリッドの幾何学の公理に欠陥があることが明らかになった。^[11]ニコライ・ロバチェフスキーが1826年に確立した平行線公準 の独立性に加えて、 ^[12]数学者は、ユークリッドが当然のことと思っていたいくつかの定理が実際には彼の公理から証明できないことを発見した。その中には、直線には少なくとも2つの点が含まれるという定理や、同じ半径で中心が離れている円は必ず交わるという定理などがある。ヒルベルト^{[13]は、パッシュの}以前の研究を基にして、幾何学の公理の完全なセットを展開した。^{[14]幾何学の公理化の成功により、ヒルベルトは自然数や}実数直線 など、数学の他の分野の完全な公理化を模索するようになった。これは20世紀前半の主要な研究分野となった。

19 世紀には、関数の収束理論やフーリエ級数理論など、実解析理論が大きく進歩した。カール・ワイエルシュトラスなどの数学者は、どこでも微分不可能な連続関数など、直観を広げる関数を構築し始めた。計算規則としての関数、または滑らかなグラフというそれ以前の概念は、もはや適切ではなかった。ワイエルシュトラスは、自然数の特性を使用して解析を公理化しようとする解析の算術化を提唱し始めた。極限関数と連続関数の現代的な (ε, δ) 定義は、 1817 年にボルツァーノによってすでに開発されていたが、 ^[15]あまり知られていなかった。 コーシーは1821 年に連続性を無限小の観点から定義した(Cours d'Analyse、34 ページを参照)。1858 年、デデキントは有理数のデデキント切断による実数の定義を提案したが、この定義は現代のテキストでも現在でも使用されている。^[16]

ゲオルク・カントールは、無限集合論の基本概念を発展させた。彼の初期の成果は、濃度理論を発展させ、実数と自然数の濃度が異なることを証明した。 ^[17]その後20年間、カントールは一連の出版物で超限数理論を展開した。1891年に、彼は対角線議論を導入した実数の非可算性の新しい証明を発表し、この方法を使用して、どの集合もそのべき集合と同じ濃度を持つことはできないというカントールの定理を証明した。カントールは、すべての集合は整列している可能性があると信じていたが、この結果の証明を行うことができず、1895年には未解決の問題として残された。^[18]

20 世紀初頭の主な研究分野は集合論と形式論理でした。非形式集合論におけるパラドックスの発見により、数学自体が矛盾しているのではないかと考える人も現れ、一貫性の証明を求めるようになりました。

1900 年、ヒルベルトは次の世紀に向けた23 の問題からなる有名なリストを提示しました。最初の 2 つは連続体仮説を解決し、初等算術の無矛盾性を証明することでした。10 番目は整数上の多変数多項式方程式に解があるかどうかを判定できる方法を生み出すことでした。これらの問題を解決するためのその後の研究は、1928 年に提示されたヒルベルトのEntscheidungsproblemを解決する取り組みと同様に、数学的論理の方向性を形作りました。この問題は、形式化された数学的ステートメントが与えられた場合に、そのステートメントが真であるか偽であるかを判定する手順を求めていました。

エルンスト・ツェルメロは、あらゆる集合は整列可能であるという証明を与えたが、これはゲオルク・カントールが得ることができなかった結果である。 ^[19]証明を達成するためにツェルメロは選択公理を導入し、これは数学者と集合論の先駆者たちの間で白熱した議論と研究を引き起こした。この方法に対する即時の批判により、ツェルメロは結果の2回目の説明を発表し、証明に対する批判に直接対処することになった。^[20]この論文により、選択公理は数学界で広く受け入れられるようになった。

選択公理に対する懐疑論は、素朴な集合論で最近発見されたパラドックスによって強化された。チェーザレ・ブラーリ＝フォルティ^[21]は、パラドックスを最初に述べた。ブラーリ＝フォルティのパラドックスは、すべての順序数の集合は集合を形成できないことを示している。その後すぐに、バートランド・ラッセルは1901年にラッセルのパラドックスを発見し、ジュール・リシャールはリシャールのパラドックス を発見した。^[22]

ツェルメロは集合論のための最初の公理を提供した。^{[23]これらの公理は、}アブラハム・フランケルによって提案された追加の置換公理とともに、現在ではツェルメロ・フランケル集合論（ZF）と呼ばれている。ツェルメロの公理は、ラッセルのパラドックスを回避するためにサイズ制限の原理を取り入れた。

