双曲幾何学

数学において、双曲幾何学（ロバチェフスキー幾何学またはボヤイ-ロバチェフスキー幾何学とも呼ばれる）は非ユークリッド幾何学である。ユークリッド幾何学の平行線公理は次のように置き換えられる。

任意の直線RとR上にない点Pについて、直線Rと点P の両方を含む平面には、Pを通りRと交差しない異なる直線が少なくとも 2 つ存在します。

(上記を、ユークリッドの平行線公理の現代版であるプレイフェアの公理と比較してください。)

双曲平面は、すべての点が鞍点である平面です。双曲平面幾何学は、擬球面、つまり一定の負のガウス曲率を持つ表面の幾何学でもあります。鞍面は、少なくとも一部の領域で負のガウス曲率を持ち、局所的には双曲平面に類似しています。

双曲幾何学の双曲面モデルは、特殊相対性理論の基礎であるミンコフスキー空間における 1 時間単位先の出来事の表現を提供します。これらの各出来事は、ある方向の 急速性に対応します。

幾何学者たちが、自分たちが標準的なユークリッド幾何学以外のものを扱っていることに初めて気づいたとき、彼らはその幾何学をさまざまな名前で表現した。最終的にフェリックス・クラインが、楕円幾何学(球面幾何学)、放物面幾何学 (ユークリッド幾何学)、双曲幾何学という、今ではほとんど使われていない順序にこの主題を含めるために、双曲幾何学という名前をこの主題に与えた。旧ソ連では、この幾何学は発見者の一人であるロシアの幾何学者ニコライ・ロバチェフスキーにちなんで、一般にロバチェフスキー幾何学と呼ばれている。

双曲幾何学は、見た目以上にユークリッド幾何学と密接に関係しています。唯一の公理的な違いは平行線公準です。ユークリッド幾何学から平行線公準を取り除くと、結果として得られる幾何学は絶対幾何学になります。絶対幾何学には、ユークリッド幾何学と双曲幾何学の 2 種類があります。ユークリッドの『原論』第 1 巻の最初の 28 の命題を含む絶対幾何学のすべての定理は、ユークリッド幾何学と双曲幾何学で有効です。『ユークリッドの原論』第 1 巻の命題 27 と 28 は、平行線または交差しない線の存在を証明しています。

この違いは多くの結果をもたらします。ユークリッド幾何学で同等の概念は双曲幾何学では同等ではなく、新しい概念を導入する必要があります。さらに、平行角のため、双曲幾何学には絶対スケール、つまり距離と角度の測定値の関係があります。

双曲幾何学における単一の線は、ユークリッド幾何学における単一の直線とまったく同じ特性を持ちます。たとえば、2 つの点によって 1 本の線が一意に定義され、線分は無限に延長できます。

交差する 2 本の線は、ユークリッド幾何学における交差する 2 本の線と同じ特性を持ちます。たとえば、2 本の異なる線は 1 点でしか交差できず、交差する線は等しい反対角を形成し、交差する線間の隣接する角は補角となります。

3 番目の線が導入されると、交差する線の特性がユークリッド幾何学の交差する線と異なることがあります。たとえば、交差する 2 つの線がある場合、そのいずれの線とも交差しない線が無数に存在します。

これらのプロパティは、線が根本的に異なって見える場合でも、使用されるモデルからすべて独立しています。

双曲幾何学における交差しない線は、ユークリッド幾何学における交差しない線とは異なる性質も持っています。

任意の直線Rと、 R上にない任意の点Pについて、直線Rと点P を含む平面には、Pを通りR と交差しない異なる直線が少なくとも 2 本存在します。

これは、 P を通る、 Rと交差しない共面線が無限に存在することを意味します。

これらの交差しない線は、次の 2 つのクラスに分類されます。

• 2 本の線 (図のxとy ) は極限平行線(臨界平行線、全平行線、または単に平行線と呼ばれることもあります) です。 Rの「端」にある理想点のそれぞれに 1 本ずつ平行線があり、R に漸近的に近づいていきますが、 Rに出会うことはありません。
• その他の交差しない直線はすべて、最小距離の点を持ち、その点の両側から発散するため、超平行、発散平行、または交差しない直線と呼ばれることもあります。

