均一な境界

数学において、一様有界関数 族とは、すべて同じ定数で有界となる有界関数族のことです。この定数は、族内の任意の関数の任意の値の 絶対値以上です。

させて

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}}$

を でインデックス付けされた関数の族とする。ここで は任意の集合であり、 は実数または複素数の集合である。実数が存在するとき、一様有界であるとは、 ${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

一般に、 を計量 を持つ計量空間とすると、集合 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

が一様有界であるとは、 との 実数から成り、${\displaystyle a}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

• 有界関数の一様収束するシーケンスはすべて一様有界です。
• 整数を通過する実数 に対して定義された関数の族は、1 によって一様に制限されます。${\displaystyle f_{n}(x)=\sin nx}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$
• 上記の族の導関数族は一様に有界ではない。それぞれは有界であるが、すべての整数に対して${\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx,}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle |n|,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle |n|\leq M}$${\displaystyle n.}$

• Ma, Tsoy-Wo (2002).バナッハ-ヒルベルト空間、ベクトル測度、群表現。World Scientific。620 ページ。ISBN 981-238-038-8。