嘘グループ

• の$2×2$実数の可逆行列は乗法に関して群を形成し、これを2次の一般線形群と呼び、で表す。${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$またはによって${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )}$⁠ :$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$$これは4次元非コンパクト実リー群であり、 の開部分集合である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$このグループは連結していません。それぞれ正の行列式と負の行列式を持つ行列を含む2つの連結成分があります。
• 回転行列はのサブグループを形成する${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$⁠、 で示される⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$⁠ 。これはそれ自体がリー群です。具体的には、円と微分同相な1次元コンパクト連結リー群です。回転角を使用して${\displaystyle \varphi }$このグループは、パラメータとして以下のようにパラメータ化できます。$${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbb {R} \ /\ 2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$$角度の加算は、要素の乗算に相当します。${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$⁠、反対の角度を取ることは反転に対応します。したがって、乗算と反転はどちらも微分可能な写像です。
• 1次元のアフィン群は、2次元行列リー群であり、${\displaystyle 2\times 2}$実数の上三角行列で、最初の対角成分は正、2番目の対角成分は${\displaystyle 1}$したがって、この群は次の形式の行列から構成される。$${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$$

ここで、ある位相の下でリー群ではない、要素数が非可算な群の例を示します。

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

と${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$固定された無理数、はトーラスの部分群である${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$部分空間位相が与えられた場合、それはリー群ではない。^{[ 9 ]}任意の小さな近傍を取ると${\displaystyle U}$ある点の${\displaystyle h}$で⁠${\displaystyle H}$例えば、${\displaystyle H}$で${\displaystyle U}$切断されました。${\displaystyle H}$トーラスの周りを繰り返し巻き、螺旋の以前の点には決して到達せず、したがって密な部分群を形成する。${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$⁠ .

グループ${\displaystyle H}$しかし、異なるトポロジーを与えることができ、2点間の距離は${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$グループ内の最短経路の長さとして定義される${\displaystyle H}$接合${\displaystyle h_{1}}$へ​${\displaystyle h_{2}}$このトポロジーでは、${\displaystyle H}$各要素を数と同一視することにより、実数直線と同相的に同一視される。${\displaystyle \theta }$の定義において${\displaystyle H}$このトポロジーでは、${\displaystyle H}$これは実数の加法に関する群であり、したがってリー群である。

グループ${\displaystyle H}$これは、閉じていないリー群の「リー部分群」の一例です。基本概念のセクションにあるリー部分群の説明を参照してください。

させて${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$のグループを表す${\displaystyle n\times n}$要素が にある可逆行列${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ .の任意の閉部分群${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$はリー群です。^{[ 10 ]}このようなリー群は行列リー群と呼ばれます。興味深いリー群の例のほとんどは行列リー群として実現できるため、Hall ^{[ 11 ]}、Rossmann ^{[ 12 ]}、Stillwell ^{[ 13 ]}などの教科書では、このクラスに限定して扱っています。 行列リー群に限定することで、リー代数と指数写像の定義が簡略化されます。以下は、行列リー群の標準的な例です。

• 上の特別な線形群${\displaystyle \mathbb {R} }$そして​${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠、${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$そして​${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$⁠、構成する${\displaystyle n\times n}$行列式を持つ行列${\displaystyle 1}$およびエントリー${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 単一群と特殊単一群、${\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbb {C} )}$そして​${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$⁠、構成する${\displaystyle n\times n}$複素行列が${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$（そしてまた）${\displaystyle \det(U)=1}$の場合${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$）、 どこ${\displaystyle U^{*}}$は の共役転置です${\displaystyle U}$
• 直交群と特殊直交群、${\displaystyle \operatorname {O} (n,\mathbb {R} )}$そして​${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$⁠、構成する${\displaystyle n\times n}$実数行列が${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$（そしてまた）${\displaystyle \det(R)=1}$の場合${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$）、 どこ${\displaystyle R^{\mathrm {T} }}$は の転置です${\displaystyle R}$

前述の例はすべて、古典群という範疇に分類されます。

複素リー群は、実多様体ではなく複素多様体を使用して同様の方法で定義されます（例：${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$）、および正則写像。同様に、の別のメトリック補完を使用すると、${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ 、 p進数上のp進リー群を定義することができ、これは解析的なp進多様体でもある位相群であり、群演算は解析的です。特に、各点はp進近傍を持ちます。

