PCF理論

PCF 理論は、サハロン・シェラ (1978) によって導入された、順序付き集合の超積の共終性を扱う数学理論の名前です。この理論は、特異基数のべき集合の基数に強い上限を与え、他にも多くの応用があります。略語「PCF」は、「可能な共終性」の略です。

A が正則基数の無限集合で、D がA上の超フィルターである場合、関数の順序付き集合の共終性を で表すものとします 。ここで、順序は次のように定義されます。 の場合。 pcf( A ) は、 A上のすべての超フィルターを考慮した場合に発生する共終性の集合です。つまり、 ${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)}$${\displaystyle \prod A}$${\displaystyle f<g}$${\displaystyle \{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D}$

${\displaystyle \operatorname {pcf} (A)=\left\{\operatorname {cf} \left(\prod A/D\right):D\,\,{\mbox{は}\,\,A\right\}上の超フィルタです。}$

明らかに、 pcf( A ) は正規基数から構成されます。 Aの要素に集中する超フィルターを考えると、 となります 。 Shelah は、 の場合、 pcf( A ) は最大の要素を持ち、Aの各超フィルターDに対して、となる pcf( A )の最小の要素 θ となるAの部分集合が存在することを証明しました。したがって、 となります。Shelah はまた、 A が正規基数の区間 (つまり、A が2 つの基数の間にあるすべての正規基数の集合) である場合、 pcf( A ) も正規基数の区間であり、 |pcf( A )|<| A | ⁺⁴であることを証明しました。これは、有名な不等式を意味します。 ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {pcf} (A)}$${\displaystyle |A|<\min(A)}$${\displaystyle \{B_{\theta }:\theta \in \operatorname {pcf} (A)\}}$${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)}$${\displaystyle B_{\theta }\in D}$${\displaystyle \left|\operatorname {pcf} (A)\right|\leq 2^{|A|}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}}$

ℵ _{ω が}強い極限であると仮定します。

λ が無限基数であれば、J _{<λ は}A上の次のイデアルです。B ∈ Dであるすべての超フィルタDに対してB ∈ J <λ が成り立つ場合、 B ∈ J _<λです。すると、J _{<λ は}集合によって生成されるイデアルです。スケール、つまりすべての λ∈pcf( A ) に対して、長さ λ の要素のシーケンスが存在し、そのシーケンスの要素は増加し、J _{<λ を}法として共終的です。これは、点ごとの優位性の下での の共終性が max(pcf( A )) であることを意味します。もう 1 つの帰結として、 λ が特異で、 λ 未満の正則基数がJónssonでない場合、 λ ⁺もJónsson ではありません。特に、ℵ _ω+1上にJónsson 代数が存在し、これは古い推測を解決します。 ${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)<\lambda }$${\displaystyle \{B_{\theta }:\theta \in \operatorname {pcf} (A),\theta <\lambda \}}$${\displaystyle \prod B_{\lambda}}$${\displaystyle \prod A}$

PCF理論における最も悪名高い予想は、| A |<min( A )を満たすすべての正則基数集合Aに対して|pcf( A )|=| A |が成立するというものである。これは、ℵ _{ω が}強い極限であれば、鋭い境界が

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}}$

同様の境界は

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega _{1}}} }$

チャンの推測(マギドール) やクレパの木の非存在(シェラ) からも導かれます。

より弱い、まだ解決されていない予想は、| A |<min( A ) の場合、pcf( A ) には到達不可能な極限点がないというものです。これは、pcf(pcf( A ))=pcf( A ) というステートメントと同等です。

この理論は、基数算術以外にも、多くの応用が見出されています。シェラによるオリジナルの調査「懐疑論者のための基数算術」には、ほぼ自由なアーベル群、分割問題、積の下でのブール代数の連鎖条件の保存の失敗、ジョンソン代数の存在、絡み合った線形順序の存在、同値的に狭いブール代数、および特定の無限論理で同値な非同型モデルの存在などのトピックが含まれています。

その間に、集合論、モデル理論、代数学、位相幾何学においてさらに多くの応用が発見されました。

• Saharon Shelah, Cardinal Arithmetic、Oxford Logic Guides、第29巻。Oxford University Press、1994年。

• メナヘム・コジマン: PCF 理論
• シェラ、サハロン(1978)、「後継基数におけるジョンソン代数」、イスラエル数学ジャーナル、30 (1): 57–64、doi :10.1007/BF02760829、MR  0505434
• シェラ、サハロン(1992)、「懐疑論者のための基数算術」、アメリカ数学会報、新シリーズ、26 (2): 197–210、arXiv : math/9201251、doi :10.1090/s0273-0979-1992-00261-6、MR  1112424