単純な連分数

単純または通常の連分数は、分子がすべて1で、分母が整数の列で構成されている連分数です。この列は有限または無限であり、結果として次のような 有限（または終了）連分数になります。${\displaystyle \{a_{i}\}}$

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}$

または無限連分数のように

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}$

通常、このような連分数は、ある数をその整数部分と別の数の逆数との和として表し、次にこの別の数をその整数部分と別の逆数との和として表すという繰り返しのプロセスを通じて得られます。有限の場合、反復/再帰は、別の連分数の代わりに整数を使用することで、有限回数のステップ後に停止します。対照的に、無限連分数は無限式です。どちらの場合も、最初の整数を除くシーケンス内のすべての整数は正でなければなりません。整数は連分数の係数または項と呼ばれます。 ^[1]${\displaystyle a_{i}}$

単純な連分数は、整数や実数に対するユークリッドの互除法に関連するいくつかの注目すべき特性を持っています。すべての有理数は、 ${\displaystyle p}$/${\displaystyle q}$⁠ には有限連分数として密接に関連した 2 つの表現があり、その係数a _{i は}ユークリッドの互除法を に適用することで決定できます。無限連分数の数値は無理数です。これは、有限連分数の値のシーケンスの極限として、その無限の整数シーケンスから定義されます。シーケンスの各有限連分数は、無限連分数の定義整数シーケンスの有限プレフィックスを使用することで得られます。さらに、すべての無理数は一意の無限正規連分数の値であり、その係数は、通約不可能な値および 1に適用されるユークリッドの互除法の非終了バージョンを使用して見つけることができます。実数 (有理数および無理数) を表現するこの方法は、連分数表現と呼ばれます。 ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$

例えば、有理数 ⁠を考えてみましょう。415/93⁠ 、これは約 4.4624 です。最初の近似値として、整数部分である 4 から始めます。415/93⁠ = 4 + ⁠43/93⁠。小数部分は⁠の逆数です。93/43⁠約2.1628です。整数部分2を逆数の近似値として使用して、4 + ⁠の2番目の近似値を取得します。1/2⁠ = 4.5. さて、⁠93/43⁠ = 2 + ⁠7/43⁠ ; 残りの小数部分、 ⁠7/43⁠ は⁠の逆数です。43/7⁠、および⁠43/7⁠は約 6.1429 です。これに近似値として 6 を使用すると、2 + ⁠が得られます。1/6⁠の近似値として⁠93/43⁠および4 + ⁠1/2 + ⁠1/6⁠⁠、約4.4615、3番目の近似値として。さらに、 ⁠43/7⁠ = 6 + ⁠1/7最後に小数部分、 ⁠1/7⁠は 7 の逆数なので、このスキームでの近似値 7 は正確です ( ⁠7/1⁠ = 7 + ⁠0/1⁠ ）と、 ⁠の正確な式を生成します$${\displaystyle 4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}}$$415/93⁠ .

この式は連分数表現と呼ばれます。415/93これは省略表記で表すことができます⁠415/93⁠ = [4; 2, 6, 7]。（最初のカンマだけをセミコロンに置き換えて、その前の数字が整数部分であることを示すのが通例です。）古い教科書の中には、( n + 1)組ですべてカンマを使うものもあります。たとえば、[4, 2, 6, 7]です。^{[2] [3]}

開始数が有理数の場合、このプロセスは、数の分子と分母に適用されるユークリッドの互除法とまったく同じです。特に、このプロセスは終了し、数の有限連分数表現を生成する必要があります。この表現で発生する整数のシーケンスは、ユークリッドの互除法によって計算される連続する商のシーケンスです。開始数が無理数の場合、プロセスは無限に続きます。これにより、すべてが有理数である近似値のシーケンスが生成され、これらは極限として開始数に収束します。これが数の (無限) 連分数表現です。無理数の連分数表現の例を次に示します。

• √ 19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...] ( OEISのシーケンスA010124 )。このパターンは 6 周期で無限に繰り返されます。
• e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...]OEISのシーケンスA003417)。このパターンは、各サイクルの項の 1 つに 2 が追加されることを除いて、周期 3 で無限に繰り返されます。
• π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] ( OEISのシーケンスA001203 )。この表現にはこれまでパターンが見つかっていない。
• Φ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] ( OEISのシーケンスA000012 )。黄金比は、有理的に近似するのが「最も難しい」無理数です(以下の § 黄金比 φ の特性を参照)。
• γ = [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,...] ( OEISのシーケンスA002852 )。オイラー・マスケロニ定数 は、無理数であることが予想されますが、無理数であるとは知られておらず、その連分数には明らかなパターンがありません。

連分数は、ある意味では、小数表現などの他の表現よりも「数学的に自然な」実数表現であり、いくつかの望ましい特性を持っています。

• 実数の連分数表現は、それが有理数である場合にのみ有限です。対照的に、有理数の小数表現は有限になる場合があります。たとえば、137/1600⁠ = 0.085625、または繰り返しサイクルで無限、例⁠4/27⁠ = 0.148148148148...
• すべての有理数は、本質的に一意な単純な連分数表現を持ちます。各有理数は、[ a ₀ ; a ₁ ,... a _{n −1} , a _n ] = [ a ₀ ; a ₁ ,... a _{n −1} ,( a _n −1),1]であるため、正確に 2 つの方法で表現できます。通常、最初の短い方が標準表現として選択されます。
• 無理数の単純な連分数表現は一意です。(ただし、一般化連分数を使用すると追加の表現が可能になります。以下を参照してください。)
• 連分数が最終的に繰り返される実数は、まさに2次無理数です。^[4]たとえば、循環連分数[1;1,1,1,...]は黄金比であり、循環連分数[1;2,2,2,...]は2 の平方根です。対照的に、2次無理数の小数表現は明らかにランダムです。完全な平方ではないすべての（正の）整数の平方根は2次無理数であり、したがって一意の周期連分数です。
• 数値の連分数表現を求める際に生成される逐次近似値、つまり連分数表現を切り捨てることによって生成される逐次近似値は、ある意味では（以下で説明）「可能な限り最良」のものです。

