三角筋 内で回転する針を示します。回転のどの段階においても（終点が三角筋の尖点にある場合を除く）、針は三角筋と3点で接触しています。2つの終点（青色）と1つの接点（黒色）です。針の中点（赤色）は、針の長さの半分に等しい直径の円を描きます。数学 において、カケヤ集合 またはベシコビッチ集合とは、 ユークリッド空間 においてあらゆる方向に単位線分 を含む点の集合のことである。例えば、ユークリッド平面 上の半径 1/2 の円盤 、あるいは 3 次元空間上の半径 1/2 の球は、カケヤ集合を形成する。この分野の研究の多くは、このような集合がどれだけ小さくなり得るかという問題を研究してきた。アブラム・ベシコビッチは、 測度 がゼロのベシコビッチ集合が存在することを示した。
カケヤ針セット （カケヤセットとも呼ばれる）は、平面上の（ベシコビッチ）セットであり、その内部で単位線分を180度連続的に回転させると、向きが反転した状態で元の位置に戻るという、より強い性質を持つ。半径1/2の円盤は、カケヤ針セットの一例である。
カケヤ針の問題 カケヤ針問題は、 ある領域に最小面積が存在するかどうかを問うものである。D {\displaystyle D} 凸 領域に関して、1917 年に加賀屋宗一によって初めて 提起 さ 。凸集合の最小面積は 、 パールが 示したように、高さ1、面積 1/ √3 正三角形 によって達成される。[ 1 ]
カケヤはカケヤセットを提案したようですD {\displaystyle D} 三角形の 形状になるだろう。しかし、これは誤りである。より小さい非凸型のカケヤ集合が存在する。
ベシコビッチ針セット 「ペロンツリーの発芽」：小尺度のカケヤ集合を構築する方法。ここでは、三角形を分割してピースを重ね合わせてより小さな集合を得る2つの可能な方法を示します。1つ目は2つの三角形、2つ目は8つの三角形です。この方法は、元の三角形を切り分けて任意の小さな集合を構築するために使用できます。2 n 2n [ 2 ]を参照。 アブラム・ベシコビッチは 、そのような領域の面積には0より大きい下限が存在しないことを示すことができた。D {\displaystyle D} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ε {\displaystyle \varepsilon } [ 3 ] ベシコビッチ集合 と呼ばれている。1919年のベシコビッチの研究は、このような集合が任意に小さな 尺度 を持つことができることを示したが、この問題はそれ以前に解析学者によって検討されていた可能性がある。
ベシコビッチ集合を構成する方法の1つ（対応する図を参照）は、オスカー・ペロン にちなんで名付けられた「ペロン木」として知られています。ペロンはベシコビッチの元の構成を簡略化することに成功しました。[ 4 ] [ 2 ]
まず最初に注目すべき点は、針は領域を掃引することなく、直線上を好きなだけ移動できるということです。これは、針が幅ゼロの線分であるためです。パル の2つ目のトリックである「パル結合」 [ 5 ]は r {\displaystyle r} 1 / r {\displaystyle 1/r} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r}
この構成は、高さ 1 で、頂点に針が容易に掃引できる十分な角度を持つ任意の三角形から始まります。目標は、この三角形に対して多くの操作を行い、針が掃引できる方向を維持しながら、その面積を小さくすることです。まず、三角形を 2 つに分割し、底辺が重なり合うように互いに平行移動して、全体の面積を最小化することを検討します。針は、最初の三角形によって与えられた方向を掃引し、2 番目の三角形にジャンプし、次に 2 番目の三角形によって与えられた方向を掃引することで、同じ方向を掃引することができます。元の三角形が切断された 2 つの線が平行であるため、針は「N」 テクニックを使用して三角形をジャンプできます。この構成では、線分は実際には元の重なり合った三角形の領域を離れ、新しい追加の (任意に小さい) 領域を掃引します。
次に、三角形を 2 n 個の n回繰り返して、形状が 1 つだけになるまで続けます。ここでも、針は 2 n