ヒルベルトの第 5 問題は、微分可能多様体を位相的多様体または解析的多様体に置き換えることで新しい例が得られるかどうかを問うものでした。この問いに対する答えは否定的であることが判明しました。1952 年に、グリーソン、モンゴメリー、ジッピンは、 Gが連続群演算を持つ位相的多様体である場合、 G上にちょうど 1 つの解析的構造が存在し、それが G をリー群に変えることを示しました (ヒルベルト-スミス予想も参照)。基礎となる多様体が無限次元 (例えば、ヒルベルト多様体) であってもよい場合、無限次元リー群の概念に至ります。有限体上の多くのリー群の類似物を定義することが可能であり、これらが有限単純群のほとんどの例を与えます。

圏論の言語は、リー群の簡潔な定義を提供します。リー群とは、滑らかな多様体の圏における群対象です。これは、リー群の概念をリー超群に一般化できるため重要です。この圏論的な観点は、リー群の別の一般化、すなわちリー群様体にもつながります。リー群様体は、さらなる要件を満たす滑らかな多様体の圏における群様体です。

リー群は、微分多様体や位相多様体を参照することなく、単位元の近くで変換群のように見える（ハウスドルフ）位相群として定義できる。 ^{[ 14 ]}正確には、リー群は、(1) 単位元の近くで、閉部分群である行列リー群と局所的に同型である位相群として定義される。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$（２）連結成分が可算個以下である。^{[ a ]}位相的定義が通常の定義と同等であることを示すのは技術的であり（初心者は以下を飛ばすべきである）、おおよそ次のように行われる。

1. 通常の多様体の意味でのリー群Gが与えられたとき、リー群とリー代数の対応関係（またはリーの第 3 定理のバージョン）によって閉じたリー部分群が構成される。${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$そのため${\displaystyle G,G'}$同じリー代数を共有します。^{[ b ]}したがって、それらは局所的に同型です。したがって、${\displaystyle G}$上記の位相幾何学的定義を満たす。
2. 逆に、${\displaystyle G}$上記の位相的な意味でのリー群である位相群を選び、行列リー群を選択する。${\displaystyle G'}$それは局所的に同型である⁠${\displaystyle G}$それぞれの恒等式の周り。そして、閉部分群定理の変形により、${\displaystyle G'}$は実解析多様体であり、局所同型写像によって、G は単位元近傍の多様体の構造を獲得する。次に、G上の群法則は形式的冪級数で与えられることが示される。^{[ c ]}したがって、群演算は実解析的であり、${\displaystyle G}$それ自体は実解析多様体である。

位相的な定義は、2つのリー群が位相群として同型であれば、リー群としても同型であるということを意味する。実際、それは、リー群の位相と群法則が、その群の幾何学を大部分決定するという一般原則を述べている。

次元が１の連結リー群は実数直線のみである。${\displaystyle \mathbb {R} }$（グループ演算は加算）そして円グループ${\displaystyle S^{1}}$絶対値が 1 の複素数 (群演算は乗算)。${\displaystyle S^{1}}$グループはしばしば次のように表記される${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$⁠、グループ${\displaystyle 1\times 1}$ユニタリ行列。

2次元の場合、単連結群に限定すると、それらはリー代数によって分類されます。2次元のリー代数は（同型を除いて）2つしかありません。それに対応する単連結リー群は次のとおりです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（群演算はベクトル加算）および、前の小節の「最初の例」で説明した1次元のアフィン群。

• 群SU(2)は、${\displaystyle 2\times 2}$行列式を持つユニタリ行列${\displaystyle 1}$位相的に、${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$は⁠${\displaystyle 3}$⁠ -球体⁠${\displaystyle S^{3}}$⁠ ; グループとしては、単位四元数のグループと同一視できる。
• ハイゼンベルク群は次元の連結冪零リー群である。${\displaystyle 3}$量子力学において重要な役割を果たしている。
• ローレンツ群は、ミンコフスキー空間の線形等長変換からなる6次元リー群である。
• ポアンカレ群は、ミンコフスキー空間のアフィン等長変換からなる10次元リー群である。
• G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、E ₈型の例外リー群は、それぞれ次元が 14、52、78、133、248 である。単純リー群の A–B–C–D 系列とともに、これらの例外群は単純リー群のリストを完成させる。
• シンプレクティック群${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$すべてで構成されています${\displaystyle 2n\times 2n}$シンプレクティック形式を保持する行列${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$オン⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$⁠。これは次元の連結リー群です。${\displaystyle 2n^{2}+n}$⁠ .

