エルゴード性

簡単な例として、コイン投げを考えてみましょう。同じ偏りのあるコインを確率で永遠に投げ続けるとします。${\displaystyle p}$各トスでの表の回数。結果として得られる定常過程はエルゴード的である。確率がゼロの事象を除いて、シーケンスに永続的な統計的ラベルは付与されない。特に、表の長期的な頻度は${\displaystyle p}$ほぼすべてのシーケンスについて。^{[ 6 ] [ 2 ]}

対照的に、コインを投げる前に、2枚のコインのうち1枚がランダムに選ばれると仮定します。1枚のコインの確率は${\displaystyle p_{1}}$表が出て、もう一方の確率は${\displaystyle p_{2}}$選ばれたコインはその後永遠に投げられます。このプロセスは定常的ですが、エルゴード的ではありません。隠されたコインの選択は、無限のシーケンス全体に関する不変の事実であり、プロセスを統計的に異なる 2 つのコンポーネントに分離します。^{[ 7 ] [ 5 ]}

測度保存力学系では、この考え方は、すべての不変可測集合は測度ゼロか完全測度のいずれかを持つという形で表現されます。^{[ 4 ]}同様に、測度ゼロの集合を除いて、システムは正の測度の 2 つの不変部分に分解することはできません。

エルゴード性とは、エルゴード定理を通して時間平均と空間平均が等しいことと関連付けられる概念である。これは、ランダム性、混合、カオス、あるいは個々の軌道が空間のあらゆる場所を訪れるという主張と混同してはならない。

もう一つの基本的な例は、円の回転から得られる。^{[ 8 ]}${\displaystyle R_{\alpha }}$円を角度だけ回転させる${\displaystyle 2\pi \alpha }$ラジアン。${\displaystyle n}$反復回数によって、点が回転しました${\displaystyle 2\pi n\alpha }$。

もし${\displaystyle \alpha }$合理的だ、例えば${\displaystyle \alpha =p/q}$最小項では、すべての点が周期的である。${\displaystyle q}$反復すると元の位置に戻ります。円上のルベーグ測度に関して、この回転はエルゴード的ではありません。たとえば、非定数関数

${\displaystyle f(e^{i\theta })=\cos(q\theta )}$

は回転に対して不変である。${\displaystyle \theta }$による${\displaystyle \theta +2\pi p/q}$変更しない${\displaystyle \cos(q\theta )}$円は、次のようなより小さな不変の断片に分割できます。${\displaystyle a<\cos(q\theta )<b}$。

もし${\displaystyle \alpha }$が無理数である場合、すべての点の軌道は円の中に密集する。実際、無理数回転はルベーグ測度に関してエルゴード的である。回転の下で不変な可測集合はすべて、測度がゼロか、または完全な測度を持つ。したがって、このシステムは多くの異なる個々の軌道を持つが、不変な統計的成分への非自明な可測分解は存在しない。

この例は、エルゴード性が混合性よりも弱いことも示している。無理回転はエルゴード的であるが、混合性はない。

エルゴード性の測度論的定義では、基本データは測度空間である。${\displaystyle X}$状態空間は無限に続く結果のシーケンスの空間とみなすことができ、時間発展はこの空間上のシフトマップです。回転の例では、状態空間は円であり、時間発展は回転の繰り返し適用です。どちらも離散時間力学系の例です。空間の要素は${\displaystyle X}$システムの可能な状態です。測定可能な集合とは、理論が長さ、面積、体積、確率などの尺度を割り当てる状態の集合です。空間${\displaystyle X}$シグマ代数を搭載しています$\displaystyle {\mathcal {B}}}$測定が許可されているセット。

いつ${\displaystyle X}$が区間、円、多様体などの位相空間である場合、通常は開集合によって生成されるボレルσ代数が選択されることが多い。確率の例では、可測集合は事象である。たとえば、無限に続くコイン投げのシーケンスでは、「最初の投げが表である」という事象は可測であり、「表の長期的な頻度が存在し、に等しい」という事象も同様である。${\displaystyle p}$「。

