エルデシュ・ウラム問題

数学において、エルデシュ・ウラム問題は、平面上にユークリッド距離がすべて有理数であるような点の密な集合が存在するかどうかを問う問題である。この問題は、ポール・エルデシュとスタニスワフ・ウラムにちなんで名付けられた。

エルデシュ・アニングの定理によれば、整数距離を持つ点の集合は有限であるか、または単一の直線上にあるかのいずれかである。^{[ 1 ]}しかし、有理数距離を持つ点の集合は他にも無限に存在する。例えば、単位円上で、Sを点の集合とする。

${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$

どこ${\displaystyle \theta }$は、${\displaystyle \tan {\tfrac {\theta }{4}}}$有理数であること。そのような各点について、両方とも${\displaystyle \sin {\tfrac {\theta }{2}}}$そして${\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}}$それ自体が合理的であり、もし${\displaystyle \theta }$そして${\displaystyle \varphi }$S内の 2 つの点を定義すると、それらの距離は有理数になります。

${\displaystyle \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}-2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right|.}$

より一般的には、半径の円${\displaystyle \rho }$互いに有理距離にある点の密な集合を含むのは、${\displaystyle \rho ^{2}}$は有理数である。^{[ 2 ]}ただし、これらの集合は円上でのみ稠密であり、平面全体では稠密ではない。

1946年、スタニスワフ・ウラムは、ユークリッド平面の稠密部分集合を形成する、互いに有理距離にある点の集合が存在するかどうかを問いかけた。^{[ 2 ]}この問いに対する答えはまだ未解決だが、ヨジェフ・ソリモシとフランク・デ・ゼーウは、有理距離にある無限個の点を含む既約代数曲線は直線と円のみであることを示した。^{[ 3 ]}テレンス・タオとジャファル・シャファフは、ボンビエリ・ラング予想が正しい場合、同じ方法で平面上に有理距離にある無限稠密点集合が存在しないことを示すことができることを独自に観察した。^{[ 4 ] [ 5 ]}ヘクター・パステンは、異なる方法を用いて、abc予想がエルデシュ・ウラム問題の否定解も意味することを証明した。 ^{[ 6 ]}

エルデシュ・ウラム問題に正の解が存在するならば、ボンビエリ・ラング予想^{[ 4 ] [ 5 ]}とabc予想^{[ 6 ]}に対する反例となる。また、すべての距離が整数となる平面グラフの描画の存在に関するハーボース予想も解決する。有理距離の密な集合が存在するならば、平面グラフの任意の直線描画を（交差を導入することなく）わずかに摂動させて、この集合の点を頂点として使用し、距離が整数になるようにスケーリングすることができる。しかし、エルデシュ・ウラム問題と同様に、ハーボース予想は未だ証明されていない。