幾何学者の中には、「平行線」という語句を単に「極限平行線」という意味で使用し、超平行線は単に交差しないという意味で使用している人もいます。

これらの極限平行線はPBと角度θ を形成します。この角度は平面のガウス曲率と距離PBのみに依存し、平行角と呼ばれます。

超平行線の場合、超平行定理は、双曲面内に超平行線の各ペアに垂直な唯一の線が存在することを述べています。

双曲幾何学では、半径rの円の円周はよりも大きくなります。 ${\displaystyle 2\pi r}$

とします。ここで は平面のガウス曲率です。双曲幾何学ではは負なので、平方根は正の数になります。 ${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

半径rの円の円周は次の式に等しくなります。

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$

囲まれた円盤の面積は次のようになります。

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.}$

したがって、双曲幾何学では、円の円周と半径の比は常に より大きくなりますが、十分に小さい円を選択することで、この比を に任意に近づけることができます。 ${\displaystyle 2\pi }$

平面のガウス曲率が−1の場合、半径rの円の測地曲率は次のよう になる: ^[1]${\displaystyle {\frac {1}{\tanh(r)}}}$

双曲幾何学では、ある直線からすべての点が等距離にある直線は存在しません。その代わりに、ある直線からすべての点が等距離にある曲線は、ハイパーサイクルと呼ばれる曲線上にあります。

もう一つの特殊な曲線はホロサイクルで、その法線半径（垂直線）はすべて互いに平行な極限にあります（すべてが同じ理想的な点、つまりホロサイクルの中心に一方向に漸近的に収束します）。

どの点のペアにも 2 つのホロサイクルが存在します。ホロサイクルの中心は、それらの間の線分の 垂直二等分線の理想的な点です。

任意の 3 つの異なる点が与えられた場合、それらはすべて直線、ハイパーサイクル、ホロサイクル、または円のいずれか上にあります。

線分の長さは、2 点間の最短の長さ です。

2 点を結ぶハイパーサイクルの弧の長さは、線分の弧の長さよりも長く、同じ 2 点を結ぶアーク ホロサイクルの弧の長さよりも短くなります。

2 つの点を結ぶ両方のホロサイクルの弧の長さは等しく、点を結ぶどのハイパーサイクルの弧の長さよりも長く、2 つの点を結ぶどの円の弧よりも短くなります。

平面のガウス曲率が-1の場合、ホロサイクルの測地線曲率は1であり、ハイパーサイクルの測地線曲率は0と1の間である。 ^[1]

ユークリッド三角形では角度の合計は常に πラジアン(180°、直角) になりますが、双曲空間では三角形の角度の合計は常に π ラジアン (180°) 未満になります。この差は欠陥と呼ばれます。一般に、辺を持つ凸双曲多角形の欠陥は、角度の合計を から引いた値です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}$

双曲三角形の面積は、ラジアン単位の偏差にR ²を掛けて求められ、これはすべての凸双曲多角形にも当てはまります。^{[2]したがって、すべての双曲三角形の面積は}R ² π以下です。3つの角度がすべて0°である理想的な双曲三角形の面積は、この最大値に等しくなります。

ユークリッド幾何学と同様に、各双曲三角形には内接円があります。双曲空間では、三角形の 3 つの頂点すべてがホロサイクルまたはハイパーサイクル上にある場合、三角形には外接円がありません。

球面幾何学や楕円幾何学と同様に、双曲幾何学では 2 つの三角形が相似であれば、それらは必ず合同でなければなりません。

双曲幾何学における特殊な多角形は、無限の辺を持つ 正アペイロゴンと擬似 多角形の一様多角形です。

ユークリッド幾何学では、このような多角形を作成する唯一の方法は、辺の長さをゼロに近づけてアペイロゴンを円と区別できないようにするか、内角を 180° に近づけてアペイロゴンを直線に近づけることです。