集合は、測度ゼロの集合を除いて、時間発展によってその集合への所属が変化しない場合、不変である。変換の場合${\displaystyle T:X\to X}$これは通常次のように書かれます。

${\displaystyle T^{-1}A=A}$

あるいは、より一般的には、集合の対称差を次のように表す。${\displaystyle \Delta }$:

${\displaystyle \mu (T^{-1}A\triangle A)=0.}$

（離散時間）測度保存システムは、したがってペアである。${\displaystyle (X,T)}$どこ${\displaystyle X}$は測定空間であり、${\displaystyle T}$これは、尺度を保存する変換です。

不変な可測集合は、動態下で持続する状態の統計的性質を表す。エルゴード性とは、そのような持続的な可測性質はすべて自明であるということであり、それはほとんどどこにも成り立たない（つまり、測度がゼロの集合上でのみ成り立つ）か、ほとんどどこにでも成り立つ（つまり、測度がゼロの集合を除くすべての場所で成り立つ）かのいずれかである。

エルゴード性の本来の動機は統計力学から来ている。^{[ 9 ] [ 10 ]}古典力学では、システムの状態は位相空間内の点によって表される。例えば、気体中のすべての粒子の位置と運動量などである。システムの時間発展は、この点を位相空間内で移動させる。

孤立したハミルトン系ではエネルギーが保存されるため、運動はエネルギー面内に限定される。

${\displaystyle H(q,p)=E.}$

ハミルトニアンの流れは、リウヴィル測度と呼ばれる自然な位相空間の体積を保存します。^{[ 11 ] [ 12 ]}エネルギー面に制限すると、ミクロカノニカルアンサンブルの基礎となる測度が得られます。^{[ 10 ]}

物理的な問題は、あるシステムの実際の運動に沿った長時間平均を、対応するエネルギー面上の平均で置き換えることができるかどうかであった。${\displaystyle f}$これは、時間平均など

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}f(\phi _{t}(x))\,dt}$

典型的な初期状態については、同意する。${\displaystyle x}$は、ガス中の多数の粒子の状態を表し、平均は${\displaystyle f}$エネルギー曲面全体にわたって。エルゴード仮説は、この置き換えを正当化するための初期の試みであった。

現代の測度論の言葉では、エルゴード性とは、軌道がエネルギー面のすべての点を文字通り通過することを意味するものではありません。むしろ、選択された不変測度に関して、システムがより小さな統計的構成要素に分解される不変な可測分解が存在しないことを意味します。適切な仮定の下では、エルゴード定理は、多くの観測量について時間平均と空間平均が等しいことを示唆します。^{[ 4 ] [ 2 ]}

統計力学では、エルゴード性は、観測量の長時間平均を不変アンサンブルの平均に置き換えることを正当化するために用いられます。孤立したハミルトン系の場合、関連するアンサンブルは通常、エネルギー面上のミク​​ロカノニカルアンサンブルです。これが古典的なエルゴード仮説の設定です。^{[ 10 ] [ 9 ]}

現実的な多粒子系のエルゴード性の厳密な証明は難しい。重要な数学的例は動的ビリヤードにあり、そこでは理想化された粒子衝突がエルゴード性を証明できるシステムを提供する。^{[ 14 ] [ 15 ]}

エルゴード系と非エルゴード系の基本的な例は、低次元力学系にもすでに現れています。^{[ 16 ] [ 17 ]}円の無理回転はルベーグ測度に関してエルゴード的ですが、混合はしません。その他の標準的な例としては、ベーカーズマップ、アーノルドの猫マップ、ベルヌーイシフト、および特定のビリヤードシステムなどがあります。これらの例は、エルゴード性、混合、エントロピー、およびカオス的挙動の間のさまざまな関係を示しています。

エルゴード流は幾何学においても自然に現れる。中心的な例はリーマン多様体上の測地線流であり、通常は自然な不変測度を持つ単位接束上で考えられる。 ^{[ 18 ] [ 19 ]}

