ベルヌーイ数

ベルヌーイ数は、古代から数学者たちの関心を集めてきた整数のべき乗の和の計算という、初期の歴史に根ざしている。

最初のn個の正の整数の和、最初のn個の正の整数の平方和、および立方和を計算する方法は知られていましたが、実際の「公式」はなく、言葉による説明のみでした。この問題を考察した古代の偉大な数学者には、ピタゴラス(紀元前 572 年頃 - 497 年、ギリシャ)、アルキメデス(紀元前 287 年 - 212 年 、イタリア)、アーリヤバタ(紀元前 476 年、インド)、アル・カラジ(1019 年、ペルシャ)、イブン・アル・ハイサム(965 年 - 1039 年、イラク) などがいます。

16世紀後半から17世紀初頭にかけて、数学者たちは目覚ましい進歩を遂げた。西洋では、イギリスのトーマス・ハリオット（1560年～1621年）、ドイツのヨハン・ファウルハーバー（1580年～1635年）、フランスのピエール・ド・フェルマー（1601年～1665年）、そして同じくフランスの数学者ブレーズ・パスカル（1623年～1662年）が重要な役割を果たした。

トーマス・ハリオットは、記号表記を用いてべき乗の和の公式を導出し、書き記した最初の人物であると思われるが、彼でさえ4乗までの和までしか計算していなかった。ヨハン・ファウルハーバーは、1631年の著書『アカデミア・アルゲブラエ』の中で、それまでの誰よりもはるかに高い17乗までのべき乗の和の公式を示したが、一般的な公式は示さなかった。

1654年にブレーズ・パスカルは、( n +1) ^{k +1を}p =0,1,2,..., kの最初のn個の正の整数のp乗の和に関連付けるパスカルの恒等式を証明しました。

スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイ（1654-1705）は、すべてのべき乗の和に対して統一的な公式を提供する定数列B ₀、B ₁、B ₂、...の存在を最初に認識した人物である。 ^{[ 9 ]}

ベルヌーイが、任意の正の整数cに対するc乗の和の公式の係数を迅速かつ容易に計算するために必要なパターンを発見したときの喜びは、彼のコメントから見て取れる。彼は次のように書いている。

「この表のおかげで、最初の1000個の数の10乗を足し合わせると、91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500になるということが、15分半もかからずに分かりました。」

ベルヌーイの結果は、1713年に 『アルス・コンジェクタンディ』に死後出版された。関隆和はベルヌーイ数を独自に発見し、その結果は1年前の1712年に、やはり死後出版された。^{[ 2 ]}しかし、関は定数列に基づく公式として自分の方法を提示しなかった。

ベルヌーイのべき乗和の公式は、現在までに最も有用で汎用性の高い定式化である。ベルヌーイの公式における係数は、アブラハム・ド・モアブルの提案に基づき、現在ではベルヌーイ数と呼ばれている。

ベルヌーイの公式は、べき乗の和を計算する驚くべき方法を発見したものの、ベルヌーイの公式を明言しなかったヨハン・ファウルハーバーにちなんで、ファウルハーバーの公式と呼ばれることもある。クヌース^{[ 9 ]}によると、ファウルハーバーの公式の厳密な証明は、 1834年にカール・ヤコビによって初めて発表された^{[ 10 ]。}クヌースによるファウルハーバーの公式の詳細な研究は、次のように結論付けている。

「ファウルハーバーはベルヌーイ数を発見しなかった。つまり、定数の単一の列B ₀、B ₁、B ₂、... が均一な

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

すべてのべき乗の和について。例えば、 Σ n ^mの公式をNの多項式からnの多項式に変換した後、係数のほぼ半分がゼロになったという事実について、彼は一度も言及しなかった。^{[ 11 ]}

上記でクヌートは、${\displaystyle B_{1}^{-}}$; 代わりに${\displaystyle B_{1}^{+}}$この式は引き算を回避します。