ただし、双曲幾何学では、正多角形または擬似多角形の辺の長さは任意です (つまり、目立つ辺を持つ多角形のままです)。

辺と角の二等分線は、辺の長さと辺の間の角度に応じて、極限平行または発散平行になります。二等分線が極限平行である場合、それはアペイロゴンであり、同心円で内接および外接できます。

二等分線が平行に発散している場合、それは擬似多角形であり、超周期によって内接および外接することができます(すべての頂点は直線、軸から同じ距離にあり、また、辺の中点はすべて同じ軸から等距離にあります)。

ユークリッド平面と同様に、正多角形を面として双曲平面をモザイク化することも可能です。

シュワルツの三角形( p q r )に基づく一様タイリングは無数に存在する。ここで1/ p + 1/ q + 1/ r < 1 であり、p、  q、  rはそれぞれ基本領域三角形の 3 点における反射対称性の次数であり、対称群は双曲三角形群である。また、シュワルツの三角形から生成できない一様タイリングも無数に存在する。たとえば、基本領域として四辺形を必要とするものもある。^[3]

双曲幾何学は、一定の負のガウス曲率を持つ任意の表面に適用されますが、通常は曲率Kが -1となるスケールを仮定します。

その結果、いくつかの数式が単純化されます。例をいくつか挙げます。

• 三角形の面積は、ラジアンで表した角度の偏差に等しい。
• ホロサイクリックセクターの面積は、ホロサイクリックアークの長さに等しくなります。
• ホロサイクルの弧のうち、一方の端点で接する線がもう一方の端点を通る半径に平行に制限される場合、その弧の長さは1である。 ^[4]
• ２つの同心円の半径の弧の長さの比は、円周が１離れている場合、e  :1である^。[4]

ユークリッド幾何学と比較すると、双曲幾何学は座標系に関して多くの困難を伴います。四辺形の角度の合計は常に 360° 未満です。等距離の線は存在しないため、適切な長方形は 2 本の線と 2 つの超円で囲む必要があります。四辺形の周囲を線分が平行移動すると、線分が原点に戻るときに回転します。などです。

ただし、双曲平面幾何学にはさまざまな座標系があります。すべては、選択された有向線 ( x軸)上の点 (原点) を選択することに基づいており、その後は多くの選択肢があります。

ロバチェフスキー座標のxとy は、垂線をx軸に落とすことによって求められます。xは垂線の足のラベルになります。yは、指定された点の垂線に沿った足からの距離になります (一方が正で、もう一方が負)。

別の座標系では、原点を中心として点からホロサイクルまでの距離と、このホロサイクルに沿った長さを測定します。^[5]${\displaystyle (0,+\infty )}$

他の座標系では、以下に説明するクラインモデルまたはポアンカレ円板モデルを使用し、ユークリッド座標を双曲座標として扱います。

^{方向付けられ}た双曲面上の直交座標^系( x, y ) は、次のように構築されます。双曲面上の直線を、その方向と原点oとともに選択します。次に、 次の操作を行います。

• 点のx座標は、その点を直線（その点から直線に垂直に引いた線分の足）に投影した点から原点までの符号付き距離です。
• y座標は、点から直線までの符号付き距離であり、符号は点が有向直線の正側にあるか負側にあるかによって決まります。

この座標系における（ x_i,y_i） （ i=1,2 ）で表される2点間の距離は^{[引用が必要]である。} $${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$$

