パンルヴェ予想

物理学において、パンルヴェ予想はn体問題の解における特異点に関する定理であり、 n ≥ 4の場合に非衝突特異点が存在する。^{[ 1 ] [ 2 ]}   

この定理は、1988年にJeff Xia ^{[ 3 ] [ 4 ]}によってn  ≥ 5の場合について証明され、2014年にJinxin Xue ^{[ 5 ] [ 6 ]によってn = 4の場合について証明されました。} 

ソリューション${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$n体問題の${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )}$（ここでMは質量、Uは重力ポテンシャルを表す）は、一連の時間がある場合に特異点を持つと言われます。$t_n$有限値に収束する$\displaystyle t^{*}}$どこ${\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }$つまり、ある有限の時点で、力と加速度が無限大になるということだ。

衝突特異点が発生するのは、$\displaystyle \mathbf {q} (t)$一定の限界に達する傾向がある$t\rightarrow t^{*},t<t^{*}}$極限が存在しない場合、その特異点は擬似衝突特異点または非衝突特異点と呼ばれる。

ポール・パンルヴェは、n  = 3の場合、有限時間特異点を持つ任意の解は衝突特異点を経験することを示した 。しかし、彼はこの結果を 3 体を超えて拡張することに失敗した。彼の 1895 年のストックホルム講義は、次の予想で締めくくられている。^{[ 7 ] [ 8 ]}

n  ≥  4の場合、n体問題は非衝突特異点を許容する。

エドヴァルド・フーゴ・フォン・ツァ​​イペルは1908年に、衝突特異点が存在する場合、${\displaystyle J(\mathbf {q} (t))}$一定の限界に近づく傾向がある$t\rightarrow t^{*}}$、 どこ${\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}}$は慣性モーメントである。^{[ 9 ]}これは、非衝突特異点の必要条件は、少なくとも1つの粒子の速度が無限大になることであることを意味する（位置が無限大になるため）。$\displaystyle \mathbf {q} }$（ここまでは有限のままである）。^{[ 1 ]}

マザーとマクギーは1975年に、共線4体問題（つまり、すべての物体が一直線上にある場合）において非衝突特異点が発生する可能性があることを証明したが、それは無限回の（正則化された）二体衝突の後に限られる。^{[ 10 ]}

ドナルド・G・サーリは1977年に、 2体、3体、4体問題における平面または空間内のほとんどすべての（ルベーグ測度の意味での）初期条件に対して、特異点のない解が存在することを証明した。^{[ 11 ]}

1984年、ジョー・ガーバーは、衝突のない平面5体問題における非衝突特異点の議論を行った。^{[ 12 ]}彼は後に3n体問題の証明を見つけた。^{[ 13 ]}

最後に、ジェフ・シアは1988年の博士論文で、非衝突特異点を経験する5体構成を実証した。^{[ 3 ] [ 4 ]}

ジョー・ガーバーは、4体特異点の存在に関するヒューリスティックモデルを提示した。^{[ 14 ]}

2013年にメリーランド大学で提出した博士論文で、Jinxin Xueは、Painlevé予想の平面四体問題のケースについて、簡略化されたモデルを検討した。Gerverのモデルに基づいて、彼は、有限時間内に速度が無限大に加速され、それ以前のすべての衝突を回避するハミルトン系の解につながる初期条件のCantor集合が存在することを証明した。2014年、Xueは以前の研究を拡張し、n=4の場合の予想を証明した。^{[ 15 ] [ 5 ] [ 6 ]}