標準形の連分数は、次の形式の表現である。

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}}$

ここでa _{i は}整数であり、連分数の係数または項と呼ばれる。 ^[1]

式に有限個の項が含まれる場合、有限連分数と呼ばれます。式に無限個の項が含まれる場合、無限連分数と呼ばれます。^[5] 項がある時点から最終的に繰り返される場合、連分数は周期的と呼ばれます。^[4]

したがって、次のすべては有効な有限単純連分数を示しています。

次のような形の単純な連分数の場合

${\displaystyle r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}}$

この項は次の再帰式を使用して計算できます。 ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {N_{n}}{N_{n+1}}}\right\rfloor }$

どこでそして${\displaystyle N_{n+1}=N_{n-1}{\bmod {N}}_{n}}$${\displaystyle {\begin{cases}N_{0}=r,\\N_{1}=1,\end{cases}}}$

これから、 の場合にシーケンスが停止することがわかります。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle N_{n+1}=0}$

次のように表される連分数を考える。

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}}}}}}}}}}$

このような連分数表現は垂直方向のスペースをかなり占有する可能性があるため、それを縮小するためのさまざまな方法が試みられてきました。

ゴットフリート・ライプニッツは時々^{[6]という表記法を使った。}

${\displaystyle {\begin{aligned}x=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}}}{{} \atop +}\\[28mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{2}}}{{} \atop +}\\[2mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{3}}}{{} \atop +}\end{aligned}}\!{\begin{aligned}\\[2mu]{\dfrac {1}{a_{4}}},\end{aligned}}}$

そして後に同じアイデアがさらに発展し、例えばアルフレッド・プリンシャイムによって、入れ子になった分数線が一列に描かれるようになった 。

${\displaystyle x=a_{0}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{1}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{2}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{3}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{4}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}},}$

または、より一般的な関連表記法として^[7]

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}\,{1 \over a_{2}+}\,{1 \over a_{3}+}\,{1 \over a_{4}}}$

または

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}}{{} \atop +}{1 \over a_{2}}{{} \atop +}{1 \over a_{3}}{{} \atop +}{1 \over a_{4}}.}$

カール・フリードリヒ・ガウスは、和の記法を彷彿とさせる記法を使用した。

${\displaystyle x=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {4}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a_{i}}},}$

または分子が常に1の場合は分数バーを完全に削除し、リスト形式で記述します。

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}].}$

リスト形式の表記では山括弧が使用されることもあります。

${\displaystyle x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right\rangle .}$

角括弧や山括弧の表記法ではセミコロンがカンマに置き換えられることがある。^{[2] [3]}

無限単純連分数を極限として定義することもできます。

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots \,]=\lim _{n\to \infty }\,[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].}$

この限界は、 および正の整数の任意の選択に対して存在する。^{[8] [9]}${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$

実数⁠ ⁠${\displaystyle r}$を考えます。および⁠ ⁠とします。⁠ ⁠のとき、 の連分数表現は⁠ ⁠であり 、 は⁠ ⁠の連分数表現です。⁠ ⁠のとき、 は⁠ ⁠の整数部分であり、は⁠ ⁠の小数部分です。 ${\displaystyle i=\lfloor r\rfloor }$${\displaystyle f=r-i}$${\displaystyle f\neq 0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle [i;a_{1},a_{2},\ldots ]}$${\displaystyle [a_{1};a_{2},\ldots ]}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

数 の連分数表現を計算するには、の下限を書き出します。この値を から引きます。差が 0 の場合は停止し、それ以外の場合は差の逆数を求めて繰り返します。 が有理数の場合にのみ、手順は停止します。このプロセスは、数が有理数の場合、ユークリッドの互除法を使用して効率的に実装できます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

以下の表は、数値⁠ ⁠${\displaystyle 3.245=649/200}$に対するこの手順の実装を示しています。

⁠ ⁠${\displaystyle 3.245}$の連分数は次のように展開されます。 ${\displaystyle [3;4,12,4],}$

$${\displaystyle {\frac {649}{200}}=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}.}$$

正の有理数とその逆数の連分数表現は、それぞれ数が 1 より小さいか大きいかに応じて 1 桁左または右にシフトすることを除いて同一です。言い換えると、 と で表される数は 逆数です。 ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$${\displaystyle [0;a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}]}$

例えば、が整数の場合 、${\displaystyle a}$${\displaystyle x<1}$

${\displaystyle x=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}$そして。${\displaystyle {\frac {1}{x}}=a+{\frac {1}{b}}}$

もしそうなら ${\displaystyle x>1}$

${\displaystyle x=a+{\frac {1}{b}}}$そして。${\displaystyle {\frac {1}{x}}=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}$

連分数の剰余を生成する最後の数は、その逆数とその両方で同じです。 ${\displaystyle x}$

例えば、

${\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]}$そして。${\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]}$

すべての有限連分数は有理数を表し、すべての有理数は、最初の係数が整数で、他の係数が正の整数であるという条件で、有限連分数として正確に 2 つの異なる方法で表すことができます。これら 2 つの表現は、最終項を除いて一致します。長い表現では、連分数の最終項は 1 です。短い表現では、最後の 1 が省略されますが、新しい最終項は 1 だけ増加します。したがって、短い表現の最後の要素は、存在する場合、常に 1 より大きくなります。記号では、