残るは、最終的な形状の面積を計算することです。難しさと長さの制約のため、最後の引数を完全に含めることはできません。代わりに、例を示します。図を見ると、2 n i 個のサブ三角形からi 回マージ操作で作成された各形状の面積がA i A i 2 A i+1 A i A 0 -n A n n -n 1/nであることがわかる。n が 大きくなるにつれて、この面積はゼロに縮小する。ベシコビッチ集合は、正三角形から作成されたペロン木の 6 つの回転を組み合わせることによって作成できる。同様の構成は平行四辺形でも作成できる。
「芽出し」法以外にも、測度ゼロのベシコビッチ集合を構成する方法はいくつかあります。例えば、カハネは カントール集合 を用いて2次元平面上の測度ゼロのベシコビッチ集合を構成しています。[ 6 ]
ペロンの木から作られたカケヤの針葉セット。 1941年、HJ Van Alphen [ 7 ] 単連結 カケヤ針セットは1965年に発見された。Melvin BloomとIJ Schoenbergは 独立に、面積がに近づくカケヤ針セットを発表した。π 24 （ 5 − 2 2 ） {\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})} ブルーム・シェーンベルク数 （≈0.2843）は、シェーンベルクが単連結カケヤ針集合の面積の下限であると推測した。しかし、1971年にF.カニンガム[ 8 ]
任意に小さな正の測度を持つカケヤ針集合や、測度が0のベシコビッチ集合は存在するが、測度が0のカケヤ針集合は存在しない。
カケヤ予想
声明 これらのベシコビッチ集合がどれほど小さくなり得るかという同じ疑問が、より高次元で提起され、カケヤ予想として知られる一連の予想が生まれ、 幾何学的測度論 として知られる数学分野の創設に貢献しました。特に、測度ゼロのベシコビッチ集合が存在する場合、それらが存在する空間の次元よりも小さい次元でs次元ハウスドルフ測度 もゼロになる可能性があるでしょうか？この疑問から、次の予想が生まれます。
カケヤ集合予想 ：ユークリッド空間において、あらゆる方向に単位線分を含む集合は、その空間の次元と等しいハウスドルフ次元を持つ。これはn =1、2の場合には真であることが知られているが、より高次元の場合には部分的な結果しか知られていない。
カケヤ予想は、制限予想 、ボフナー・リース予想、 局所平滑化予想 と密接に関連している。[ 9 ] [ 10 ]
2025年2月、 n = 3の場合の証明がHong Wang とJoshua ZahlによってarXiv に投稿された。 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]
カケヤ最大関数 この問題への現代的なアプローチは、特定の種類の最大関数を考えることであり、それは次のように構築されます。S n −1 ⊂ R n をn 次元 空間 の単位球面とします。T e δ （ 1 ） {\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)} a ∈ R n であり、その長辺は単位ベクトル e ∈ S n −1局所的に積分可能な 関数f に対して、 f のカケヤ最大関数を 次のように定義する。
f * δ （ e ） = すする 1 ∈ R n 1 m （ T e δ （ 1 ） ） ∫ T e δ （ 1 ） | f （ y ） | d m （ y ） 、 {\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y),} ここで、m は n 次元ルベーグ測度 を表す。f * δ {\displaystyle f_{*}^{\delta }} S n −1 内のベクトルe に対して定義される。
そして、これらの関数に関して、もしそれが真実であれば、高次元におけるカケヤ集合予想が導かれるという予想が存在する。
カケヤ最大関数予想 ：すべてのε > 0に対して、任意の関数fとすべての δ Cε > 0が存在し、(表記については lp空間を参照) ‖ f * δ ‖ L n （ S n − 1 ） ⩽ C ϵ δ − ϵ ‖ f ‖ L n （ R n ） 。 {\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}。
結果 カケヤ予想の証明に向けた成果の一部は以下のとおりである。