1910年、ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによる『プリンキピア・マテマティカ』第1巻が出版された。この独創的な作品は、関数と濃度の理論を、ラッセルとホワイトヘッドがパラドックスを避けるために開発した型理論の完全に形式的な枠組みで展開した。 『プリンキピア・マテマティカ』は20世紀で最も影響力のある作品の1つと考えられているが、型理論の枠組みは数学の基礎理論として人気がなかった。^[24]

フランケル^[25]は、選択公理は、固有元を持つツェルメロの集合論の公理からは証明できないことを証明した。その後のポール・コーエン^{[26]の研究は、固有元の追加は必要なく、選択公理はツェルメロ集合論では証明不可能であることを示した。コーエンの証明は、}強制する方法を発展させ、これは現在では集合論で独立性の結果を確立するための重要なツールとなっている。^[27]

レオポルド・レーヴェンハイム^[28]とトラルフ・スコーレム^[29]は、一階述語論理では無限構造の濃度を制御できないというレーヴェンハイム・スコーレムの定理を得た。スコーレムは、この定理が集合論の一階形式化に適用され、そのような形式化には可算なモデルが存在することを示唆していることを認識した。この直感に反する事実はスコーレムのパラドックスとして知られるようになった。

クルト・ゲーデルは博士論文で、一階述語論理における統語論と意味論の対応関係を確立する完全性定理を証明した。 ^[30]ゲーデルは完全性定理を使ってコンパクト性定理を証明し、一階述語論理的帰結の有限性を実証した。これらの結果は、一階述語論理が数学者によって使用される支配的な論理として確立されるのに貢献した。

1931年、ゲーデルは『プリンキピア・マテマティカと関連体系の形式的に決定不可能な命題について』を出版し、十分に強力で有効な第一階の理論のすべてが不完全であることを証明した（言葉の別の意味で）。この結果はゲーデルの不完全性定理として知られ、数学の公理的基礎に厳しい制限を設け、ヒルベルトのプログラムに大きな打撃を与えた。これは、算術のいかなる形式理論においても算術の無矛盾性証明を提供することが不可能であることを示した。しかし、ヒルベルトはしばらくの間、不完全性定理の重要性を認めなかった。^[a]

ゲーデルの定理は、十分に強くて有効な公理系の無矛盾性の証明は、もしその系が無矛盾であれば、その系自体では得られず、またより弱い系でも得られないことを示している。これは、彼らが検討する系の中で形式化できない無矛盾性の証明の可能性を残している。ゲンツェンは、有限系と超限帰納法の原理を用いて算術の無矛盾性を証明した。^{[31]ゲンツェンの結果は、}カット除去と証明論的順序数というアイデアを導入し、これらは証明理論の重要なツールとなった。ゲーデルは、古典算術の無矛盾性を高次の直観主義算術の無矛盾性にまで還元する、異なる無矛盾性の証明を与えた。^[32]

記号論理学に関する最初の一般向けの教科書は、1896年に『不思議の国のアリス』の著者ルイス・キャロル^{[33]によって書かれた。 [34]}

アルフレッド・タルスキはモデル理論の基礎を開発した。

1935年以降、著名な数学者のグループがニコラ・ブルバキというペンネームで協力し、百科事典的な数学のテキストシリーズであるÉléments de mathématique を出版した。厳格かつ公理的なスタイルで書かれたこれらのテキストは、厳密な表現と集合論的基礎を強調していた。これらのテキストで造られた用語、例えば、bijection、injection、surjectionや、テキストで採用された集合論的基礎は、数学のあらゆる分野で広く採用された。

計算可能性の研究は、ゲーデルとクリーネによる初期の形式化が関数の再帰的定義に依存していたため、再帰理論あるいは計算可能性理論として知られるようになった。 ^{[b]これらの定義が}チューリングマシンを含むチューリングの形式化と同等であることが示されたとき、計算可能関数という新しい概念が発見され、この定義は多数の独立した特徴付けを許容するほど堅牢であることが明らかになった。1931年の不完全性定理に関する研究では、ゲーデルは有効な形式体系の厳密な概念を欠いていた。彼はすぐに、計算可能性の新しい定義をこの目的に使用できることに気付き、元の論文でのみ示唆されていた不完全性定理を一般に述べることができるようになった。