[ a ₀ ; a ₁、a ₂、 ...、a _{n − 1}、a _n、 1] = [ a ₀ ; a ₁、a ₂、 ...、a _{n − 1}、a _n + 1]。

[ a ₀ ; 1] = [ a ₀ + 1]。

すべての無限連分数は無理数であり、すべての無理数は無限連分数として正確に 1 つの方法で表すことができます。

無理数の無限連分数表現は、その最初の部分がその数の有理近似値を提供するので有用である。これらの有理数は連分数の収束点と呼ばれる。 ^{[10] [11]}連分数の項が大きいほど、対応する収束点は近似される無理数に近くなる。π のような数は連分数に大きな項が時々あるため、有理数で近似するのは簡単である。e のような他の数は連分数の初めの方に小さな項しかないため、有理数で近似するのはより困難である。黄金比Φ はどこでも項が 1 に等しく、可能な限り最小の値であるため、Φ は有理数で近似するのが最も難しい数である。したがって、この意味では、これはすべての無理数の中で「最も無理」である。偶数の収束点は元の数よりも小さく、奇数の収束点は大きくなる。

連分数[ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ...]の場合、最初の4つの収束値（0から3の番号）は

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{1}},\,{\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\,{\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\,{\frac {a_{3}{\bigl (}a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}{\bigr )}+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.}$

3 番目の収束式の分子は、2 番目の収束式の分子に 3 番目の係数を掛け、1 番目の収束式の分子を加算することで形成されます。分母も同様に形成されます。したがって、各収束式は、連続分数と呼ばれる特定の多変数多項式の比として、連分数で明示的に表現できます。

分子がh ₁、h ₂、...、分母がk ₁、k ₂ 、...である連続収束が見つかった場合、関連する再帰関係はガウス括弧の関係です。

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}&=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\\[3mu]k_{n}&=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.\end{aligned}}}$

連続収束関数は次式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.}$

したがって、有理近似に新しい項を組み込むには、前の 2 つの収束値のみが必要です。最初の「収束値」（最初の 2 つの項に必要な値）は⁰ ⁄ ₁と¹ ⁄ ₀です。たとえば、[0;1,5,2,2] の収束値は次のとおりです。

バビロニア法を使用して整数の平方根の逐次近似値を生成する場合、最小の整数を第 1 近似値として開始すると、生成された有理数はすべて連分数の収束値のリストに表示されます。具体的には、近似値は収束値リストの位置 0、1、3、7、15、...、  2 ^k −1、... に表示されます。たとえば、の連分数展開は[1; 1、2、1、2、1、2、1、2、...]です。収束値をバビロニア法から導出された近似値と比較すると、次のようになります。 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

x ₀ = 1 = ⁠1/1⁠

x ₁ = ⁠1/2⁠ (1 + ⁠3/1⁠ ) = ⁠2/1⁠ = 2

x ₂ = ⁠1/2⁠ (2 + ⁠3/2⁠ ) = ⁠7/4⁠

x ₃ = ⁠1/2⁠（⁠7/4⁠ + ⁠3/⁠7/4⁠⁠ ) = ⁠97/56⁠

ベール空間は、自然数の無限列上の位相空間である。無限連分数は、ベール空間から無理実数の空間への同相写像を提供する（部分空間位相は、実数上の通常の位相から継承される）。無限連分数は、2次無理数と2次有理数との間の写像、および他の無理数から2進数の無限列の集合（つまり、カントール集合）への写像も提供する。この写像はミンコフスキー疑問符関数と呼ばれる。この写像には興味深い自己相似フラクタル特性があり、これらはモジュラー群 によって与えられ、モジュラー群は、変換において整数値を持つメビウス変換の部分群である。大まかに言えば、連分数収束は（双曲）上半平面に作用するメビウス変換と見なすことができ、これがフラクタルの自己対称性につながる。

(0, 1)に一様分布する確率変数の連分数展開における係数の極限確率分布はガウス・クズミン分布である。

が正の整数の無限シーケンスである場合、シーケンスとを再帰的に定義します。 ${\displaystyle \ a_{0}\ ,}$ ${\displaystyle a_{1}\ ,}$ ${\displaystyle a_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \ldots \ }$${\displaystyle \ h_{n}\ }$${\displaystyle \ k_{n}\ }$

定理1.任意の正の実数に対して${\displaystyle \ x\ }$

${\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1},x\ \right]={\frac {x\ h_{n-1}+h_{n-2}}{\ x\ k_{n-1}+k_{n-2}\ }},\quad \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1}+x\ \right]={\frac {h_{n-1}+xh_{n-2}}{\ k_{n-1}+xk_{n-2}\ }}}$

定理2.の収束は次のように与えられる。 ${\displaystyle \ [\ a_{0}\ ;}$ ${\displaystyle a_{1}\ ,}$ ${\displaystyle a_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ldots \ ]\ }$

${\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n}\ \right]={\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}~.}$

またはマトリックス形式では、$${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}$$

定理3.連分数に収束する数 が${\displaystyle \ n}$${\displaystyle \ {\frac {h_{n}}{k_{n}}}\ ,}$

${\displaystyle k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}=(-1)^{n}\ ,}$

または同等

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-1}}{\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n-1}\ k_{n}\ }}~.}$

系 1:それぞれの収束は最小の項で行われます (と に非自明な共通約数がある場合、それらは割り切れますが、これは不可能です)。 ${\displaystyle \ h_{n}\ }$${\displaystyle \ k_{n}\ }$${\displaystyle \ k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}\ ,}$

系2:連続する収束関数間の差は分子が1である分数である:

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {\ h_{n}\ k_{n-1}-k_{n}\ h_{n-1}\ }{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}~.}$