既存のリー群から新しいリー群を形成するには、いくつかの標準的な方法があります。

• 2つのリー群の積はリー群である。
• リー群の位相的に閉じた部分群は、リー群である。これは閉部分群定理、またはカルタンの定理として知られている。
• リー群を閉じた正規部分群で割った商群はリー群である。
• 連結リー群の普遍被覆はリー群である。例えば、群${\displaystyle \mathbb {R} }$は、サークルグループの普遍的なカバーです。${\displaystyle S^{1}}$実際、微分可能多様体の任意の被覆もまた微分可能多様体ですが、普遍被覆を指定することで、群構造（他の構造と互換性がある）が保証されます。

リー群ではない群の例をいくつか挙げます（可算個の要素を持つ群は、リー群とみなすことができるという自明な意味を除いて）。${\displaystyle 0}$離散トポロジーを持つ次元リー群は、次のとおりです。

• 無限次元群、例えば無限次元実ベクトル空間の加法群や多様体上の滑らかな関数の空間など。${\displaystyle X}$嘘のグループへ${\displaystyle G}$、${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$これらは有限次元多様体ではないため、リー群ではありません。
• 完全に不連結なグループ、例えば無限拡大体のガロア群や加法群など${\displaystyle p}$-進数。これらは、その基礎となる空間が実多様体ではないため、リー群ではありません。（これらの群の中には「${\displaystyle p}$（-進リー群）」一般に、同様の局所的性質を持つ位相群のみが${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ある正の整数に対して${\displaystyle n}$リー群である場合もある（もちろん、微分可能な構造も持たなければならない）。

任意のリー群には、その基礎となるベクトル空間が単位元におけるリー群の接空間であり、群の局所構造を完全に捉えるリー代数を対応させることができます。非公式には、リー代数の要素は単位元に「限りなく近い」群の要素と考えることができ、リー代数のリー括弧は、そのような2つの限りなく近い要素の交換子と関連しています。抽象的な定義を与える前に、いくつかの例を挙げます。

• ベクトル空間R ⁿのリー代数は、リー括弧が[ A , B ] = 0であるR ⁿに他なりません。（一般に、連結リー群のリー括弧は、リー群がアーベル群である場合に限り常に 0 になります。）    
• 可逆行列の一般線形群GL( n , C ) のリー代数は、[ A , B ] = AB − BAで与えられるリー括弧を持つ正方行列のベクトル空間 M( n , C ) です。      
• Gが GL( n , C )の閉部分群である場合、 Gのリー代数は、 1 + ε mがGに含まれるようなM( n , C ) の行列mとして非公式に考えることができます。ここで、ε は ε ² = 0を満たす無限小の正の数です(もちろん、このような実数 ε は存在しません)。たとえば、直交群 O( n , R ) はAA ^T = 1 を満たす行列Aから構成されるため、リー代数は(1 + ε m )(1 + ε m ) ^T = 1 を満たす行列mから構成されます。これはε ² = 0 であるため、m + m ^T = 0 と同等です。                  
• 前述の説明は、以下のようにより厳密にすることができる。GL ( n , C )の閉部分群Gのリー代数は、次のように計算できる。

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[ 16 ] [ 11 ]}ここで exp(tX行列指数関数を用いて定義されるGは、括弧演算に関して閉じた実ベクトル空間であることが示される。${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$⁠ . ^{[ 17 ]}

行列群について上述した具体的な定義は扱いやすいが、いくつかの小さな問題がある。まず、それを使用するには、リー群を行列の群として表現する必要があるが、すべてのリー群がこのように表現できるわけではなく、リー代数が使用する表現に依存しないことも明らかではない。^{[ 18 ]}これらの問題を回避するために、リー群のリー代数の一般的な定義を（4つのステップで）示す。