1940年代には、スティーブン・コール・クリーネとエミール・レオン・ポストによって再帰理論に関する数多くの成果が得られました。クリーネ^{[35]は、チューリング[36]}によって予見された相対的計算可能性の概念と算術階層を導入しました。クリーネは後に再帰理論を高階関数に一般化しました。クリーネとゲオルク・クライゼルは、特に証明理論の文脈で直観主義数学の形式版を研究しました。

数理論理学は本質的に、形式論理システムを使用して表現される数学的概念を扱います。これらのシステムは、細部では多くの点で異なりますが、固定された形式言語での表現のみを考慮するという共通の性質を持っています。命題論理と一階述語論理のシステムは、数学の基礎への適用性と望ましい証明理論的特性のため、今日最も広く研究されています。^[c]二階述語論理や無限論理 などのより強力な古典的論理も、直観主義論理などの非古典的論理とともに研究されています。

一階論理は、論理の特別な形式体系である。その構文は、整形式の式として有限表現のみを含み、その意味論は、すべての量指定子が一定の談話領域に制限されることを特徴とする。

形式論理の初期の成果は、一階述語論理の限界を確立した。レーヴェンハイム・スコーレムの定理(1919) は、可算一階言語の文の集合が無限モデルを持つ場合、各無限濃度のモデルが少なくとも 1 つあることを示した。これは、一階公理の集合が自然数、実数、または同型性までのその他の無限構造を特徴付けることは不可能であることを示す。初期の基礎研究の目標は数学のすべての部分に対する公理的理論を生み出すことであったため、この限界は特に顕著であった。

ゲーデルの完全性定理は、一階述語論理における論理的帰結の意味的定義と統語的定義の同値性を確立した。 ^[30]これは、特定の文が特定の公理の集合を満たすすべてのモデルにおいて真である場合、その文を公理から有限に演繹しなければならないことを示している。コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理の証明における補題として初めて登場し、論理学者がその重要性を理解して日常的に適用し始めるまでには何年もかかった。これは、文の集合がモデルを持つのは、すべての有限部分集合がモデルを持つ場合のみであり、言い換えれば、矛盾する式の集合は有限の矛盾する部分集合を持つ必要があると述べている。完全性定理とコンパクト性定理により、一階述語論理における論理的帰結の洗練された分析とモデル理論の発展が可能になり、数学において一階述語論理が目立つ主な理由となっている。

ゲーデルの不完全性定理は、一階の公理化に追加の制限を確立する。^[37]最初の不完全性定理は、算術を解釈できる、矛盾がなく、事実上与えられた（以下に定義する）論理システムに対して、真である（自然数に対して成り立つという意味で）がその論理システム内では証明できない（そして、論理システムと矛盾しない算術のいくつかの非標準的なモデルでは実際には失敗する可能性がある）ステートメントが存在することを述べている。たとえば、ペアノ公理を表現できるすべての論理システムでは、ゲーデル文は自然数に対して成り立つが、証明することはできない。

ここで、論理体系は、体系の言語で任意の式が与えられた場合に、その式が公理であるかどうかを決定できる場合に有効に与えられているとされ、ペアノ公理を表現できるものは「十分に強い」と呼ばれる。第一不完全性定理を第一階論理に適用すると、十分に強く、一貫性があり、有効な第一階理論は、基本的に同等ではないモデルを持つことになる。これは、レーヴェンハイム・スコーレム定理によって確立されたものよりも強い制限である。第二不完全性定理は、十分に強く、一貫性があり、有効な算術公理体系は、それ自体の一貫性を証明できないと述べており、これはヒルベルトのプログラムに到達できないことを示すと解釈されている。

第一階論理以外にも多くの論理が研究されています。これらには、式が無限の情報量を提供することを可能にする無限論理や、集合論の一部を意味論に直接含める高階論理が含まれます。

最もよく研​​究されている無限論理は です。この論理では、一階述語論理と同様に、量指定子は有限の深さまでしかネストできませんが、式には有限または可算無限の連言と選言を含めることができます。したがって、たとえば、 の式を使用して、オブジェクトが整数であると言うことができます。${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$

${\displaystyle (x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor \cdots .}$