系 3:連分数は、一連の交互項と同等です。

${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}$

帰結4:マトリックス

${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

は行列式 を持ち、したがってユニモジュラ行列の群に属する 。${\displaystyle (-1)^{n+1}}$${\displaystyle \ 2\times 2\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )~.}$

系5:行列 には行列式、つまり奇数項は単調に減少し、偶数項は単調に増加することを意味します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-2}\\k_{n}&k_{n-2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{n-1}&h_{n-2}\\k_{n-1}&k_{n-2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}&0\\1&1\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle (-1)^{n}a_{n}}$$${\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-2}}{\ k_{n-2}\ }}={\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n-2}\ k_{n}\ }}a_{n}}$$

系6:分母数列は再帰関係 を満たし、少なくともフィボナッチ数列と同じ速さで増加します。フィボナッチ数列 自体は のように増加します。ここでは黄金比です。 ${\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2},\dots }$${\displaystyle k_{-1}=0,k_{0}=1,k_{n}=k_{n-1}a_{n}+k_{n-2}}$${\displaystyle O(\phi ^{n})}$${\displaystyle \phi =1.618\dots }$

定理4.各(番目)の収束点は、先行する(番目)の収束点よりも後続の(番目)の収束点に近い。記号で表すと、番目 の収束点を${\displaystyle \ s}$${\displaystyle \ n}$${\displaystyle \ r}$${\displaystyle \ n}$${\displaystyle \ \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{n}\ \right]=x_{n}\ ,}$

${\displaystyle \left|\ x_{r}-x_{n}\ \right|>\left|\ x_{s}-x_{n}\ \right|}$

全ての${\displaystyle \ r<s<n~.}$

系1:偶数収束関数（番目の前）は継続的に増加するが、常に 未満である。${\displaystyle \ n}$${\displaystyle \ x_{n}~.}$

系2:奇数収束関数（番目の前）は継続的に減少するが、常に${\displaystyle \ n}$${\displaystyle \ x_{n}~.}$

定理5.

${\displaystyle {\frac {1}{\ k_{n}\ (k_{n+1}+k_{n})\ }}<\left|\ x-{\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}\ \right|<{\frac {1}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}$

系 1: 収束する分数は、分母が収束する分数よりも小さい分数よりも連分数の極限に近い。

系 2:連分数を大きな項の直前で終了させることによって得られる収束は、連分数の極限に近い近似値になります。

定理 6:端点 を持つすべての開区間の集合を考えます。これを と表記します。 の任意の開部分集合は からの集合の互いに素な和集合です。${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

系:無限連分数は、ベール空間から への同相写像を提供します。 ${\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }$

もし

${\displaystyle {\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}},{\frac {h_{n}}{k_{n}}}}$

が連続収束する場合、

${\displaystyle {\frac {h_{n-1}+mh_{n}}{k_{n-1}+mk_{n}}},}$

ここで、は整数で、 は半収束、二次収束、または中間分数と呼ばれます。- 番目の半収束は、 - 番目の半収束と収束の中分に等しくなります。この用語は、収束が半収束の一種であるという 意味ではなく、半収束であることが収束の可能性を排除する (つまり、 ) という意味で使われることもあります。${\displaystyle m}$${\displaystyle 0\leq m\leq a_{n+1}}$${\displaystyle (m+1)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\tfrac {h_{n}}{k_{n}}}}$${\displaystyle 0<m<a_{n+1}}$

したがって、半収束は、収束( に対応) と( に対応) の間の単調な分数列を表します。連続する半収束と は、性質 を満たします。 ${\displaystyle {\tfrac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle {\tfrac {h_{n+1}}{k_{n+1}}}}$${\displaystyle m=a_{n+1}}$${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$

実数の有理数近似 値が、より小さい分母を持つ近似値よりも小さい場合、はの連分数展開の半収束になります。ただし、逆は真ではありません。 ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left|x-{\tfrac {p}{q}}\right|}$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle x}$

実数xの最良の有理近似を有理数として定義することもできます⁠ん/d⁠、d > 0 、これは、分母がこれより小さいか等しい近似値よりもxに近くなります。 xの単純な連分数を使用して、次の 3 つの規則を適用することで、 xの最良の有理近似値をすべて生成できます。

1. 連分数を切り捨て、その最後の項を選択した量（ゼロの場合もある）だけ減らします。
2. 短縮された用語は、元の値の半分未満になることはできません。
3. 最終項が偶数の場合、対応する半収束が前の収束よりも優れている場合にのみ、その値の半分が許容されます。(以下を参照)

たとえば、0.84375 の連分数は [0;1,5,2,2] です。以下に、その最良の有理近似値をすべて示します。

追加の項が含まれるにつれて分母が厳密に単調に増加するため、アルゴリズムは分母のサイズまたは近似値の近さのいずれかに制限を課すことができます。

上で述べた「半分の規則」によれば、 a _kが偶数の場合、半分の項a _k /2 は、 | x − [ a ₀  ; a ₁ , ..., a _{k − 1} ]| > | x − [ a ₀  ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k /2]| の場合にのみ許容され^{ます。 [12]}これは、Shoemake (1995) と 同等です。 ^[12]

[ a _k ; a _{k − 1} , ..., a ₁ ] > [ a _k ; a _{k + 1} , ...]。

xへの収束は、上で定義したものよりはるかに強い意味で「最良近似」です。つまり、n / d がxの収束となるのは、c ≤ dであるすべての有理近似m / c の類似表現の中で、 | dx − n | が最小の値を持つ場合のみです。つまり、 c < d である限り、 | dx − n | < | cx − m | となります。 ( k → ∞のとき、 | d k x − n k | → 0_となることに_も注意してください。)

0 < x < yの区間( x ,  y )に含まれる有理数は、xとy の連分数で見つけることができます。xとy が両方とも無理数で、

x = [ a ₀ ; a ₁、a ₂、 ...、a _{k − 1}、a _k、a _{k + 1}、 ...]

y = [ a ₀ ; a ₁、a ₂、 ...、a _{k − 1}、b _k、b _{k + 1}、 ...]