1. 任意の滑らかな多様体M上のベクトル場は、その多様体上の滑らかな関数の環の微分Xと考えることができ、したがって、任意の 2 つの微分のリー ブラケットが微分であるため、リー ブラケット[ X , Y ] = XY − YXの下でリー代数を形成します。     
2. Gが多様体Mに滑らかに作用する任意の群である場合、それはベクトル場に作用し、群によって固定されたベクトル場のベクトル空間はリー括弧の下で閉じられ、したがってリー代数も形成します。
3. この構成を、多様体Mがリー群Gの基礎空間であり、G が左平行移動L _g ( h ) = ghによってG = Mに作用する場合に適用します。これにより、リー群上の左不変ベクトル場 ( Gのすべてのhに対してL _{g *} X _h = X _ghを満たすベクトル場、ここでL _{g *は}L _gの微分を表す) の空間は、ベクトル場のリー括弧の下でリー代数であることが示されます。      
4. リー群の単位元における任意の接ベクトルは、多様体の他の点に接ベクトルを左平行移動することで、左不変ベクトル場に拡張できます。具体的には、単位元における接空間の要素vの左不変拡張は、 v ^ _g  = L _{g *} vで定義されるベクトル場です。これにより、単位元における接空間T _e G は左不変ベクトル場の空間と同一視され、したがって単位元における接空間はリー代数、すなわちGのリー代数となり、通常はフラクトゥールで表されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$したがって、Lieブラケットは${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は [ v , w ] = [ v ^, w ^] _eによって明示的に与えられます。    

このリー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は有限次元であり、多様体 G と同じ次元を持つ。Gのリー代数は、「局所同型性」を除いてG を決定する。ここで、2 つのリー群は、単位元付近で同じように見える場合に局所同型であると呼ばれる。リー群に関する問題は、多くの場合、まず対応するリー代数の問題を解くことによって解決され、その後、群の結果が容易に得られる。例えば、単純リー群は通常、対応するリー代数を最初に分類することによって分類される。

左不変ベクトル場の代わりに右不変ベクトル場を用いてT _e上のリー代数構造を定義することもできます。これは、 G上の逆写像を用いて左不変ベクトル場を右不変ベクトル場と同一視することができ、接空間T _e上で− 1 として作用するため、同じリー代数になります。

T _e上のリー代数構造は次のように記述することもできます。交換子演算

( x , y ) → xyx ^{− 1} y ^{− 1}

G × G上の( e , e )はeに写像されるため、その導関数はT _e G上の双線形演算となります。この双線形演算は実際にはゼロ写像ですが、接空間を適切に識別すると、2 階導関数はリー括弧の公理を満たす演算となり、左不変ベクトル場によって定義される演算の 2 倍になります。 

GとHがリー群である場合、リー群準同型f  : G → H は滑らかな群準同型です。複素リー群の場合、このような準同型は正則写像である必要があります。ただし、これらの要件は少し厳格です。実リー群間のすべての連続準同型は (実)解析的であることがわかります。^{[ 19 ] [ d ]}

2 つのリー準同型の合成は再び準同型となり、すべてのリー群のクラスは、これらの準同型とともに圏を形成します。さらに、すべてのリー群準同型は、対応するリー代数間の準同型を誘導します。${\displaystyle \phi :G\to H}$をリー群準同型とし、${\displaystyle \phi _{*}}$を単位元における導関数とする。GとHのリー代数を単位元における接空間と同一視すると、${\displaystyle \phi _{*}}$これは対応するリー代数間の写像です。

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

これはリー代数準同型写像（つまり、リー括弧を保存する線形写像）であることがわかります。圏論の言葉で言えば、リー群の圏からリー代数の圏への共変関手が存在し、リー群をそのリー代数に、リー群準同型写像をその恒等写像における導関数に写します。

2つのリー群は、それらの間に全単射準同型が存在し、その逆もまたリー群準同型である場合に同型であると呼ばれる。言い換えれば、それは微分同相写像であり、かつ群準同型でもある。上記から、リー群からの連続準同型が${\displaystyle G}$嘘のグループへ${\displaystyle H}$がリー群の同型写像であるのは、それが全単射である場合に限る。