この式は双曲三角形に関する式から導き出すことができます。

対応する計量テンソル場は次のようになります。 ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$

この座標系では、直線は次のいずれかの形式をとります（( x、y ) は線上の点、x ₀、y ₀、A、およびαはパラメータです）。

x軸 に超平行

${\displaystyle \tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})}$

負の側では漸近的に平行

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(x)}$

正の側では漸近的に平行

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(-x)}$

垂直に交差する

${\displaystyle x=x_{0}}$

角度αで交差する

${\displaystyle \tanh(y)=\tan(\alpha )\sinh(x-x_{0})}$

一般的に、これらの方程式は、（ x値の）境界付き領域でのみ成立します。その領域の端では、yの値は± 無限大にまで増大します。

ユークリッドの『原論』が紀元前300年頃に出版されて以来、多くの幾何学者が平行線公準を証明しようと試みた。中には、その否定を仮定して矛盾を導き出すことで証明しようとした者もいた。その筆頭に挙げられるのは、プロクロス、イブン・アル＝ハイサム（アルハセン）、オマール・ハイヤーム、^[6] ナスィール・ッディーン・トゥーシー、ウィテロ、ゲルソニデス、アルフォンソ、そして後にはジョヴァンニ・ジェロラモ・サッケリ、ジョン・ウォリス、ヨハン・ハインリヒ・ランバート、ルジャンドルである。^[7] 彼らの試みは失敗する運命にあったが（現在では分かっているように、平行線公準は他の公準からは証明できない）、彼らの努力が双曲幾何学の発見につながった。

アルハセン、ハイヤーム、トゥーシーの四辺形に関する定理は、イブン・アル＝ハイサム・ランバート四辺形やハイヤーム・サッケリ四辺形など、双曲幾何学に関する最初の定理であった。彼らの双曲幾何学に関する著作は、ウィテロ、ガーソニデス、アルフォンソ、ジョン・ウォリス、サッケリなど、後のヨーロッパの幾何学者による幾何学の発展に大きな影響を与えた。^[8]

18世紀にはヨハン・ハインリヒ・ランベルトが双曲関数^[9]を導入し、双曲三角形の面積を計算した^[10]。

19世紀には、ニコライ・ロバチェフスキー、ヤーノシュ・ボヤイ、カール・フリードリヒ・ガウス、フランツ・タウリヌスらが双曲幾何学を広範囲に研究した。ユークリッド幾何学の公理から平行線公準を排除することだけを考えていた先人たちとは異なり、これらの著者らは新しい幾何学を発見したことを認識していた。^{[11] [12]}

ガウスは1824年にフランツ・タウリヌスに宛てた手紙の中で、この幾何学を構築したと書いたが、ガウスは自分の研究を公表しなかった。ガウスはこれを「非ユークリッド幾何学」と呼んだ^[13]ため、現代の著者の中には「非ユークリッド幾何学」と「双曲幾何学」を同義語と見なす者もいる。タウリヌスは1826年に双曲三角法の結果を発表し、双曲幾何学は自己矛盾がないと主張したが、それでもユークリッド幾何学の特別な役割を信じていた。双曲幾何学の完全な体系はロバチェフスキーによって1829/1830年に発表され、ボヤイはそれを独自に発見して1832年に発表した。

1868 年、エウジェニオ・ベルトラミは双曲幾何学のモデルを提示し、これを使用して、ユークリッド幾何学が一貫している場合にのみ双曲幾何学が一貫していることを証明しました。

「双曲幾何学」という用語は、1871年にフェリックス・クラインが導入しました。 ^{[14]クラインは}、アーサー・ケイリーの構想に従い、射影幾何学の変換を使用して等長変換を作成しました。このアイデアでは、円錐曲線または二次曲線を使用して領域を定義し、交差比を使用して距離を定義しました。円錐曲線または二次曲線を安定させる射影変換が等長変換です。「クラインは、ケイリーの絶対値が実曲線である場合、射影平面の内部の部分は双曲平面と等長であることを示しました...」^[15]

双曲幾何学の発見は、哲学的に重要な結果をもたらした。その発見以前は、多くの哲学者（ホッブズやスピノザなど）は、哲学的厳密さをユークリッドの『原論』で使用された推論方法を指す「幾何学的方法」の観点から捉えていた。

カントは『純粋理性批判』の中で、空間（ユークリッド幾何学）と時間は人間が世界の客観的特徴として発見したものではなく、私たちの経験を組織化するための避けられない体系的枠組みの一部であると結論付けました。^[16]