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

... Atque sic porrò ad altiores Gradatim Potestates pergere, levique negotio sequentem adornare Laterculum licet: Summæ Potestatum${\displaystyle \textstyle \int n={\frac {1}{2}}nn+{\frac {1}{2}}n}$${\displaystyle \textstyle \int nn={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}nn+{\frac {1}{6}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{4}={\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{5}={\frac {1}{6}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{6}={\frac {1}{7}}n^{7}+{\frac {1}{2}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}-{\frac {1}{6}}n^{3}+{\frac {1}{42}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{7}={\frac {1}{8}}n^{8}+{\frac {1}{2}}n^{7}+{\frac {7}{12}}n^{6}-{\frac {7}{24}}n^{4}+{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{8}={\frac {1}{9}}n^{9}+{\frac {1}{2}}n^{8}+{\frac {2}{3}}n^{7}-{\frac {7}{15}}n^{5}+{\frac {2}{9}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{9}={\frac {1}{10}}n^{10}+{\frac {1}{2}}n^{9}+{\frac {3}{4}}n^{8}-{\frac {7}{10}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{4}-{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{\frac {1}{2}}n^{10}+{\frac {5}{6}}n^{9}-1n^{7}+1n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {5}{66}}n}$Quin imò qui Legem progressionis inibi attentius inspexerit, eundem etiam continuare porterit absque his rateciniorum ambagibus: Sumtâ enim${\displaystyle c}$プロポテスタティス・キュジュスリベット指数、合計オムニアムに適合${\displaystyle n^{c}}$seu${\displaystyle \textstyle \int n^{c}={\frac {1}{c+1}}n^{c+1}+{\frac {1}{2}}n^{c}+{\frac {c}{2}}An^{c-1}+{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2}{2\cdot 3\cdot 4}}Bn^{c-3}}$${\displaystyle \qquad +{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2\cdot c-3\cdot c-4}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}Cn^{c-5}}$${\displaystyle \qquad +{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2\cdot c-3\cdot c-4\cdot c-5\cdot c-6}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}}Dn^{c-7}\ldots }$& イタ・デインセプス、指数ポテスタティス・イプシウス${\displaystyle n}$継続的な広告、継続的な広告${\displaystyle n}$ベル${\displaystyle nn}$. Literæ capitales${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$&c。順序指定係数 ultimorum terminorum pro${\displaystyle \textstyle \int nn}$、${\displaystyle \textstyle \int n^{4}}$、${\displaystyle \textstyle \int n^{6}}$、${\displaystyle \textstyle \int n^{8}}$など。ネムペ${\displaystyle \textstyle A={\frac {1}{6}},B=-{\frac {1}{30}},C={\frac {1}{42}},D=-{\frac {1}{30}}.}$ ヤコブ・ベルヌーイの『アルス・コンジェクタンディ』、1713年[ a ] [ 13 ]

ベルヌーイ数OEIS : A164555  (n)/ OEIS : A027642  (n) は、ヤコブ・ベルヌーイが1713年に死後出版された著書『Ars Conjectandi』で導入しました。 ^{[ 13 ]}主な式は、対応するファクシミリの後半に示されています。ベルヌーイによってA、B、C、Dと表記された定数係数は、現在ではA = B ₂、B = B ₄、C = B ₆、D = B ₈という表記にマッピングされています。式c · c −1· c −2· c −3はc ·( c −1)·( c −2)·( c −3)を意味し、小さなドットはグループ化記号として使用されます。今日の用語では、これらの式は減少階乗c ^kです。階乗表記k ! 1 × 2 × ... × kのショートカットとして導入されたのは、ずっと後の1808年にクリスチャン・クランプによってです。左辺の積分記号 ∫ は、 1675年にゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが「summa」（合計）の長い文字Sとして使用したことに遡ります。 ^{[ 14 ]}左辺の文字nは総和の添え字ではなく、総和の範囲の上限を示しており、1、2、...、nと理解されます。これらをまとめると、正のcの場合、今日の数学者はベルヌーイの公式を次のように書くでしょう。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

この式は、偶数インデックス 2、4、6... のみを使用するいわゆる「古風な」列挙から現代的な形式に切り替える際に、B ₁ = 1 / 2と設定することを示唆している。この文脈で最も注目すべきは、 k = 0の場合、減少階乗c ^{k −1 の}値が1 / c + 1であるという事実である。^{[ 15 ]}したがって、ベルヌーイの公式は次のように書ける。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