ここでxとy はk ₋₁まで同じ連分数展開を持ち、区間( x ,  y )_に含まれる有理数は有限連分数で与えられる。

z ( x , y ) = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , min( a _k , b _k ) + 1]

この有理数は、 ( x ,  y )内の他の有理数がこれより小さい分子や分母を持たないという意味で最適である。 ^{[13] [14]}

xが有理数の場合、有限の連分数表現x ₁とx ₂が2 つあり、同様に有理数 yにはy ₁とy _{2 の}2 つの表現があります。これらの表現の最後の係数を超える係数は+∞として解釈され、最適な有理数はz ( x ₁ ,  y ₁ )、z ( x ₁ ,  y ₂ )、z ( x ₂ ,  y ₁ )、またはz ( x ₂ ,  y ₂ )のいずれかになります。

例えば、10進数表現3.1416は、[3.14155, 3.14165)の範囲内の任意の数値から切り上げることができます。3.14155と3.14165の連分数表現は

3.14155 = [3; 7、15、2、7、1、4、1、1] = [3; 7、15、2、7、1、4、2]

3.14165 = [3; 7、16、1、3、4、2、3、1] = [3; 7、16、1、3、4、2、4]

そして、この2つの中で最も合理的なのは

[3; 7, 16] = ⁠355/113⁠ = 3.1415929....

したがって、⁠355/113⁠ は、丸められた小数 3.1416 に対応する最良の有理数です。つまり、3.1416 に丸められる他の有理数は、これより小さい分子または分母を持つことはありません。

有理数は、有限連分数として2つの方法で表現できます。

z = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k , 1] = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k + 1] = ⁠pk_​/qk_さん⁠

は、数が厳密に次の範囲にある場合に限り、連分数展開の収束式の1つとなる（この証明を参照）。

x = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k , 2] = ⁠2 pk - pk _{- 1}/2 q _k - q _k-1⁠と

y = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k + 2] = ⁠pk + pk _{-1 です。}/qk + qk _-1の⁠

数値xとy は、 zの 2 つの表現の最後の係数を増分することによって形成されます。kが偶数のときはx < yとなり、kが奇数のときはx > y となります。

たとえば、数字⁠355/113⁠連分数表現を持つ

⁠355/113⁠ = [3; 7、15、1] = [3; 7、16]

そしてこうして⁠355/113⁠ は、厳密に次の範囲の任意の数の収束数である。

アドリアン＝マリー・ルジャンドルは著書『数論の理論』（1798年）で、有理数が与えられた実数の連分数の収束となるための必要十分条件を導出している。^[15]この基準の結果は、連分数の研究ではルジャンドルの定理と呼ばれることが多く、次のようになる。 ^[16]

定理。α が実数で、 p 、 q が となる正の整数である場合、 p / qはαの連分数の収束数です。 ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$

この定理は、公開鍵と秘密鍵の選択を誤った場合に発生する可能性があるRSA暗号プロトコルの多項式時間攻撃であるウィーナー攻撃の基礎を形成します（具体的には、公開鍵n = pqの素因数がp < q < 2 pを満たし、秘密鍵dが(1/3) n1 ^/4未満の場合にこの攻撃が成功します）。^[18]

x = [ a ₀ ; a ₁ , ...]およびy = [ b ₀ ; b ₁ , ...]を考えます。k が a k と b k が等しくない最小のインデックスである場合、( ₋ 1 ₎ k ( a ^k − b _k ) < ₀であればx < yであり、それ以外の場合はy < xです。

そのようなkは存在しないが、一方の展開が他方よりも短い場合、つまり、x = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _n ]かつy = [ b ₀ ; b ₁ , ..., b _n , b _{n + 1} , ...]であり、a _i = bi ₍ 0 ≤ i ≤ n )である場合、nが偶数の場合はx < yであり、nが奇数の場合はy < xです。

πの収束を計算するには、a ₀ = ⌊ π ⌋ = 3と設定し、u ₁ = ⁠ と定義します。1/π − 3⁠ ≈ 7.0625かつa ₁ = ⌊ u ₁ ⌋ = 7、 u ₂ = ⁠1/₁ − 7う⁠ ≈ 15.9966かつa ₂ = ⌊ u ₂ ⌋ = 15、 u ₃ = ⁠1/₂ − 15う⁠ ≈ 1.0034 。このように続けると、 πの無限連分数は次のように

[3;7,15,1,292,1,1,...]（OEISの配列A001203）。

πの4番目の収束は[3;7,15,1] = ⁠355/113⁠ = 3.14159292035...、ミルとも呼ばれ、 πの真の値にかなり近い値です。

求められた商が上記のように [3;7,15,1] であると仮定します。以下は、連分数を展開せずにこれらの商から得られる収束分数をすぐに書き出すことができる規則です。

最初の商を1で割ると、最初の分数が得られるが、これは小さすぎる。つまり、⁠3/1⁠。次に、この分数の分子と分母に2番目の商を掛け、分子に1を加えると、2番目の分数が得られます。⁠22/7⁠、これは大きすぎます。同様に、この分数の分子と分母に 3 番目の商を掛け、分子に前の分数の分子を加え、分母に前の分数の分母を加えると、3 番目の分数が得られますが、これは小さすぎます。したがって、3 番目の商が 15 であるため、分子は(22 × 15 = 330) + 3 = 333、分母は(7 × 15 = 105) + 1 = 106 となります。したがって、3 番目の収束値は⁠333/106⁠ . 4 番目の収束についても同様に進めます。4 番目の商が 1 なので、333 を 1 倍すると 333 となり、これに前の分数の分子である 22 を加えると 355 になります。同様に、106 を 1 倍すると 106 となり、これに 7 を加えると 113 になります。このように、4 つの商 [3;7,15,1] を使用することで、4 つの分数が得られます。

⁠3/1⁠、⁠22/7⁠、⁠333/106⁠、⁠355/113⁠、....