高階論理では、議論領域の要素だけでなく、議論領域のサブセット、そのようなサブセットの集合、およびより高次のタイプの他のオブジェクトの量化も可能になる。意味論は、高次のタイプの量化子ごとに個別の領域を持つのではなく、量化子が適切なタイプのすべてのオブジェクトに及ぶように定義される。一階論理が開発される前に研究された論理、たとえばフレーゲの論理には、同様の集合論的側面があった。高階論理はより表現力があり、自然数などの構造を完全に公理化できるが、一階論理の完全性定理やコンパクト性定理の類似物を満たさず、したがって証明理論的分析には適さない。

もう一つのタイプのロジックは固定小数点ロジックは、原始的な再帰関数に対して記述するような帰納的定義を可能にします。

第一階述語論理の拡張を正式に定義することができます。これは、このセクションのすべての論理を包含する概念です。なぜなら、これらの論理は、ある基本的な方法で第一階述語論理のように動作するからです。ただし、一般にすべての論理を包含するわけではありません。たとえば、直観主義論理、様相論理、ファジー論理は包含しません。

リンドストロームの定理は、コンパクト性定理と下向きレーヴェンハイム・スコーレム定理の両方を満たす一階述語論理の唯一の拡張は一階述語論理であることを意味します。

様相論理には、特定の式が真であるだけでなく必然的に真であると述べる演算子などの追加の様相演算子が含まれます。様相論理は数学を公理化するためにはあまり使用されませんが、第一階証明可能性^{[38]と集合論的強制[39]}の特性を研究するために使用されてきました。

直観主義論理は、ブラウワー自身は形式化を避けたブラウワーの直観主義プログラムを研究するためにヘイティングによって開発された。直観主義論理には、各文が真であるかその否定が真であるかのいずれかであると述べる排中律が明確に含まれていない。直観主義論理の証明理論に関するクリーネの研究は、直観主義的証明から構成的情報を復元できることを示した。たとえば、直観主義算術における証明可能な全関数はすべて計算可能であるが、これはペアノ​​算術などの古典的な算術理論では当てはまらない。

代数論理では、抽象代数の方法を使用して形式論理の意味論を研究します。基本的な例としては、ブール代数を使用して古典的な命題論理の真理値を表すことや、ヘイティング代数を使用して直観主義命題論理の真理値を表すことが挙げられます。一階述語論理や高階論理などのより強力な論理は、円筒代数などのより複雑な代数構造を使用して研究されます。

集合論は、オブジェクトの抽象的な集まりである集合の研究です。序数や基数などの基本概念の多くは、集合論の正式な公理化が開発される前にカントールによって非公式に開発されました。ツェルメロによる最初の公理化^{[23]はわずかに拡張されて}ツェルメロ-フランケル集合論（ZF）となり、現在では数学で最も広く使用されている基礎理論となっています。

集合論の他の形式化として、フォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論(NBG)、モース・ケリー集合論(MK)、ニュー・ファンデーション(NF)などが提案されている。これらのうち、ZF、NBG、MK は集合の累積階層を記述する点で類似している。ニュー・ファンデーションは異なるアプローチを採用しており、集合の存在公理に制限を課す代わりに、すべての集合の集合などのオブジェクトを許可している。クリプキ・プラテック集合論のシステムは、一般化再帰理論と密接に関連している。

集合論における 2 つの有名な命題は、選択公理と連続体仮説である。選択公理は、最初にツェルメロ^{[19]によって述べられ、フランケル[25]}によって ZF とは独立に証明されたが、数学者によって広く受け入れられるようになった。これは、空でない集合の集合が与えられた場合、集合内の各集合から 1 つの要素だけを含む単一の集合Cが存在することを述べている。集合C は、集合内の各集合から 1 つの要素を「選択する」と言われている。集合内の各集合は空でないことから、このような選択を行うことは明らかであると考える人もいるが、選択を行うための一般的で具体的な規則がないため、この公理は非構成的である。ステファン・バナッハとアルフレッド・タルスキは、選択公理を使用して固体球を有限個の断片に分解し、その後、スケーリングなしでそれらを再配置して、元の大きさの固体球を 2 つ作成できることを示した。^{[40]この定理は}バナッハ＝タルスキーのパラドックスとして知られ、選択公理の多くの直感に反する結果のうちの1つです。