B ₁ = 1/2の場合、ベルヌーイがその位置の係数に与えた値を再現します。

の式${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$ベルヌーイの『アルス・コンジェクタンディ』 97ページには最後の項に誤りがあります。正しくは${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$の代わりに${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$。

ベルヌーイ数は和の公式に従う^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle m=0,1,2...}$δはクロネッカーデルタを表す。

これらのうち最初のものは、式(m > 1の場合)として ^{[ 16 ]と表記されることがある。}$${\displaystyle (B+1)^{m}-B_{m}=0,}$$ ここで、べき乗は二項定理を用いて正式に展開され、${\displaystyle B^{k}}$に置き換えられます${\displaystyle B_{k}}$。

解決する${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$再帰式^{[ 17 ]を与える}

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

1893年にルイ・ザールシュッツはベルヌーイ数に関する明示的な公式を合計38個挙げたが、^{[ 18 ]}通常は古い文献を参照している。そのうちの1つは（${\displaystyle m\geq 1}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

指数生成関数は

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

ここでの置換は${\displaystyle t\to -t}$生成関数間の算術差は${\displaystyle B_{m}^{+}}$そして${\displaystyle B_{m}^{-}}$tです。

（通常の）生成関数

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

これは漸近級数です。これはトリガンマ関数ψ ₁を含みます。

上記の母関数から、偶数ベルヌーイ数に対する以下の積分公式が得られる。

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

数学におけるベルヌーイ数の最も重要な応用は、オイラー・マクローリンの公式での使用であると言えるでしょう。fが十分に頻繁に微分可能な関数であると仮定すると、オイラー・マクローリンの公式は次のように書くことができます^{[ 29 ]}

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

_{この式は、} B ⁻ ₁ = − ⁠ 1 / 2 ⁠という慣例を前提としています。B ⁺ 1 = + ⁠ 1 / 2 ⁠という慣例を用いると、式は次のようになります。

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

ここ${\displaystyle f^{(0)}=f}$（つまり、ゼロ次導関数）${\displaystyle f}$はただ${\displaystyle f}$さらに、${\displaystyle f^{(-1)}}$の原始関数を表す${\displaystyle f}$微積分学の基本定理により、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

したがって、最後の式はさらに簡略化して、オイラー・マクローリンの公式の次の簡潔な形式にすることができる。

$\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

この形式は、例えばゼータ関数の重要なオイラー・マクローリン展開の源泉となっている。

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

ここで、s ^{k は}上昇階乗を表します。^{[ 30 ]}

ベルヌーイ数は、他の種類の漸近展開でも頻繁に使用されます。次の例は、ディガンマ関数ψの古典的なポアンカレ型の漸近展開です。

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

ベルヌーイ数は、最初の n 個の正の整数の m 乗の和の閉形式表現において重要な役割を果たします。m、n ≥ 0に対して、次のように定義します。

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

この式は常に、 nに関する次数m + 1の多項式として書き換えることができます。これらの多項式の係数は、ベルヌーイの公式によってベルヌーイ数と関連付けられます。

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

ここで( ^{m + 1} _k )は二項係数を表します。

例えば、mを 1 とすると、三角数は0, 1, 3, 6, ...になります。OEIS : A000217 。

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

mを 2とすると、正四角錐数0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330 が得られます。

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

ベルヌーイ数に関して別の表記法を用いる著者もおり、ベルヌーイの公式を次のように表している。

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

ベルヌーイの公式は、べき乗の和を計算する驚くべき方法も発見したヨハン・ファウルハーバーにちなんで、ファウルハーバーの公式と呼ばれることもある。

ファウルハーバーの公式は、V. GuoとJ. Zengによってq-類似の公式に一般化された。^{[ 31 ]}

ベルヌーイ数は、多くの三角関数や双曲線関数のテイラー級数展開に現れる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

