ノビコフ予想

ノビコフ予想は、位相幾何学における最も重要な未解決問題の一つです。この予想は、 1965 年に最初に提唱したセルゲイ・ノビコフにちなんで名付けられました。

ノビコフ予想は、基本群から生じる多様体のポンチャギン類における特定の多項式のホモトピー不変性に関するものです。ノビコフ予想によれば、滑らかな多様体の特定の数値不変量である高次のシグネチャはホモトピー不変量です。

この予想は有限生成アーベル群に対して証明されている。ノビコフ予想がすべての群に対して成り立つかどうかはまだわかっていない。この予想に対する 反例は知られていない。

を離散群とし、その分類空間をとします。これは型のアイレンバーグ・マクレーン空間であり、したがってCW 複体としてのホモトピー同値を除いて一意です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle K(G,1)}$

${\displaystyle f\colon M\rightarrow BG}$

は閉じた向き付けられた次元多様体からへの連続写像であり、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle BG}$

${\displaystyle x\in H^{n-4i}(BG;\mathbb {Q} ).}$

ノビコフは、トップ次元のコホモロジー類を基本類 に対して評価することによって求められ、高次シグネチャとして知られる数値表現を検討した。 ${\displaystyle [M]}$

${\displaystyle \left\langle f^{*}(x)\cup L_{i}(M),[M]\right\rangle \in \mathbb {Q} }$

ここで、はヒルツェブルッフ多項式、または時には（あまり説明的ではありませんが）-多項式です。 各 に対して、この多項式は多様体の接束のポンチャギン類で表現できます。ノビコフ予想は、すべてのそのような写像とすべてのそのような類に対して、より高いシグネチャが の向き付けられたホモトピー型の不変量であると述べています。言い換えると、が向きを保つホモトピー同値である場合、 に関連付けられたより高いシグネチャはに関連付けられたものに等しくなります。 ${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle i}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h\colon M'\rightarrow M}$${\displaystyle f\circ h}$${\displaystyle f}$

ノビコフ予想は、 L理論におけるアセンブリマップの有理単射性と同等です。 非球面多様体の剛性に関するボレル予想は、アセンブリマップが同型であることと同等です。

• デイビス、ジェームズ F. (2000)、「ノビコフ予想の多様な側面」(PDF)、カペル、シルヴァン、ラニツキ、アンドリュー、ローゼンバーグ、ジョナサン(編)、『外科理論に関する調査』第 1 巻、数学研究年報、プリンストン大学出版、pp. 195–224、ISBN 978-0-691-04937-3、MR  1747536
• John MilnorとJames D. Stasheff、「特性クラス」、 Annals of Mathematics Studies 76、プリンストン (1974)。
• Sergei P. Novikov、「ハミルトン形式の観点から見た、反転を伴う環上のk理論のエルミート類似体の代数的構成と特性。微分位相幾何学と特性類の理論へのいくつかの応用」。Izv.Akad.Nauk SSSR、v. 34、1970 I N2、pp. 253–288; II: N3、pp. 475–500。英語の要約は、Actes Congr. Intern. Math.、v. 2、1970、pp. 39–45 にあります。

• セルゲイ・ノビコフの伝記
• ノビコフ予想の参考文献
• ノビコフ予想 1993 オーバーヴォルフアッハ会議議事録、第 1 巻
• ノビコフ予想 1993 オーバーヴォルフアッハ会議議事録、第 2 巻
• 2004 年オーバーヴォルフアッハ セミナーのノビコフ予想に関するノート (pdf)
• Scholarpedia の記事 (SP Novikov、2010 年)
• 多様体アトラスにおけるノビコフ予想