平坦なトーラス上では、固定された無理数方向への運動はトーラス上で稠密であり、その方向に制限するとエルゴード的になります。単位接束上の完全な測地線フローは、運動の方向が保存されるため、エルゴード的ではありません。対照的に、負の曲率を持つコンパクトなリーマン多様体上の測地線フローは、自然な不変測度に関してエルゴード的です。これはエルゴード理論における古典的な例の1つであり、アノソフフローと密接に関連しています。

その他の幾何学的例としては、ホロサイクルフロー、並進曲面上のフロー、ビリヤードフローなどがある。これらの設定では、エルゴード性は、単一の経路がすべての点を文字通り通過するかどうかではなく、適切な位相空間の不変な可測部分集合に関係する。^{[ 18 ] [ 19 ]}

量子力学では、量子進化は古典的な位相空間における点軌道によって記述されないため、エルゴード性という言葉はより慎重に使用されます。関連する概念は、量子カオスや、半古典極限における固有関数の分布に関する量子エルゴード性定理に現れます。これらのアイデアは、古典的な測度論的エルゴード性と関連していますが、同一ではありません。^{[ 20 ] [ 21 ]}

させて${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$測定可能な空間である。${\displaystyle T}$は測定可能な関数です${\displaystyle X}$それ自体と${\displaystyle \mu }$確率測度​${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$すると、測度保存力学系は、以下の条件を満たす力学系として定義される。${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$すべての人々のために${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$.そのような${\displaystyle T}$保存すると言われている${\displaystyle \mu$ ;} 同様に、${\displaystyle \mu }$は${\displaystyle T}$-不変。^{[ 4 ]}

測定可能な関数${\displaystyle T}$と言われている${\displaystyle \mu }$-エルゴード的またはそれ${\displaystyle \mu }$はエルゴード的尺度である${\displaystyle T}$もし${\displaystyle T}$保存${\displaystyle \mu }$そして、次の条件が成り立つ：^{[ 4 ]}

いかなる場合でも${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$どちらか${\displaystyle \mu (A)=0}$または${\displaystyle \mu (A)=1}$。

言い換えれば、${\displaystyle T}$-測度0までの不変部分集合（${\displaystyle \mu }$)

一部の著者^{[ 22 ]}は、${\displaystyle T}$保存${\displaystyle \mu }$要件に対して${\displaystyle T}$は、に関して非特異な変換である。${\displaystyle \mu }$つまり、${\displaystyle N}$は、以下の条件を満たす場合に限り、測度ゼロの部分集合である。${\displaystyle T^{-1}(N)}$は。

最も簡単な例は、${\displaystyle X}$は有限集合であり、${\displaystyle \mu }$は正規化された計数尺度です。次に、自己写像${\displaystyle X}$保存${\displaystyle \mu }$が全単射である場合に限り、また、がエルゴード的である場合に限り、${\displaystyle T}$軌道は 1 つしかない(つまり、すべての${\displaystyle x,y\in X}$存在する${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$そのため${\displaystyle y=T^{k}(x)}$例えば、${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$そしてサイクル${\displaystyle (1\,2\,\cdots \,n)}$エルゴード的であるが、置換${\displaystyle (1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$（2 つの不変部分集合を持つ）${\displaystyle \{1,2\}}$そして${\displaystyle \{3,4,\ldots ,n\}}$)

上記の定義は、以下の即時の再定式化を許容する。^{[ 23 ] [ 5 ]}

• すべての${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$と${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\bigtriangleup A\right)}}=0}$我々は持っています${\displaystyle \mu (A)=0}$または${\displaystyle \mu (A)=1\,}$（どこ${\displaystyle \bigtriangleup }$（対称差を表す）
• すべての${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$肯定的な尺度で私たちは${\textstyle \mu {\mathord {\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}(A)\right)}}=1}$;
• 2セットごとに${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$肯定的な尺度で存在する${\displaystyle n>0}$そのため${\displaystyle \mu {\mathord {\left(\left(T^{-n}(A)\right)\cap B\right)}}>0}$;
• あらゆる測定可能な関数${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$と${\displaystyle f\circ T=f}$は、完全測度の部分集合上で一定である。