ベルヌーイ数は次のローラン級数に現れる：^{[ 32 ]}

ディガンマ関数：${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

平行化可能な多様体を境界とするエキゾチックな(4 n − 1)球面の微分同相類の巡回群の位数に関する Kervaire–Milnor 公式には、ベルヌーイ数が含まれる。ES n_をn ≥ 2の場合のそのようなエキゾチックな球面の数とすると、

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

次元4nの滑らかな向き付けられた閉多様体のL種数に関するヒルツェブルフの署名定理もベルヌーイ数に関係している。

定義は1883年にユリウス・ヴォルピツキーによって考案された。基本的な算術演算の他に、階乗関数n !とべき乗関数k ^mのみが用いられる。符号なしヴォルピツキー数は次のように定義される。

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

これらは第二種スターリング数によっても表現できる。

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

ベルヌーイ数は、調和数列1, 1/2 , 1/3 , ...で重み付けされたウォルピツキー数の包含排除和として導入される。   

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

B ₀ = 1

B ₁ = 1 − 1 / 2

B ₂ = 1 − 3 / 2 + 2 / 3​​

B ₃ = 1 − ⁠ 7 / 2 ⁠ + ⁠ 12 / 3 ⁠ − ⁠ 6 / 4 ⁠

B ₄ = 1 − 15 / 2 + 50 / 3 − 60 / 4 + 24 / 5​​​​​​

B ₅ = 1 − 31 / 2 + 180 / 3 − 390 / 4 + 360 / 5 − 120 / 6​​​​​​​​

B ₆ = 1 − ⁠ 63 / 2 ⁠ + ⁠ 602 / 3 ⁠ − ⁠ 2100 / 4 ⁠ + ⁠ 3360 / 5 ⁠ − ⁠ 2520 / 6 ⁠ + ⁠ 720 / 7 ⁠

この表現では、B + 1 ⁼ ₊ 1 / 2となります。

数列s _n , n ≥ 0を考えます。Worpitzky の数OEIS : A028246 、OEIS : A163626 をs ₀、s 0 、s ₁、s ₀、s ₁、s ₂、s ₀、s ₁、s ₂、s ₃、...に適用すると、s _nに適用した秋山-谷川変換と同一になります₍第 1 種のスターリング数との関連を参照)。これは次の表から確認できます。

最初の行はs ₀、s ₁、s ₂、s ₃、s ₄を表します。

したがって、第2の分数オイラー数OEIS : A198631  ( n ) / OEIS : A006519  ( n + 1 ) については、次のようになります。

E ₀ = 1

E ₁ = 1 − 1 / 2

E ₂ = 1 − ⁠ 3 / 2 ⁠ + ⁠ 2 / 4 ⁠

E ₃ = 1 − ⁠ 7 / 2 ⁠ + ⁠ 12 / 4 ⁠ − ⁠ 6 / 8 ⁠

E ₄ = 1 − ⁠ 15 / 2 ⁠ + ⁠ 50 / 4 ⁠ − ⁠ 60 / 8 ⁠ + ⁠ 24 / 16 ⁠

E ₅ = 1 − 31 / 2 + 180 / 4 − 390 / 8 + 360 / 16 − 120 / 32​​​​​​​​

E ₆ = 1 − ⁠ 63 / 2 ⁠ + ⁠ 602 / 4 ⁠ − ⁠ 2100 / 8 ⁠ + ⁠ 3360 / 16 ⁠ − ⁠ 2520 / 32 ⁠ + ⁠ 720 / 64 ⁠

ベルヌーイ数をウォルピツキー数で表す2番目の式は、n ≥ 1 の場合である。

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

簡略化された第2ベルヌーイ数のウォルピツキー表現は次のとおりです。

OEIS : A164555  ( n + 1 ) / OEIS : A027642  ( n + 1 ) = ⁠ n + 1 / 2 ^{n + 2} − 2 ⁠ × OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )  

これは、第2ベルヌーイ数と第2分数オイラー数を関連付けるものです。その始まりは次のとおりです。

⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 6 ⁠ , 0, − ⁠ 1 / 30 ⁠ , 0, ⁠ 1 / 42 ⁠ , ... = ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 3 / 14 ⁠ , ⁠ 2 / 15 ⁠ , ⁠ 5 / 62 ⁠ , ⁠ 1 / 21 ⁠ , ...) × (1, ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0, − ⁠ 1 / 4 ⁠ , 0, ⁠ 1 / 2 ⁠ , ...)