ガウスが双曲幾何学に関する著作を一切出版しなかったのは、「ボイオティア人の騒動」（古代アテネ人からは愚か者とみなされていた^{[17] ）を恐れたためだと言われている。その騒動は、彼の}プリンケプス・マセマティコルム（ラテン語で「数学者の王子」）としての地位を台無しにするだろう。 ^{[18] 「ボイオティア人の騒動」は起こったり去ったりしたが、}数学の厳密さ、分析哲学、論理学 の大きな進歩に弾みをつけた。双曲幾何学は最終的に矛盾がないことが証明され、したがってもうひとつの有効な幾何学となった。

ユークリッド幾何学、双曲幾何学、楕円幾何学はすべて一貫しているため、次のような疑問が生じます。空間の実際の幾何学はどれか、双曲幾何学または楕円幾何学の場合、その曲率はどれくらいか。

ロバチェフスキーは、シリウスの視差を測定し、シリウスを平行角の理想的な点として扱うことで、宇宙の曲率を測定しようとすでに試みていた。彼は、自分の測定が明確な答えを出すには正確ではないことを認識していたが、宇宙の幾何学が双曲的であれば、絶対的な長さは地球の軌道の直径の少なくとも100万倍であるという結論に達した（2 000 000  AU、10パーセク）。^[19] 彼の測定には方法論的な欠陥があったと主張する人もいる。^[20]

アンリ・ポアンカレは、球体世界 思考実験によって、日常的な経験が必ずしも他の幾何学を排除するわけではないという結論に達しました。

幾何学化予想は、我々の空間の基本的な幾何学について、8つの可能性の完全なリストを与えている。どれが当てはまるかを決定する際の問題は、決定的な答えに到達するためには、地球上、あるいはおそらく我々の銀河系内のどんなものよりもずっと大きな、極めて大きな形状を見ることができる必要があるということである。^[21]

特殊相対性理論では、空間と時間を同等の立場に置くため、空間と時間を別々に考えるのではなく、統一された時空の幾何学を考えることになる。 ^{[22] [23]} ミンコフスキー幾何学はガリレオ幾何学（ガリレオ相対性理論の時間を伴う3次元ユークリッド空間）に取って代わるものである。 ^[24]

相対論では、ユークリッド幾何学、楕円幾何学、双曲幾何学よりも、ミンコフスキー空間、ド・シッター空間、反ド・シッター空間^{[25] [26]}が適切な幾何学として考慮され、それぞれゼロ、正、負の曲率に対応します。

双曲幾何学は、ラピディティ を介して特殊相対論に入り、ラピディティは速度の代わりとなり、双曲角で表現されます。この速度幾何学の研究は運動幾何学と呼ばれています。相対論的速度の空間は3次元双曲幾何学を持ち、距離関数は「近くの」点（速度）の相対速度から決定されます。^[27]

ユークリッド空間には、一定の負のガウス曲率を持つ有限の領域を持つ さまざまな擬球が存在します。

ヒルベルトの定理によれば、完全な双曲面（一定の負のガウス曲率を持つ完全な正則面）を 3 次元ユークリッド空間に 等長的に浸すことはできません。

ユークリッド空間には、計量が保存されない双曲幾何学の他の有用なモデルが存在する。擬球に基づく特に有名な論文モデルは、ウィリアム・サーストンによるものである。

かぎ針編みの技術は双曲面を表現するために使われてきましたが、最初の表現はダイナ・タイミニャによってなされました。^[28]

2000年、キース・ヘンダーソンは「双曲型サッカーボール」（より正確には、切断された7次の三角形のタイリング）と呼ばれる、簡単に作れる紙の模型を披露した。 ^{[29] [30]}

ヘラマン・ファーガソン[ ^31]がデザインした双曲面キルトの作り方の説明がジェフ・ウィークス^[32]によって公開されている。

さまざまな擬球(一定の負のガウス曲率を持つ表面) は、標準ユークリッド計量の下で 3 次元空間に埋め込むことができ、そのため具体的なモデルにすることができます。これらのうち、トラクトイド(または擬球) が最もよく知られています。トラクトイドを双曲面のモデルとして使用することは、円錐または円筒をユークリッド平面のモデルとして使用することに似ています。ただし、双曲面全体をこの方法でユークリッド空間に埋め込むことはできず、双曲幾何学を抽象的に探求するには、さまざまな他のモデルの方が便利です。