応用上重要な点として、最後の特性評価における条件は、二乗可積分関数のみに限定できる。

• もし${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$そして${\displaystyle f\circ T=f}$それから${\displaystyle f}$ほぼどこでも一定である。

もし${\displaystyle \mu }$空間上の確率測度${\displaystyle X}$これは変換に対してエルゴード的である${\displaystyle T}$GD Birkhoffの点ごとのエルゴード定理は、すべての積分可能な関数に対して、${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$そして${\displaystyle \mu }$ほぼすべてのポイント${\displaystyle x\in X}$軌道上の時間平均${\displaystyle x}$空間平均に収束する${\displaystyle f}$^{[ 23 ] [ 2 ]}正式には、これは次のことを意味します 。$${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }\left({\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}f\left(T^{i}(x)\right)\right)=\int _{X}fd\mu .}$$

J. von Neumannの平均エルゴード定理は、二乗可積分関数の平均平行移動に関する同様の弱い記述である。^{[ 23 ] [ 5 ]}

離散的な場合と同様に、最も単純な例は推移的な作用であり、例えば、円上での作用は次のようになる。${\displaystyle T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z}$ルベーグ測度に対してエルゴード的である。

無限に多くの軌道を持つ例として、トーラス上の無理数傾斜に沿った流れが挙げられる。${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$そして${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$。 させて${\displaystyle T_{t}(z_{1},z_{2})=\left(e^{2i\pi t}z_{1},e^{2\alpha i\pi t}z_{2}\right)}$; ならば${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$これはルベーグ測度に関してエルゴード的である。

エルゴード的流れのその他の例は次のとおりです。^{[ 18 ] [ 19 ]}

• シナイビリヤードなど、凸ユークリッド領域における特定のビリヤード。
• 有限体積の負曲率リーマン多様体の測地線流はエルゴード的である（正規化された体積尺度に関して）。
• 有限体積の双曲多様体上のホロサイクル流はエルゴード的である（正規化された体積測度に関して）。

バナッハ空間の理論を用いると、エルゴード測度の非常に強力な別の特徴付けを与えることができる。${\displaystyle X}$バナッハ空間を形成し、その集合は${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$確率測度の${\displaystyle X}$は凸部分集合である。連続変換が与えられた場合${\displaystyle T}$の${\displaystyle X}$部分集合${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$の${\displaystyle T}$-不変測度は閉じた凸部分集合であり、測度はエルゴード的である。${\displaystyle T}$この凸集合の極点である場合に限り、そうである。 ^{[ 28 ]}

変革${\displaystyle T}$一意のエルゴード性があるならば、それは一意にエルゴード的であると言われる。${\displaystyle T}$-不変ボレル確率測度${\displaystyle \mu }$の上${\displaystyle X}$。

上記の例では、円の無理回転は一意にエルゴード的ですが、^{[ 32 ]}シフトマップはそうではありません。

させて${\displaystyle S}$有限集合である。${\displaystyle S}$行列によって定義される${\displaystyle P\in [0,1]^{S\times S}}$、 どこ${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$遷移確率は${\displaystyle s_{1}}$に${\displaystyle s_{2}}$なので、すべての${\displaystyle s\in S}$我々は持っています${\textstyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$[ ^{33 ]}定常測度^​​${\displaystyle P}$確率尺度${\displaystyle \nu }$の上${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle \nu P=\nu }$つまり、

$${\displaystyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s)=\nu (s)}$$

すべての人々のために${\displaystyle s\in S}$。

このデータを用いて確率尺度を定義することができる${\displaystyle \mu _{\nu }}$パス空間上${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$その積σ代数を用いて、円柱集合の尺度を以下のように与える。

$${\displaystyle \mu _{\nu }\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{n}=s_{n},\ldots ,x_{m}=s_{m}\}=\nu (s_{n})P(s_{n},s_{n+1})\cdots P(s_{m-1},s_{m}).}$$