カケヤ予想はn = 1（自明）およびn = 2（デイビス[ 15 ] 任意のn 次元空間において、Wolff [ 16 ] n +2)/2でなければならないことを示した。2002年に、Katz とTao [ 17 ] （ 2 − 2 ） （ n − 4 ） + 3 {\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3} n > 4の場合に有利です。 2000年にKatz、 Łaba 、Tao [ 18 ] ミンコフスキー次元 が5/2より厳密に大きいことを証明した。 2000年にジャン・ブルガンは カケヤ問題を調和解析 と加法的数論 を含む算術的組み合わせ論 [ 19 ] [ 20 ] 2017年に、KatzとZahl [ 21 ] ハウスドルフ次元 の下限を改善し、5 / 2 + ϵ {\displaystyle 5/2+\epsilon } ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 2025年、WangとZahl [ 11 ] arXiv に投稿した。
カケヤ問題の類似例と一般化
円と球を含む集合 カケヤ問題の類似例としては、線よりも一般的な形状、例えば円などを含む集合を考えることが挙げられる。
1997年[ 23 ] [ 24 ] すべての点の周りの球を含む測度ゼロの集合が存在すると推測されていた。エリアス・スタイン [ 25 ] の結果は、 n ≥ 3の場合、そのような集合はすべて正の測度を持つ必要があることを証明し、マーストランド[ 26 ] は、 n=2 の 場合について同じことを証明した。
k 次元ディスクを含む集合カケヤ予想の一般化として、あらゆる方向の線分ではなく、例えばk 次元部分空間の一部を含む集合を考える。( n , k )-ベシコビッチ集合 K を、ルベーグ測度がゼロであるすべてのk 次元単位円盤 の平行移動を含むR n B を ゼロを中心とする単位球とすると、すべてのk 次元部分空間Pに対して、( P ∩ B ) + x ⊆ K となるx ∈ R n n , 1)-ベシコビッチ集合は、先に述べた標準的なベシコビッチ集合である。
( n , k )-ベシコビッチ予想: k > 1の場合、( n , k )-ベシコビッチ集合は存在しない。1979年、マーストランド[ 27 ] ファルコナー [ 28 ] は2k > nの場合( n , k )-ベシコビッチ集合は 存在しないことを証明した。現在までの最良の境界はブルガン[ 29 ] によるもので、 2k -1 + k > n の場合、そのような集合は存在しないことを証明した。
有限体上のベクトル空間におけるカケヤ集合 1999年、ウォルフはカケヤ問題の有限体 版を提起し、この予想を解決するための手法がユークリッド空間の場合にも応用できることを期待した。
有限体カケヤ予想 ：F を 有限体とし、K ⊆ F n を カケヤ集合とする。すなわち、各ベクトルy ∈ F n に対して、 K が 直線 { x + ty : t ∈ F } を含むようなx ∈ F n K の サイズは少なくともc n F | n c n >0 はn のみに依存する定数である。 Zeev Dvirは 2008年にこの予想を証明し、c n = 1/ n ! の場合にこの命題が成り立つことを示した。[ 30 ] [ 31 ] F |未満のn 変数多項式はすべて恒等的にゼロでなければならないことに気づいた。一方、次数が| F |未満のn 変数多項式は次元のベクトル空間を形成する。
（ | F | + n − 1 n ） ≥ | F | n n ! 。 {\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.} したがって、| F |未満の次数を持つ非自明な多項式が少なくとも 1 つ存在し、この数より少ない点を持つ任意の集合上でゼロになる。これらの 2 つの観察結果を組み合わせると、カケヤ集合は少なくとも | F | n n ! 個の点を持つ必要があることがわかる。
これらの手法が元のカケヤ予想の証明にまで及ぶかどうかは明らかではないが、この証明は本質的に代数的な反例が起こりにくいことを示しており、元の予想に信憑性を与えている。ドヴィルは有限体カケヤ問題の進展とランダム性抽出器 との関係についての概説記事を書いている。[ 32 ]
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外部リンク ブリティッシュコロンビア大学の掛谷 UCLAのベシコビッチ mathworld でのカケヤ針の問題 テレンス・タオのブログに掲載された、ドヴィルによる有限体カケヤ予想の証明 ベシコビッチ＝カケヤ集合入門 