まとめると、パターンは ${\displaystyle {\text{Numerator}}_{i}={\text{Numerator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Numerator}}_{(i-2)}}$ ${\displaystyle {\text{Denominator}}_{i}={\text{Denominator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Denominator}}_{(i-2)}}$

これらの収束値は、 πの真の値よりも小さくなったり大きくなったりしながら、 πにどんどん近づいていきます。与えられた収束値とπの差は、その収束値と次の収束値の分母の積の逆数よりも小さくなります。たとえば、分数⁠22/7⁠ はπより大きいが、⁠22/7⁠ − π は⁠より小さい1/7 × 106⁠  =  ⁠1/742⁠（実際、⁠22/7⁠ − πは⁠よりわずかに大きい1/791⁠ = ⁠1/7 × 113⁠）。

前述の性質の証明は、収束する分数の 1 つとそれに隣接する分数の差を求めると、分子が常に 1 で分母が 2 つの分母の積である分数が得られるという事実から導き出されます。したがって、⁠と ⁠ の差は、22/7⁠と⁠3/1⁠は⁠1/7⁠、過剰に; ⁠の間333/106⁠と⁠22/7⁠、⁠1/742⁠、赤字; 間⁠355/113⁠と⁠333/106⁠、⁠1/11978⁠、過剰、など。その結果、この差の級数を使用することで、ここで扱う分数を別の非常に簡単な方法で、分子がすべて 1 で、分母が連続して 2 つの隣接する分母の積になる 2 番目の分数級数によって表すことができます。上記の分数の代わりに、次の級数が得られます。

⁠3/1⁠ + ⁠1/1 × 7⁠ − ⁠1/7 × 106⁠ + ⁠1/106 × 113⁠ − ...

最初の項は、ご覧のとおり、最初の分数です。最初の項と2番目の項を合わせると、2番目の分数になります。22/7⁠ ; 1番目、2番目、3番目は3番目の分数になります⁠333/106⁠、残りも同様に繰り返し、結果としてシリーズ全体が元の値と等しくなります。

非単純連分数とは、次のような形式の表現である。

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

ここで、a _n ( n > 0) は部分分子、b _nは部分分母、そして先頭の項b ₀は連分数の 整数部と呼ばれます。

単純でない連分数の使用法を説明するために、次の例を考えてみましょう。 πの単純連分数の部分分母の順序には、明らかなパターンは見られません。

${\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots ]}$

または

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

ただし、 πのいくつかの非単純連分数は、次のように完全に規則的な構造を持ちます。

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1/2+{\cfrac {1}{1/3+{\cfrac {1}{1/4+\ddots }}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ddots }}}}}}}}}$

最初の2つはπ = 4 arctan (1)の逆正接関数の特殊なケースであり、4番目と5番目はワリス積を使って導くことができる。^{[19] [20]}

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}}{6\cdot 1^{2}+1^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}{6\cdot 2^{2}+2^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}}{6\cdot 3^{2}+3^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}}{6\cdot 4^{2}+\ddots }}}}}}}}}}}$

上記の立方体からなる連分数は、ニラカンタ級数とレオンハルト・オイラーの手法を用いている。^[21]${\displaystyle \pi }$

周期的な連分数展開を持つ数は、まさに有理係数を持つ二次方程式の無理数解です。有理数解は、前述のように有限の連分数展開を持ちます。最も単純な例は、黄金比φ = [1;1,1,1,1,1,...] と√ 2 = [1;2,2,2,2,...] であり、√ 14 = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] と√ 42 = [6;2,12,2,12,2,12...] です。整数の無理数平方根はすべて、周期に対して特殊な形式を持ちます。つまり、空の文字列 ( √ 2の場合) または 1,2,1 ( √ 14の場合)のような対称文字列の後に、先頭の整数の 2 倍が続きます。

φの連分数展開では1より大きい整数は使われないため、φは有理数で近似するのが最も「難しい」実数の一つである。ハーヴィッツの定理 ^[22]によれば、任意の無理数kは無限個の有理数で近似できる。メートル/ん⁠と

${\displaystyle \left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}$

事実上すべての実数k は、最終的には無限に収束するが、メートル/ん⁠ kからの距離がこの限界よりも大幅に小さい場合、φ の収束値（つまり、数⁠5/3⁠、⁠8/5⁠、⁠13/8⁠、⁠21/13⁠など）は一貫して「境界を踏み越え」、φ からほぼ正確に の距離を保っているため、たとえば⁠ほど印象的な近似値を生成することはありません。${\displaystyle {\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}}$355/113⁠ πの場合。また、 ⁠ の形式の任意の実数は、a + b φ/c + d φ⁠、ここでa、b、c、およびd はa  d − b  c = ±1を満たす整数であり、この特性は黄金比 φ と共有され、他のすべての実数はより厳密に近似できます。

πの単純な連分数展開には識別可能なパターンはありませんが、自然対数の底であるeにはパターンがあります。

${\displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ],}$

これは正の整数nに対するこの一般的な表現の特別なケースです。

${\displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}$

正の奇数nに対するこの連分数展開では、別のより複雑なパターンが出現します。

${\displaystyle e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,}$

n = 1の特別なケース:

${\displaystyle e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.}$

この種の他の連分数は

${\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]}$

ここでnは正の整数です。また、整数nの場合、

${\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,}$

n = 1の特別なケース:

${\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.}$

I _n ( x ) が第一種修正ベッセル関数、つまり双曲型ベッセル関数である場合、有理数上の関数を定義することができる⁠p/q⁠作成者

${\displaystyle S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},}$

これはすべての有理数に対して定義され、pとqは最小項である。したがって、すべての非負の有理数に対して、

${\displaystyle S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,\dots ],}$

負の有理数についても同様の式が成り立ち、特に

${\displaystyle S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ].}$

多くの式はガウスの連分数を使って証明できます。

ほとんどの無理数は、連分数展開において周期的または規則的な動作を示しません。ただし、単位区間上のほぼすべての数については、同じ極限動作を示します。

算術平均は発散し、係数は任意に大きくなります。特に、これはほとんどすべての数が十分に近似可能であることを意味します。つまり、キンチンは、 a _iの幾何平均は定数（キンチン定数として知られる）に近づくことを証明しました。ポール・レヴィは、n次収束の分母のn乗根がレヴィ定数に収束することを証明しました。ロックスの定理は、収束が指数的に次の速度で収束することを述べています。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=+\infty }$${\displaystyle \limsup _{n}a_{n}=+\infty }$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|q_{n}^{2}=0}$$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2.6854520010\dots }$$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }q_{n}^{1/n}=e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.2758\ldots }$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$$

連分数はペル方程式を解く上で重要な役割を果たします。たとえば、正の整数pとq、および非平方の整数nの場合、 p ² − nq ² = ±1であれば、次の式が成り立ちます。p/q⁠ は√ nの正規連分数の収束関数である。√ nの正規連分数の周期が 1 の場合には逆が成り立ち、一般に周期はどの収束関数がペル方程式の解を与えるかを表す。 ^[23]

連分数は、力学系の研究でも役割を果たしており、マンデルブロ集合に見られるファレー分数をミンコフスキーの疑問符関数やモジュラー群ガンマと結び付けています。

連分数の後方シフト演算子は、ガウス写像と呼ばれる写像h ( x ) = 1/ x − ⌊1/ x ⌋であり、連分数展開h ([0; a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...]) = [0; a ₂ , a ₃ , ...]の桁を切り捨てます。この写像の転送演算子は、ガウス・クズミン・ウィルシング演算子と呼ばれます。連分数の桁の分布は、この演算子の 0 番目の固有ベクトルによって与えられ、ガウス・クズミン分布と呼ばれます。

• 紀元前 300 年ユークリッドの『原論』には最大公約数のアルゴリズムが含まれており、その現代版では、連続するユークリッド除算の商の列として連分数を生成します。
• 499アーリヤバーティヤには連分数を使った不定方程式の解法が含まれている
• 1572ラファエル・ボンベッリ、「L'Algebra Opera」 - 連分数に関連する平方根の抽出方法
• 1613ピエトロ カタルディ、Trattato del modo brevissimo di trovar la radicequadra delli numeri – 連分数の最初の記法

カタルディは連分数を& & &として表し、点は次の分数が入る場所を示しました。${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}}$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}}$${\displaystyle {\frac {n_{3}}{d_{3}\cdot }}}$

• 1695ジョン・ウォリス、オペラ・マテマティカ- 「連分数」という用語の導入
• 1737レオンハルト・オイラー、論文「連分数について」 – 連分数の性質について当時としては初めて包括的な説明を提供し、数eが無理数であることの最初の証明も含まれていた。^[24]
• 1748年オイラー『無限解析入門』第1巻第18章では、ある形式の連分数と一般化された無限級数の同値性を証明し、すべての有理数は有限の連分数として表すことができることを証明し、無理数の連分数は無限であることを証明した。^[25]
• 1761ヨハン・ランベルト– tan(x)の連分数を用いてπの無理数を初めて証明した。
• 1768ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ– ボンベリの連分数法に似た連分数法を用いてペル方程式の一般解を提示した。
• 1770 ラグランジュ –二次無理数が周期連分数に展開されることを証明した。
• 1813カール・フリードリヒ・ガウス、Werke、第3巻、pp. 134-138 –超幾何関数を含む巧妙な恒等式を介して非常に一般的な複素数値連分数を導出した。
• 1892年アンリ・パデがパデ近似を定義した
• 1972ビル・ゴスパー– 連分数演算のための最初の正確なアルゴリズム。

• 完全な商
• 平方根の連分数の計算 – 平方根を計算するアルゴリズム
• エジプト分数 – 異なる単位分数の有限和
• エンゲル展開 – 正の実数を、それぞれが次の数の整数倍である一連の単位分数に分解する。Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• オイラーの連分数公式 – 非常に一般的な無限級数を無限連分数と結び付けます。
• 反復二項演算 – シーケンスに対する演算の繰り返し適用
• クライン多面体 – 数の幾何学における概念
• 連分数表現による数学定数
• 制限された部分商 – 解析級数
• シュテルン・ブロコット木 – 有理数の順序付き二分木

• Bunder, Martin W.; Tonien, Joseph (2017). 「2 つの調和連分数の閉じた形式の表現」. The Mathematical Gazette . 101 (552): 439–448. doi :10.1017/mag.2017.125. S2CID  125489697.

• Chen, Chen-Fan; Shieh, Leang-San (1969). 「Routh のアルゴリズムによる連分数反転」. IEEE Trans. Circuit Theory . 16 (2): 197–202. doi :10.1109/TCT.1969.1082925.