同型リー群は必然的に同型リー代数を持つ。したがって、リー群の同型類がリー代数の同型類とどのように関係するのかを問うのは妥当である。

この方向での最初の成果は、すべての有限次元実リー代数は何らかの（線形）リー群のリー代数であると述べるリーの第3定理です。リーの第3定理を証明する1つの方法は、すべての有限次元実リー代数は行列リー代数と同型であると述べるアドの定理を使用することです。一方、すべての有限次元行列リー代数に対して、この代数をリー代数とする線形群（行列リー群）が存在します。^{[ 20 ]}

一方、同型なリー代数を持つリー群は必ずしも同型であるとは限りません。さらに、この結果は、群が連結であると仮定した場合でも真です。言い換えれば、リー群の全体構造はそのリー代数によって決定されません。たとえば、Z がGの中心の任意の離散部分群である場合、GとG / Z は同じリー代数を持ちます (例については、リー群の表を参照してください)。物理学で重要な例として、群SU(2)とSO(3)があります。これら 2 つの群は同型なリー代数を持ちますが^{[ 21 ]}、群自体は同型ではありません。SU(2) は単連結ですが、SO(3) は単連結ではないためです^{[ 22 ]。}

一方、リー群が単連結であることを要求すれば、そのリー代数によって全体構造が決定されます。同型なリー代数を持つ2つの単連結リー群は同型です。^{[ 23 ]}（単連結リー群の詳細については、次の小節を参照してください。）リーの第3定理に照らして、有限次元実リー代数の同型類と単連結リー群の同型類の間には1対1の対応があると言えます。

嘘つきグループ${\displaystyle G}$ループがすべて単連結である場合、単連結であると言われます。${\displaystyle G}$連続的に縮小してある点まで${\displaystyle G}$この概念は、単純な連結性を仮説とする以下の結果から重要である。

定理：^{[ 24 ]}仮定する${\displaystyle G}$そして${\displaystyle H}$リー代数を持つリー群${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$そしてそれは${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$はリー代数準同型です。${\displaystyle G}$が単連結である場合、一意のリー群準同型が存在する。${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$そのため、${\displaystyle \phi _{*}=f}$⁠、そこで${\displaystyle \phi _{*}}$は${\displaystyle \phi }$アイデンティティにおいて。

リーの第3定理は、すべての有限次元実リー代数はリー群のリー代数であると述べている。リーの第3定理と前述の結果から、すべての有限次元実リー代数は、一意の単連結リー群のリー代数であることが導かれる。

単連結群の例としては、多様体として3次元球面である特殊ユニタリ群SU(2)が挙げられる。一方、回転群SO(3)は単連結ではない。（ SO(3)のトポロジーを参照。）SO(3)が単連結でないことは、量子力学における整数スピンと半整数スピンの区別と密接に関係している。単連結リー群の他の例としては、特殊ユニタリ群SU(n)、スピン群（回転群の二重被覆）Spin( n )などがある。${\displaystyle n\geq 3}$⁠、そしてコンパクトシンプレクティック群Sp(n)。 ^{[ 25 ]}

リー群が単連結であるかどうかを判定する方法については、リー群の基本群に関する記事で説明されています。

リー代数からの指数写像${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$一般線形群の${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$に${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$は、通常のべき級数で与えられる行列指数によって定義されます。

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

行列の場合${\displaystyle X}$⁠ . もし${\displaystyle G}$はの閉部分群である${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$⁠、すると指数写像はリー代数を取る${\displaystyle G}$へ​${\displaystyle G}$⁠ ;したがって、すべての行列群に対して指数マップが得られます。${\displaystyle G}$単位行列に十分近いものは、リー代数における行列の指数関数である。^{[ 26 ]}

上記の定義は使いやすいものの、行列群ではないリー群には定義されておらず、リー群の指数写像が行列群としての表現に依存しないことも明確ではありません。そこで、すべてのリー群に適用できる、より抽象的な指数写像の定義を用いることで、これらの問題を解決できます。以下にその定義を示します。

