クラス番号の問題

数学において、ガウス類数問題（虚数二次体の場合）は、通常理解されているように、各n  ≥ 1に対して、類数nを持つ虚数二次体 （負の整数dの場合）の完全なリストを提供することです。これは、カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられました。判別式の観点から述べることもできます。実二次体および としての振る舞いに関する関連する質問があります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d\to -\infty }$

難しいのは、境界の有効な計算です。特定の判別式の場合、クラス番号を計算するのは簡単ですが、クラス番号には無効な下限値がいくつかあります (つまり、計算されない定数が含まれる)。しかし、有効な境界値 (およびリストの完全性の明示的な証明) はより困難です。

この問題は、 1801年に出版されたガウスの『算術論』（第5章、第303条および第304条）に提示されている。^[1]

ガウスは、第 303 条で虚数二次体について論じ、最初の 2 つの予想を述べ、第 304 条で実数二次体について論じ、3 番目の予想を述べています。

ガウス予想（類数は無限大に近づく）

${\displaystyle h(d)\to \infty {\text{ }}d\to -\infty .}$

ガウス類数問題（低類数リスト）

与えられた低いクラス番号 (1、2、3 など) に対して、ガウスは与えられたクラス番号を持つ虚数二次体のリストを与え、それらが完全であると信じています。

クラス数1の実二次体無限個

ガウスは、クラス数が 1 である実二次体は無限に存在すると予想します。

虚数二次体に対する元々のガウス類数問題は、現代の主張とは大きく異なり、より簡単です。彼は判別式を偶数に制限し、非基本判別式を許可しました。

ガウス予想

解決済み、ハイルブロン、1934年。

低クラス番号リスト

クラス番号 1: 解決済み、Baker (1966)、Stark (1967)、Heegner (1952)。

クラス番号2: 解決済み、ベイカー（1971）、スターク（1971）^[2]

クラス番号3：解決済み、Oesterlé（1985）^[2]

クラス数h 100まで:解決済み、Watkins 2004 ^[3]

クラス数1の実二次体無限個

開ける。

虚数二次数体の場合、クラス数 1 の (基本的な)判別式は次のようになります。

${\displaystyle d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.}$

クラス番号 1 の非基本判別式は次のとおりです。

${\displaystyle d=-12、-16、-27、-28。}$

したがって、クラス番号 1、基本クラスと非基本クラス (ガウスの元の質問) の判別式は次のようになります。

${\displaystyle d=-4,-8,-12,-16,-28.}$

1934 年、ハンス ハイルブロンはガウス予想を証明しました。同様に、任意のクラス数に対して、そのクラス数を持つ虚数二次数体は有限個しかありません。

1934年、ハイルブロンとエドワード・リンフットは、クラス数1の虚二次数体は最大で10個（既知の9個と、あと1個）あることを示した。この結果は有効ではなかった（数論における有効な結果を参照）。残りの体のサイズに上限を与えなかった。

その後の展開で、 n = 1 の場合がKurt Heegnerによって初めて議論され、モジュラー形式とモジュラー方程式を使用して、そのような体はこれ以上存在できないことが示されました。この研究は当初は受け入れられませんでしたが、Harold StarkとBryan Birchの後の研究( Stark–Heegner の定理やHeegner 数など) によって初めて立場が明確になり、Heegner の研究が理解されました。ほぼ同時に、Alan Baker は、現在では代数的数の対数の線型形式に関するBaker の定理として知られているものを証明し、問題を完全に異なる方法で解決しました。n = 2 の場合については、少なくとも原理的には、Baker の研究の応用として、その後すぐに取り組まれました。^[4]

クラス番号1の虚数二次体の完全なリストは、dが次のいずれ かである。${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle -1、-2、-3、-7、-11、-19、-43、-67、-163。}$

一般の場合は、 1976年にドリアン・ゴールドフェルドが、類数問題が楕円曲線のL関数に関係しているという発見を待った。^{[5]これにより、有効決定の問題は、そのような}L関数の多重零点の存在を確立することの問題に実質的に縮小された。 ^{[5] 1986年の}グロス・ザギエ定理の証明により、与えられた類数を持つ虚二次体の完全なリストを有限計算で指定できるようになった。n = 100までのすべてのケースは、2004年にワトキンスによって計算された。^[3] d = 1、2、3、... に対するの類数は${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$

${\displaystyle 1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,2,4,2,1,4,1,1,2,4,2,3,2 ,1,6,1,1,6,4,3,1,...}$（OEISの配列A202084）。

対照的に、実二次体の場合は大きく異なり、分かっていることもはるかに少ない。これは、類数の解析式に入るのは、類数h自体ではなく、h  log  εであるためである。ここで、εは基本単位である。この追加要素を制御することは困難である。実二次体の場合、類数 1 が無限に頻繁に発生する可能性は十分にある。

コーエン・レンストラのヒューリスティック^[6]は、二次体の類群の構造に関するより正確な予想の集合である。実数体の場合、素数の平方根を付加して得られる体の約75.45%が類数1を持つことが予測され、これは計算結果と一致する。^[7]

• クラス番号 1 の数値フィールドのリスト

• ゴールドフェルド、ドリアン（1985 年 7 月）、「虚数二次体に対するガウスの類数問題」（PDF）、アメリカ数学会報、13 (1): 23–37、doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15352-2
• Heegner、Kurt (1952)、「Diophhantische Analysis und Modulfunktionen」、Mathematische Zeitschrift、56 (3): 227–253、doi :10.1007/BF01174749、MR  0053135、S2CID  120109035
• コーエン、アンリ（1993）、計算代数的数論講座、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 978-3-540-55640-4
• ベイカー、アラン（1990）、超越数論、ケンブリッジ数学図書館（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-39791-9、MR  0422171

• Weisstein, Eric W.「ガウスの類数問題」。MathWorld。