• Collins, Darren C. (2001)。「連分数」(PDF)。MIT Undergraduate Journal of Mathematics。2001-11-20のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

• Cuyt, A.; Brevik Petersen, V.; Verdonk, B.; Waadeland, H.; Jones, WB (2008).特殊関数の連分数ハンドブック。Springer Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2。

• ブリタニカ百科事典 (2013)。「連分数 - 数学」。2022年4月26日閲覧。

• オイラー、レオンハルト（1748年）。「E101 – 無限解析入門、第1巻」。オイラーアーカイブ。 2022年4月26日閲覧。

• フォスター、トニー (2015 年 6 月 22 日)。「今日の定理: 定理 203」(PDF)。ロビン・ウィッティ。2013年 12 月 11 日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。2022 年4 月 26 日閲覧。

• Gragg, William B. (1974). 「連分数アルゴリズムの行列解釈と応用」Rocky Mountain J. Math . 4 (2): 213. doi : 10.1216/RMJ-1974-4-2-213 . S2CID  121378061.

• ハーディ、ゴッドフリー H.; ライト、エドワード M. (2008 年 12 月) [1979]。数論入門(第 6 版)。オックスフォード大学出版局。ISBN 9780199219865。

• ハイラーマン、JBH (1846)。 「ウーバーはケッテンブリュッヒのフェルヴァンドルング・フォン・ライヘンに死んだ」。数学に関するジャーナル。33 : 174–188。

• ジョーンズ、ウィリアム B. 、スロン、WJ (1980)。連分数: 解析理論と応用。数学とその応用百科事典。第 11 巻。読書。マサチューセッツ州: Addison-Wesley Publishing Company。ISBN 0-201-13510-8。

• Khinchin, A. Ya. (1964) [ 1935年にロシア語で最初に出版]。Continued Fractions。シカゴ大学出版局。ISBN 0-486-69630-8。

• ロング、カルビン T. (1972 年 12 月)。初等数論入門(第 2 版)。レキシントン: DC Heath and Company。ISBN 9780669627039。

• Magnus, Arne (1962)。「パデ表に関連する連分数」。Math . Z. 78 : 361–374. doi :10.1007/BF01195180. S2CID  120535167。

• ニーヴン、イヴァン、ザッカーマン、ハーバート・S、モンゴメリー、ヒュー・L (1991)。数論入門（第5版）。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0-471-62546-9。

• ペロン、オスカー(1950)。ディ・レーレ・フォン・デン・ケッテンブリュヘン。ニューヨーク州ニューヨーク: Chelsea Publishing Company。

• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970 年 12 月)。数論の要素。イングルウッド クリフス: Prentice Hall。ISBN 9780132683005。

• リーガー、ゲオルク・ヨハン (1982)。 「実数への新しいアプローチ (連分数を動機とする)」(PDF)。Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft。33 : 205–217。2020 年 12 月 10 日にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。

• ロケット、アンドリュー M.; シュズ、ピーター (1992)。連分数。ワールドサイエンティフィックプレス。ISBN 981-02-1047-7。

• サンディファー、C. エドワード (2006)。「第 32 章: eが無理数であることを証明したのは誰か?」オイラーの証明法(PDF)。アメリカ数学協会。pp. 185–190。ISBN 978-0-88385-563-8LCCN 2007927658。2014年3月19日時点のオリジナルより アーカイブ（PDF） 。

• Scheinerman, Ed; Pickett, Thomas J.; Coleman, Ann (2008). 「π のもう一つの連分数」.アメリカ数学月刊誌. 115 (10): 930–933. doi :10.1080/00029890.2008.11920610. JSTOR  27642639. S2CID  11914017.

• Shoemake, Ken (1995)。「I.4: 有理近似」。Paeth, Alan W. (編)。Graphics Gems V (IBM バージョン)。カリフォルニア州サンディエゴ: Academic Press。pp. 25–31。ISBN 0-12-543455-3。

• ジーベック、H. (1846)。 「Ueber periodische Kettenbrüche」。数学に関するジャーナル。33：68～70。

• Thill, M. (2008). 「有理数のより正確な丸めアルゴリズム」.コンピューティング. 82 (2–3): 189–198. doi :10.1007/s00607-008-0006-7. S2CID  45166490.

• サーストン、ベン (2012)。「平方根の推定、あらゆる平方根に対する一般化された連分数表現」ベン・ポール・サーストンのブログ。 2022年4月26日閲覧。

• ウォール、ヒューバート・スタンレー（1948年）。連分数の解析理論。D.ヴァン・ノストランド社、ISBN 0-8284-0207-8。

• Weisstein, Eric Wolfgang (2022). MathWorld (ed.). 「周期的連分数」 . 2022年4月26日閲覧。

• 「連分数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Knott, Ron (2018). 「連分数（オンライン複合連分数計算機が利用可能です）」。2022年4月26日閲覧。

• Linas Vepstas の「Continued Fractions and Gaps (2004)」では、連分数の混沌とし​​た構造について解説しています。
• cut-the-knotにおける Stern-Brocot ツリーの連分数
• アンティキティラ島の機械 I: ギア比と連分数 2009-05-04 にWayback Machineでアーカイブ
• 連分数計算機、WIMS。
• 連分数演算 ゴスパーの最初の連分数論文。未発表。インターネット アーカイブのWayback Machineにキャッシュされています。
• Weisstein、Eric W.「連分数」。MathWorld。
• Stephen Wolframによる Continued Fractionsおよび Michael Trott による Continued Fraction approximations of the Tangent Function、Wolfram Demonstrations Project。
• OEISシーケンス A133593 (円周率の「正確な」連分数)
• 連分数 {1; 1, 1, 1, ...} の「分数補間」の概要
• 連分数による最良有理近似
• 連分数（CD オールズ著）