双曲幾何学によく使われるモデルは、クラインモデル、ポアンカレ円板モデル、ポアンカレ半平面モデル、ローレンツモデルまたは双曲面モデルの4 つです。これらのモデルは、双曲幾何学の公理を満たす双曲平面を定義します。名前に反して、上記の最初の 3 つは、ポアンカレやクラインではなく、ベルトラミによって双曲空間のモデルとして導入されました。これらのモデルはすべて、より多くの次元に拡張できます。

ベルトラミ・クラインモデルは、射影ディスクモデル、クラインディスクモデル、クラインモデルとも呼ばれ、エウジェニオ・ベルトラミとフェリックス・クラインにちなんで名付けられました。

2 次元の場合、このモデルは完全な双曲平面として単位円の内部を使用し、この円の弦が双曲線になります。

高次元の場合、このモデルは単位球の内部を使用し、このn球の弦は双曲線になります。

• このモデルの利点は線が真っ直ぐになることですが、角度が歪む（マッピングが等角ではない）という欠点があり、また円が円として表現されません。
• このモデルにおける距離は、アーサー・ケイリーが射影幾何学で導入した複比の対数の半分です。

ポアンカレ円板モデルは共形円板モデルとも呼ばれ、単位円の内部を採用していますが、線は境界円に 直交する円弧と境界円の直径で表されます。

• このモデルは角度を保存するため、共形です。したがって、このモデル内のすべての等長変換はメビウス変換です。
• 円のユークリッド中心は円の双曲中心よりも円の中心に近いですが、円内に完全に含まれる円は円のままです。
• ホロサイクルは、接触点を除いて境界円に接するディスク内の円です。
• ハイパーサイクルは、ディスク内の開いた弦と円弧であり、境界円上で非直交角度で終了します。

ポアンカレ半平面モデルは、平面の線Bで囲まれたユークリッド平面の半分を双曲面のモデルとします。線Bはモデルに含まれません。

ユークリッド平面は、直交座標系を持つ平面とみなすことができ、x 軸は線Bとされ、半平面はこの平面の 上半分 ( y > 0) となります。

• 双曲線は、 Bに直交する半円か、 Bに垂直な放射線のいずれかになります。
• 直線上の区間の長さは対数で表され、相似変換に対して不変である。 ${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y),\quad \lambda >0.}$
• ポアンカレ円板モデルと同様に、このモデルは角度を保存するため、共形です。したがって、このモデル内のすべての等長変換は、平面のメビウス変換です。
• 半平面モデルは、ポアンカレ円板モデルの限界であり、その境界は同じ点でBに接し、円板モデルの半径は無限大になります。

双曲面モデルまたはローレンツモデルは、3次元ミンコフスキー空間に埋め込まれた2次元回転双曲面（2枚のシートのうち1枚を使用）を採用しています。このモデルは一般にポアンカレの功績であるとされていますが、レイノルズ^[33]は、ヴィルヘルム・キリングが1885年にこのモデルを使用したと 述べています。

• このモデルは特殊相対性理論に直接適用できます。ミンコフスキー 3 次元空間は 1 つの空間次元を抑制した時空のモデルだからです。双曲面を使用して、共通のイベントから出発して慣性運動するさまざまな観測者が固定された固有時間内に到達するイベント(時空内の位置) を表すことができます。
• 双曲面上の 2 点間の双曲距離は、対応する 2 人の観測者間の相対的なラピディティと同一視できます。
• このモデルは追加の次元に直接一般化されます。つまり、3 次元双曲空間の 3 次元双曲幾何学はミンコフスキー 4 次元空間に関連します。