連続体仮説は、カントールが最初に予想として提唱したもので、1900年にデイヴィッド・ヒルベルトが23の問題の1つとして挙げた。ゲーデルは、連続体仮説が成立しなければならない集合論の構成可能宇宙を展開することで、連続体仮説はツェルメロ＝フランケル集合論の公理（選択公理の有無にかかわらず）からは反証できないことを示した。1963年、ポール・コーエンは、連続体仮説はツェルメロ＝フランケル集合論の公理からは証明できないことを示した。^[26]ただし、この独立性の結果はヒルベルトの疑問を完全に解決したわけではなく、集合論の新しい公理によって仮説が解決される可能性がある。この方向での最近の研究はW・ヒュー・ウッディンによって行われているが、その重要性はまだ明らかではない。^[41]

集合論における現代の研究には、大基数と決定性の研究が含まれる。大基数は、特定の特性が非常に強い基数であるため、ZFC ではその存在が証明できない。通常研究される最小の大基数であるアクセス不可能基数の存在は、すでに ZFC の一貫性を意味している。大基数は極めて高い基数を持つという事実にもかかわらず、その存在は実数直線の構造に多くの影響を及ぼします。 決定性とは、特定の 2 人ゲーム (ゲームは決定されていると言われる) に対する勝利戦略が存在する可能性があることを指す。これらの戦略の存在は、実数直線およびその他のポーランド空間の構造特性を意味する。

モデル理論は、さまざまな形式理論のモデルを研究します。ここで、理論とは特定の形式論理とシグネチャにおける一連の式であり、モデルとは理論の具体的な解釈を与える構造です。モデル理論は普遍代数や代数幾何学と密接に関連していますが、モデル理論の方法はそれらの分野よりも論理的考察に重点を置いています。

特定の理論のすべてのモデルの集合は基本クラスと呼ばれます。古典的なモデル理論は、特定の基本クラスのモデルの特性を決定したり、特定の構造のクラスが基本クラスを形成するかどうかを決定したりしようとします。

量指定子消去法は、特定の理論における定義可能集合が複雑になりすぎることはないことを示すために使用できる。タルスキは実閉体に対する量指定子消去法を確立したが、この結果は実数体理論が決定可能であることも示している。^{[42]彼はまた、彼の方法が任意の特性を持つ代数閉体にも同様に適用可能であると指摘した。この分野から発展した現代のサブフィールドは、} o-極小構造に関するものである。

マイケル・D・モーリー^[43]によって証明されたモーリーの圏論定理は、可算言語における第一階理論が何らかの非可算な濃度において圏論的である場合、すなわちこの濃度のすべてのモデルが同型である場合、その理論はすべての非可算な濃度において圏論的であるということを述べています。

連続体仮説の自明な帰結は、連続体より少ない数の非同型可算モデルを持つ完全な理論は可算数個しか持たないということである。ロバート・ローソン・ヴォートにちなんで名付けられたヴォートの予想は、連続体仮説とは独立してもこれが真であると述べている。この予想の多くの特殊なケースが確立されている。

再帰理論は計算可能性理論とも呼ばれ、計算可能な関数の特性と、計算不可能な関数を同じレベルの計算不可能性を持つ集合に分割するチューリング次数を研究する。再帰理論には、一般化された計算可能性と定義可能性の研究も含まれる。再帰理論は、1930年代のロザ・ペーテル、アロンゾ・チャーチ、アラン・チューリングの研究から発展し、1940年代にクリーネとポストによって大幅に拡張された。 ^[44]

古典的な再帰理論は、自然数から自然数への関数の計算可能性に焦点を当てています。基本的な結果は、チューリングマシン、λ計算、およびその他のシステムを使用して、多数の独立した同等の特性を持つ計算可能な関数の堅牢で標準的なクラスを確立します。より高度な結果は、チューリング次数の構造と再帰的に列挙可能な集合の束に関するものです。

一般化再帰理論は、再帰理論の考え方を、必ずしも有限ではない計算に拡張します。これには、高次の型での計算可能性の研究や、超算術理論やα 再帰理論などの分野が含まれます。

再帰理論の現代的な研究には、アルゴリズムのランダム性、計算可能モデル理論、逆数学などの応用の研究や、純粋再帰理論の新しい結果が含まれます。

再帰理論の重要なサブフィールドは、アルゴリズム的に解決不可能な問題を研究するものである。決定問題または関数問題は、問題に対するすべての正当な入力に対して正しい答えを返す計算可能なアルゴリズムが存在しない場合に、アルゴリズム的に解決不可能である。解決不可能性に関する最初の結果は、1936 年にチャーチとチューリングによって独立して得られ、決定問題がアルゴリズム的に解決不可能であることを示した。チューリングは、停止問題の解決不可能性を確立することによってこれを証明したが、この結果は再帰理論とコンピュータ サイエンスの両方に広範囲にわたる影響を及ぼした。