各ベクトルについて${\displaystyle X}$リー代数において${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$の${\displaystyle G}$（つまり、接空間${\displaystyle G}$（恒等式において）一意な1パラメータ部分群が存在することを証明する${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$そのため、${\displaystyle c'(0)=X}$⁠。そう言うと${\displaystyle c}$1パラメータ部分群とは、単純に${\displaystyle c}$は滑らかなマップです${\displaystyle G}$そしてそれは

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

すべての人々のために${\displaystyle s}$そして​${\displaystyle t}$右辺の演算は、群の乗算です。${\displaystyle G}$この式が指数関数に有効な式と形式的に類似していることから、この定義が正当化される。

${\displaystyle \exp(X)=c(1).}$

これは指数写像と呼ばれ、リー代数を写像する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$嘘グループへ${\displaystyle G}$⁠。これは、0の近傍と の間の微分同相写像を提供します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そして近隣の${\displaystyle e}$で⁠${\displaystyle G}$⁠。この指数マップは、実数に対する指数関数の一般化です（なぜなら${\displaystyle \mathbb {R} }$は、乗法を持つ正の実数のリー群のリー代数であり、複素数の場合は (なぜなら${\displaystyle \mathbb {C} }$は、乗算を持つ非ゼロ複素数のリー群のリー代数であり、行列の場合は(なぜなら${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$正則交換子を持つリー群のリー代数は${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$（すべての可逆行列のうちの）

指数写像は、ある近傍において全射であるため${\displaystyle N}$の⁠${\displaystyle e}$⁠、リー代数の要素を群の無限小生成子と呼ぶのが一般的です。${\displaystyle G}$⁠。 のサブグループ${\displaystyle G}$によって生成されました${\displaystyle N}$はの恒等成分です${\displaystyle G}$⁠ .

指数写像とリー代数は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式により、すべての連結リー群の局所群構造を決定します。近傍が存在します。${\displaystyle U}$のゼロ要素の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$⁠、したがって${\displaystyle X,Y\in U}$我々は持っています

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

省略された項が既知であり、4つ以上の要素のリー括弧を含む場合。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$通勤の場合、この式はよく知られた指数法則に帰着する。${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$⁠ .

指数写像はリー群準同型を関連付けます。つまり、${\displaystyle \phi :G\to H}$はリー群準同型であり、${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$対応するリー代数上の誘導写像は、すべての${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$我々は持っています

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).}$

言い換えれば、次の図は可換である、^{[ 27 ]}

（要するに、expはリー群の圏におけるリー関手から恒等関手への自然な変換である。）

リー代数からリー群への指数写像は、群が連結であっても必ずしも全射ではありません（ただし、連結群がコンパクトまたは冪零である場合は、リー群に写像されます）。たとえば、 SL(2, R )の指数写像は全射ではありません。また、指数写像は、 C ^∞フレシェ空間をモデルとした無限次元（下記参照）リー群に対しても、任意の小さな 0 近傍から対応する 1 近傍への写像であっても、全射でも単射でもありません。

嘘のサブグループ${\displaystyle H}$嘘のグループの${\displaystyle G}$は、の部分集合であるリー群です。${\displaystyle G}$そして、包含マップから${\displaystyle H}$に${\displaystyle G}$は単射埋め込みであり、群準同型である。カルタンの定理によれば、の閉部分群は${\displaystyle G}$独自の滑らかな構造を持ち、埋め込みリー部分群となる。${\displaystyle G}$すなわち、包含写像が滑らかな埋め込みとなるようなリー部分群。

閉じていない部分群の例は数多くあります。例えば、${\displaystyle G}$次元が2以上のトーラスであり、${\displaystyle H}$は、無理傾斜の1 パラメータ部分群、つまりG内で巻き付く部分群である。すると、リー群準同型が存在する。${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \to G} と⁠${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$閉鎖​​​${\displaystyle H}$サブトーラスになります${\displaystyle G}$⁠ .

指数写像は、連結リー群の連結リー部分群間に一対一の対応関係を与える。${\displaystyle G}$そして、のリー代数の部分代数${\displaystyle G}$⁠ . ^{[ 28 ]} 通常、部分代数に対応する部分群は閉じた部分群ではありません。構造のみに基づく基準はありません。${\displaystyle G}$これは、どの部分代数が閉部分群に対応するかを決定する。