半球モデルはそれ自体がモデルとして使用されることはあまりありませんが、他のモデル間の変換を視覚化するための便利なツールとして機能します。

半球モデルでは単位球の上半分を使用します。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

双曲線は半球の境界に直交する半円です。

半球面モデルはリーマン球面の一部であり、異なる投影によって双曲面の異なるモデルが得られます。

• から 平面への立体投影は、対応する点をポアンカレ円板モデル に投影する。${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle z=0}$
• 表面への ステレオ投影は、対応する点を双曲面モデル に投影します。${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0}$
• から平面への立体投影は、対応する点をポアンカレ半平面モデルに投影します。${\displaystyle (-1,0,0)}$${\displaystyle x=1}$
• 平面への正投影は、対応する点をベルトラミ・クライン モデルに投影します。${\displaystyle z=C}$
• 球の中心から平面への中心投影は、ガンズモデル上の対応する点を投影します。${\displaystyle z=1}$

1966年、デイビッド・ガンズはAmerican Mathematical Monthly誌で平坦化された双曲面モデルを提案した。^[34]これは双曲面モデルをxy平面に正投影したものである。このモデルは他のモデルほど広く使用されていないが、双曲幾何学を理解する上で非常に有用である。

• クラインモデルやポアンカレモデルとは異なり、このモデルはユークリッド平面全体を利用します。
• このモデルにおける線は双曲線の枝として表現される。^[35]

バンドモデルは、2本の平行線の間のユークリッド平面の一部を使用します。^[36]距離はバンドの中央を通る1本の線に沿って保存されます。バンドが で与えられると仮定すると、メトリックは で与えられます。 ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|\operatorname {Im} z|<\pi /2\}}$${\displaystyle |dz|\sec(\operatorname {Im} z)}$

すべてのモデルは本質的に同じ構造を記述する。それらの違いは、同じ計量空間、すなわち双曲面上に敷かれた異なる座標チャートを表している点である。双曲面自体の特徴は、使用される座標チャートに関係のない一定の負のガウス曲率を持っていることである。測地線も同様に不変である。つまり、測地線は座標変換の下で測地線に写像される。双曲幾何学は一般に測地線と双曲面上のそれらの交点の観点から導入される。^[37]

座標チャート（「モデル」の 1 つ）を選択すると、常に同じ次元のユークリッド空間にそれを埋め込むことができますが、埋め込みは明らかに等長ではありません（ユークリッド空間の曲率は 0 であるため）。双曲空間は、無限に多くの異なるチャートで表すことができますが、これらの 4 つの特定のチャートによるユークリッド空間への埋め込みには、いくつかの興味深い特性があります。

4 つのモデルは同じメトリック空間を記述するため、それぞれを他のモデルに変換できます。

たとえば、次の例を参照してください。

• ベルトラミ・クラインモデルと双曲面モデルの関係、
• ベルトラミ・クラインモデルとポアンカレ円板モデルの関係、
• ポアンカレ円板モデルと双曲面モデルの関係。

双曲平面のそれ自身への等長変換（変換または運動）は、最大 3 回の反射の合成として実現できます。n次元双曲空間では、最大n +1 回の反射が必要になる場合があります。（これらはユークリッド幾何学や球面幾何学にも当てはまりますが、以下の分類は異なります。）

双曲平面のすべての等長変換は、次のクラスに分類できます。

• 方向保存
  • 恒等等尺性—何も動かず、反射もゼロ、自由度もゼロ。
  • 点を通る反転（半回転） — 特定の点を通る互いに垂直な線を通る 2 つの反射、つまりその点の周りの 180 度の回転。自由度は2 です。
  • 法線点の周りの回転- 指定された点を通る線による 2 つの反射 (特殊なケースとして反転を含む)、点は中心の周りの円上を移動します。自由度は 3 つです。
  • 理想点の周りの「回転」（ホロレーション） - 理想点に至る線を通る 2 つの反射。点は理想点を中心としたホロサイクルに沿って移動します。自由度は 2 です。
  • 直線に沿った移動 - 指定された線に垂直な線を通る 2 つの反射、指定された線から外れた点はハイパーサイクルに沿って移動、3 つの自由度。
• 向きの反転
  • 線を通した反射 — 1 つの反射、2 つの自由度。
  • 直線を通した反射と同じ直線に沿った平行移動の組み合わせ - 反射と平行移動は可換であり、3 回の反射が必要で、自由度は 3 つである。^[要出典]