通常の数学から、決定不可能な問題の例は数多く知られています。群の単語問題は、 1955 年にPyotr Novikovによってアルゴリズム的に解決不可能であることが証明され、1959 年には W. Boone によって独立に証明されました。1962年にTibor Radóによって開発された忙しいビーバー問題も、よく知られた例の 1 つです。

ヒルベルトの第10問題は、整数係数を持つ多変数多項式方程式が整数解を持つかどうかを決定するアルゴリズムを求めるものであった。ジュリア・ロビンソン、マーティン・デイビス、ヒラリー・パトナムによって部分的な進歩が遂げられた。この問題のアルゴリズム的解決不可能性は、 1970年にユーリ・マティヤセビッチによって証明された。^[45]

証明理論は、さまざまな論理演繹体系における形式的な証明の研究です。これらの証明は形式的な数学的対象として表現され、数学的手法による分析を容易にします。一般的には、ヒルベルト式の演繹体系、自然演繹体系、ゲンツェンが開発したシーケント計算など、いくつかの演繹体系が検討されています。

数理論理学の文脈における構成的数学の研究には、直観主義論理などの非古典的論理のシステムの研究や述語的システムの研究が含まれる。述語主義の初期の提唱者はヘルマン・ワイルであり、彼は述語的方法のみを使用して実解析の大部分を開発することが可能であることを示した。^[46]

証明は完全に有限であるのに対し、構造の真理は有限ではないため、構成的数学の研究では証明可能性を強調するのが一般的です。古典的（または非構成的）システムにおける証明可能性と直観主義的（または構成的）システムにおける証明可能性の関係は特に興味深いものです。ゲーデル-ゲンツェンの否定変換などの結果は、古典論理を直観主義論理に埋め込む（または変換する）ことが可能であり、直観主義的証明に関するいくつかの特性を古典的証明に戻すことができることを示しています。

証明理論における最近の発展としては、ウルリッヒ・コーレンバッハによる証明マイニングの研究やマイケル・ラスジェンによる証明理論的順序数の研究などがあります。

「数理論理学は、数学とその基礎 ( G. フレーゲ、B. ラッセル、D. ヒルベルト、P. バーナイス、H. ショルツ、R. カルナップ、S. レスニエフスキー、T. スコーレム) だけでなく、物理学 ( R. カルナップ、 A. ディトリッヒ、 B. ラッセル、CE シャノン、AN ホワイトヘッド、H. ライヘンバッハ、 P. フェヴリエ )、生物学 ( JH ウッドガー、A. タルスキ)、心理学 ( FB フィッチ、CG ヘンペル)、法と道徳 ( K. メンガー、 U. クルーグ、 P. オッペンハイム )、経済学 ( J. ノイマン、O. モルゲンシュテルン)、実践的な問題 ( EC バークレー、 E. シュタム )、さらには形而上学 ( J. [ヤン] サラムチャ、 H.論理学の歴史への応用は非常に有益であることが証明されている（J.ルカシェヴィッチ、H. ショルツ、B. メイツ、A. ベッカー、E. ムーディ、J. サラムチャ、K. デュア、Z. ジョーダン、P . ボーナー、JM ボヘンスキー、S. [スタニスワフ] T. シャイヤー、D. インガルス）。" ^[47] "神学への応用もなされている（F. ドリューノフスキー、J. サラムチャ、I. トーマス）。" ^[47]

コンピュータサイエンスにおける計算可能性理論の研究は、数理論理学における計算可能性の研究と密接に関連しています。ただし、重点は異なります。 コンピュータ科学者は具体的なプログラミング言語と実行可能な計算可能性に焦点を当てることが多いのに対し、数理論理学の研究者は理論的概念としての計算可能性と非計算可能性に焦点を当てることが多いです。

プログラミング言語の意味論はモデル理論と関連しており、プログラム検証（特にモデル検査）も同様です。証明とプログラムの間のカリー・ハワード対応は証明理論、特に直観論理と関連しています。ラムダ計算や組み合わせ論理などの形式計算は現在、理想的なプログラミング言語として研究されています。