最初の括弧内の分子はOEIS : A111701 です(第 1 種のスターリング数との関連を参照)。

第2種スターリング数S ( k , m )は、 ^{[ 33 ]}のような性質を持つ。

${\displaystyle x^{k}=\sum _{m=0}^{k}{x^{\underline {m}}}S(k,m)}$

ここで、x ^mは下降階乗関数を表す。

ベルヌーイ多項式B _k ( x )は次のように書くことができます。^{[ 34 ]}

${\displaystyle B_{k}(x)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {x}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

ここで、k = 0, 1, 2,...のB _kはベルヌーイ数である。

二項係数の以下の性質：

${\displaystyle {\binom {x}{m}}={\binom {x+1}{m+1}}-{\binom {x}{m+1}}}$

したがって、

${\displaystyle x^{k}={\frac {B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)}{k+1}}.}$

ベルヌーイ多項式については、次のことも成り立つ。^{[ 34 ]}

${\displaystyle B_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}x^{k-n}.}$

( ^x _{m + 1} )におけるxの係数は⁠ (−1) ^m / m + 1 ⁠です。

最初の式のxの係数は${\displaystyle B_{k}(x)}$は${\displaystyle k\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}S(k-1,m)m!}$一方、2番目の表現では${\displaystyle kB_{k-1}.}$交換する${\displaystyle k-1}$による${\displaystyle k}$これにより、以下が得られます。

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k,m)}$

（結果としてB ₁ = + 1 / 2となる）これはベルヌーイ数の明示的な公式であり、フォン・シュタウト・クラウゼン定理を証明するために使用できる。^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

符号なし第1種スターリング数[ ^nm ]とベルヌーイ数（B1 = +1/2 ）を関連付ける2つの主要な公式は以下の_とおりである_。

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

そしてこの和の逆数（n ≥ 0、m ≥ 0の場合）

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

ここで、A _n、mは有理数である秋山-谷川数であり、最初の数個が次の表に示されています。

秋山・谷川数は単純な漸化式を満たし、これを利用してベルヌーイ数を反復的に計算することができる。OEIS : A051714 / OEIS : A051715を 参照のこと。 

オートシーケンスとは、逆二項変換が符号付きシーケンスと等しくなるシーケンスのことです。主対角線が 0 列 = OEIS : A000004 の場合、オートシーケンスは第 1 種です。例: OEIS : A000045 、フィボナッチ数列。主対角線が最初の上側対角線に 2 を掛けたものの場合、それは第 2 種です。例: OEIS : A164555  / OEIS : A027642 、第 2 ベルヌーイ数列 ( OEIS : A190339を参照)。2  ^{− n} = 1 / OEIS : A000079に秋山-谷川変換を適用すると、 OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1 )になります。したがって:   

OEIS : A209308 およびOEIS : A227577 を参照してください。OEIS : A198631  ( n ) / OEIS : A006519  ( n + 1 ) は、第 2 種 (分数) オイラー数であり、第 2 種のオートシーケンスです。

( ⁠ OEIS : A164555 ( n + 2 ) / OEIS : A027642 ( n + 2 ) ⁠ = ⁠ 1 / 6 ⁠ , 0, − ⁠ 1 / 30 ⁠ , 0, ⁠ 1 / 42 ⁠ , ... ) × ( ⁠ 2 ^{n + 3} − 2 / n + 2 ⁠ = 3, ⁠ 14 / 3 ⁠ , ⁠ 15 / 2 ⁠ , ⁠ 62 / 5 ⁠ , 21, ... ) = ⁠ OEIS : A198631 ( n + 1 ) / OEIS : A006519 ( n + 2 ) ⁠ = 1 / 2 , 0, − 1 / 4 ⁠ , 0 , 1 / 2 ⁠ , ...。