MC エッシャーの有名な版画「円の極限 III」と「円の極限 IV」 は、共形ディスク モデル (ポアンカレ ディスク モデル) を非常によく表しています。III の白い線は測地線ではありませんが (超周期です)、測地線に近いものです。三角形と正方形の角度の合計への影響を通じて、双曲面の 負の曲率を非常にはっきりと見ることもできます。

たとえば、円極限 IIIでは、すべての頂点が 3 つの三角形と 3 つの正方形に属します。ユークリッド平面では、それらの角度の合計は 450°、つまり円と 4 分の 1 になります。このことから、双曲平面における三角形の角度の合計は 180° 未満でなければならないことがわかります。もう 1 つの目に見える特性は指数関数的増加です。たとえば、円極限 IIIでは、中心からnの距離内にある魚の数が指数関数的に増加することがわかります。魚の双曲面積は等しいため、半径nの球の面積はnで指数関数的に増加する必要があります。

かぎ針編みの技術は双曲面（上の写真）を表現するために使われてきました。最初の作品はダイナ・タイミニャによるもので、^[28]彼女の著書「Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes」は2009年のブックセラー/ダイアグラム賞の「Oddest Title of the Year」を受賞しました。^[38]

HyperRogueは、双曲面のさまざまなタイリングを舞台にしたローグライクゲームです。

双曲幾何学は 2 次元に限定されず、より高い次元数ごとに双曲幾何学が存在します。

n次元の双曲空間は、非コンパクト 型のリーマン対称空間の特殊なケースであり、商

${\displaystyle \mathrm {O} (1,n)/(\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)).}$

直交群 O(1, n )は 、ミンコフスキー空間R ^{1, n}上でノルム保存変換として作用し、ノルム 1 ベクトルの 2 枚双曲面上で推移的に作用します。原点を通る時間的直線 (つまり、正ノルムの接線を持つ直線) は双曲面の反対心点を通過するため、このような直線の空間は双曲n空間のモデルを生成します。特定の直線の安定子は、直交群 O( n ) と O(1)の積に同型です。ここで、O( n ) は双曲面の点の接空間に作用し、O(1) は原点を通る直線を反映します。双曲幾何学における基本概念の多くは、線型代数用語で記述できます。測地線は原点を通る平面との交差によって記述され、超平面間の二面角は法線ベクトルの内積によって記述され、双曲反射群は明示的な行列実現を与えることができます。

小さな次元では、双曲空間の対称性を考慮するための追加の方法をもたらす、例外的なリー群の同型があります。たとえば、次元 2 では、同型SO ⁺ (1, 2) ≅ PSL(2, R ) ≅ PSU(1, 1) により、上半平面モデルを商SL(2, R )/SO(2)として、ポアンカレ円板モデルを商SU(1, 1)/U(1)として解釈できます。どちらの場合も、対称群は分数線形変換として機能します。これは、両方のグループがリーマン球面のそれぞれの部分空間のPGL(2, C )における方向保存安定化子であるためです。ケーリー変換は、双曲平面の 1 つのモデルを他のモデルに変換するだけでなく、対称群の同型をより大きなグループでの共役として実現します。 3次元では、リーマン球面上のPGL(2, C )の分数線型作用は、同型O ⁺ (1, 3) ≅ PGL(2, C )によって誘導される双曲3次元空間の共形境界上の作用と同一視されます。これにより、代表的な複素行列のスペクトル特性を考慮することで、双曲3次元空間の等長変換を研究することができます。たとえば、放物線変換は上半空間モデルにおける剛体変換と共役であり、それらはまさに単位 上三角行列によって表すことができる変換です。

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