固有関数

無限次元空間に作用する線形演算子の広く用いられているクラスは、実数または複素数の引数tの無限回微分可能な実数または複素数の関数の空間C ^∞上の微分演算子である。例えば、微分演算子を考えてみよう。${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$固有値方程式を用いて

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

この微分方程式は、両辺にを掛けることで解くことができる。${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$そして積分する。その解は指数関数である。

$${\displaystyle f(t)=f_{0}e^{\lambda t},}$$

は微分演算子の固有関数であり、f ₀は境界条件に依存するパラメータです。この場合、固有関数自体が対応する固有値 λ の関数であり、λ は任意の実数値または複素数値をとることができます。特に、λ = 0 の場合、固有関数f ( t ) は定数であることに注意してください。

この例では、f ( t ) が境界条件f (0) = 1 および${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$すると、

$${\displaystyle f(t)=e^{2t},}$$

ここで、λ = 2 は、境界条件も満たす微分方程式の唯一の固有値である。

固有関数は列ベクトルとして表現でき、線形演算子は行列として表現できるが、それらは無限次元を持つ場合もある。そのため、行列の固有ベクトルに関する概念の多くは、固有関数の研究にも応用できる。

Dが定義されている関数空間における内積を次のように定義する。

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,}$$

tのある関心範囲Ω で積分します。*は複素共役を表します。

関数空間の正規直交基底が関数の集合 { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )} で与えられると仮定します。ここでn は無限大でも構いません。正規直交基底の場合、

$${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},}$$

ここで、δ _ijはクロネッカーのデルタであり、単位行列の要素と考えることができます。

関数は基底関数の線形結合として記述できます。

$${\displaystyle f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),}$$

例えば、f ( t )のフーリエ展開を通して。係数b _{j は}、 n行 1 列ベクトルb = [ b ₁ b ₂ … b _n ] ^Tに積み重ねることができます。正弦関数のフーリエ級数の係数など、いくつかの特殊なケースでは、この列ベクトルは有限次元になります。

さらに、線形演算子Dの要素を持つ行列表現を定義します。

$${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.}$$

関数Df ( t ) は、基底関数の線形結合として、またはf ( t )の展開に作用するDとして記述できます。

$${\displaystyle Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t)。}$$

この方程式の両辺と任意の基底関数u _i ( t )との内積をとると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}}$$

これは、総和表記で書かれた行列乗算Ab = cであり、正規直交基底で表された関数f ( t ) に作用する演算子Dの行列等価物です。f ( t ) が固有値 λ を持つDの固有関数である場合、Ab = λbとなります。

物理学で遭遇する演算子の多くはエルミート演算子です。線形演算子D が、関数集合 { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}で与えられる正規直交基底を持つヒルベルト空間である関数空間に作用するとします。ここでn は無限大の場合があります。この基底において、演算子D は要素が である行列表現A を持ちます。

$${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).}$$

tの関心のある範囲Ω にわたって積分する。

エルミート行列との類推により、A _ij = A _ji * の場合、 Dはエルミート演算子である。つまり、次のようになる。 ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}}$$

固有値λ ₁、λ ₂、...と対応する固有関数f ₁ ( t ) 、f ₂ ( t ) 、…を持つエルミート演算子Dを考えます。このエルミート演算子は次の性質を持ちます。

• その固有値は実数であり、λ _i = λ _i * ^{[ 4 ] [ 6 ]}
• その固有関数は直交条件を満たし、${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =0}$i ≠ j の場合^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

2 番目の条件は、λ _i ≠ λ _jの場合に常に成り立ちます。同じ固有値λ _iを持つ縮退した固有関数については、例えばグラム・シュミット法を用いることで、 λ _iに関連付けられた固有空間を張る直交固有関数を常に選択できます。^{[ 5 ]}スペクトルが離散的か連続的かによって、固有関数の内積をそれぞれクロネッカーのデルタまたはディラックのデルタ関数に等しく設定することで、固有関数を正規化できます。^{[ 8 ] [ 9 ]}

多くのエルミート演算子、特にシュトゥルム・リウヴィル演算子の場合、3つ目の特性は

• その固有関数は、演算子が定義される関数空間の基底を形成する^{[ 5 ]}

その結果、多くの重要なケースにおいて、エルミート演算子の固有関数は正規直交基底を形成します。このような場合、任意の関数はエルミート演算子の固有関数の線形結合として表現できます。

h ( x , t )を、弦楽器の振動する弦のような、応力のかかった弾性弦の横方向変位を、弦に沿った位置xと時間tの関数として表す。弦の微小部分に力学の法則を適用すると、関数hは次の偏微分方程式を満たす。

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$$

これは（一次元）波動方程式と呼ばれる。ここでcは弦の張力と質量に依存する一定速度である。

この問題は変数分離法で解くことができます。h(x,t)がX(x)T(t)の形の積として表せると仮定すると、次の2つの常微分方程式を立てることができます。

$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.}$$$

これらはそれぞれ固有値を持つ固有値方程式です。

${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$それぞれ − ω 2と− ω ²である。ωとcの任意の値に対して、これらの式は関数によって満たされる。

$${\displaystyle X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),}$$ ここで、位相角φとψは任意の実定数である。

例えば、弦の両端がx = 0とx = Lに固定されている、つまりX (0) = X ( L ) = 0であり、T (0) = 0 であるような境界条件を課すと、固有値が制約されます。これらの境界条件では、sin( φ ) = 0およびsin( ψ ) = 0となり、位相角はφ = ψ = 0および

$$\displaystyle \sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.}$$

この最後の境界条件は、ω がω _n = ⁠ ncπ / L ⁠の値をとるように制約します。ここでnは任意の整数です。したがって、固定された弦は、次の形式の定常波の族を支持します。

$${\displaystyle h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).}$$

弦楽器の例では、周波数ωn_はn番目の倍音の周波数であり、( n -1)番目の倍音と呼ばれます。

量子力学におけるシュレーディンガー方程式

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

ハミルトニアン演算子を用いて

$${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)}$$ ハミルトニアンが時間に明示的に依存しない場合は、変数分離法によって解くことができる。^{[ 10 ]}この場合、波動関数Ψ( r , t ) = φ ( r ) T ( t )は、次の2つの微分方程式につながる。

これら2つの微分方程式はどちらも固有値Eを持つ固有値方程式です。前の例で示したように、式（3）の解は指数関数です。 $${\displaystyle T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

式（2）は時間独立シュレーディンガー方程式である。ハミルトニアン演算子の固有関数φk_は量子力学系の定常状態であり、それぞれに対応するエネルギーEk_を持つ。これらは系の許容エネルギー状態を表し、境界条件によって制約される場合がある。

ハミルトニアン演算子Hは、その固有関数が正規直交基底を形成するエルミート演算子の例です。ハミルトニアンが明示的に時間に依存しない場合、シュレーディンガー方程式の一般解は、定常状態と振動するT ( t )の線形結合になります。^{[ 11 ]}${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$または、連続スペクトルを持つシステムの場合、

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

水素のスペクトル特性を説明する上でシュレーディンガー方程式が成功を収めたことは、20世紀物理学における最大の成果の一つと考えられている。

信号とシステムの研究において、システムの固有関数とは、システムに入力されたときに応答y ( t ) = λf ( t )を生成する信号f ( t )であり、λは複素スカラー固有値である。^{[ 12 ]}