コンピュータサイエンスは、自動定理証明や論理プログラミングなど、証明を自動的にチェックしたり、証明を見つけたりする技術を開発することで、数学にも貢献しています。

記述的複雑性理論は、論理と計算複雑性を関連付けます。この分野における最初の重要な結果であるフェイギンの定理(1974) は、NPがまさに存在二階論理の文で表現可能な言​​語の集合であることを確立しました。

19 世紀、数学者たちは自分たちの分野における論理的欠陥や矛盾に気づきました。何世紀にもわたって公理的方法の例として教えられてきたユークリッドの幾何学の公理は不完全であることが示されました。ワイエルシュトラスのどこでも微分不可能な連続関数などの病的な例が発見されるにつれて、解析学における無限小の使用や関数の定義そのものが疑問視されるようになりました。

カントールの任意の無限集合の研究も批判を浴びた。レオポルド・クロネッカーは「神は整数を作った。それ以外はすべて人間の仕事だ」と有名な​​発言をし、数学における有限で具体的な対象物の研究への回帰を主張した。クロネッカーの議論は 20 世紀に構成主義者によって引き継がれたが、数学界全体では拒否された。デイヴィッド・ヒルベルトは「カントールが創り出した楽園から我々を追い出す者はいない」と述べ、無限の研究を支持した。

数学者たちは、数学の大部分を形式化するために使用できる公理系を探し始めた。関数などの以前は単純だった用語の曖昧さを取り除くことに加えて、この公理化によって一貫性の証明が可能になることが期待された。19世紀には、公理の集合の一貫性を証明する主な方法は、その公理のモデルを提供することだった。したがって、たとえば、非ユークリッド幾何学は、点を固定された球面上の点、線を球面上の大円と定義することで一貫性があることを証明できる。結果として得られる構造、つまり楕円幾何学のモデルは、平行線公準を除く平面幾何学の公理を満たしている。

形式論理の発展に伴い、ヒルベルトは、ある公理系が矛盾を証明できないことを証明するためには、その系における可能な証明の構造を分析し、この分析を通じて矛盾を証明することは不可能であることを示すことが可能かどうかを問いました。この考えは証明論の研究につながりました。さらにヒルベルトは、分析は完全に具体的なものでなければならないと提案し、彼が認める方法を指すために有限という用語を使いましたが、それらを厳密に定義したわけではありませんでした。ヒルベルトのプログラムとして知られるこのプロジェクトは、ゲーデルの不完全性定理によって深刻な影響を受けました。ゲーデルの不完全性定理は、算術の形式理論の矛盾は、それらの理論で形式化可能な方法を使用しては確立できないことを示しています。ゲンツェンは、超限帰納法の公理で補強された有限系で算術の矛盾の証明を生み出すことが可能であることを示しました。そのための彼の手法は、証明論において独創的でした。

数学の基礎の歴史における2番目の流れは、非古典的論理と構成的数学である。構成的数学の研究には、構成的の定義が様々である多くの異なるプログラムが含まれる。最も融通の利くところでは、選択公理を使用しないZF集合論の証明は、多くの数学者によって構成的と呼ばれている。より限定された構成主義のバージョンは、自然数、数論的関数、および自然数の集合（実数を表すために使用でき、数学的解析の研究を容易にする）に限定されている。一般的な考え方は、関数自体が存在すると言うためには、関数の値を計算する具体的な手段がわかっていなければならないというものである。

20世紀初頭、ルイツェン・エグベルトゥス・ヤン・ブラウワーは、数学の哲学の一部として直観主義を確立した。当初はあまり理解されていなかったこの哲学は、数学者が数学的命題を真とするためには、その人がその命題を直観でき、その真理性を信じるだけでなく、それが真理である理由を理解できなければならないとしていた。この真理の定義の結果、排中律は否定された。ブラウワーによれば、真であると主張することができない命題があり、その否定も真であると主張することができないからである。ブラウワーの哲学は影響力があり、著名な数学者の間で激しい論争を引き起こした。クリーネとクライゼルは後に直観論理の形式化されたバージョンを研究した（ブラウワーは形式化を拒否し、形式化されていない自然言語で研究を発表した）。BHK解釈とクリプキモデルの出現により、直観主義は古典数学と調和しやすくなった。

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