定常性${\displaystyle \nu }$つまり、その尺度は${\displaystyle \mu _{\nu }}$シフトマップの下で不変である

$${\displaystyle T\left(\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} }\right)=\left(s_{k+1}\right)_{k\in \mathbb {Z} }.}$$

対策${\displaystyle \mu _{\nu }}$関連する有限マルコフ連鎖が既約である場合、つまり、任意の状態から他の任意の状態へ有限ステップで正の確率で到達できる場合、シフトマップはエルゴード的である。 ^{[ 33 ]}

有限既約マルコフ連鎖には、一意の定常測度が存在する。定常測度への収束を保証するためによく用いられるより強い十分条件は、${\displaystyle 1}$行列の単純固有値である${\displaystyle P}$そして他のすべての固有値は${\displaystyle P}$で${\displaystyle \mathbb {C} }$絶対値が以下${\displaystyle 1}$。

確率論において、有限マルコフ連鎖は既約かつ非周期的である場合にエルゴード的と呼ばれることが多いことに注意してください。非周期性は、関連するシフト不変測度にとって必ずしも必要ではありません。${\displaystyle \mu _{\nu }}$エルゴード的であることではなく、より強い収束性および混合特性に関連している。したがって、マルコフ連鎖の「エルゴード性」の概念と、関連するシフト不変測度のエルゴード性の概念は密接に関連しているが、同一ではない。^{[ 34 ]}

エルゴード性には表現論的な定式化もある。${\displaystyle G}$グループになって${\displaystyle \pi :G\to U({\mathcal {H}})}$ヒルベルト空間上のユニタリ表現である${\displaystyle {\mathcal {H}}}$この文脈では、表現が非ゼロの不変ベクトルを持たない場合、表現はエルゴード的と呼ばれることがある。^{[ 36 ] [ 38 ]}つまり、

$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{G}={v\in {\mathcal {H}}:\pi (g)v=v{\text{ for all }}g\in G}={0}.}$$

この条件は行列係数を用いて表現することもできます。${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$、 定義する

$${\displaystyle f_{x,y}(g)=\langle \pi (g)x,y\rangle .}$$

ユニタリ表現の行列係数は弱くほぼ周期的である。${\displaystyle WAP(G)}$固有の不変平均を持つ${\displaystyle m}$表現がエルゴード的であるのは、

$${\displaystyle m(f_{x,y})=0}$$

すべての人々のために${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$[ ^{36 ]の}場合${\displaystyle G}$はコンパクトであり、この不変平均は正規化されたハール測度に関する積分であるため、条件は次のようになる。

$${\displaystyle \int _{G}\langle \pi (g)x,y\rangle \,dg=0}$$

すべての人々のために${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$。

この用語は、測度保存作用のエルゴード性に関する通常の概念と互換性がある。${\displaystyle G}$確率空間に作用する${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$測度保存変換によって。関連するクープマン表現は、${\displaystyle G}$の上${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$定義される

$${\displaystyle (U_{g}f)(x)=f(g^{-1}x).}$$

の行動${\displaystyle G}$エルゴード的であるのは、${\displaystyle G}$-不変関数${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$は定数関数である。^{[ 5 ] [ 36 ]}同様に、

$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )^{G}=\mathbb {C} \mathbf {1} .}$$

させて${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )}$定数関数の直交補空間を表す。

$${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )=\left\{f\in L^{2}(X,\mu ):\int _{X}f\,d\mu =0\right\}.}$$

すると、その作用は、制限されたクープマン表現が${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )}$表現論的な意味でエルゴード的である、つまり非ゼロの不変ベクトルを持たない。^{[ 5 ] [ 35 ]}

単一の可逆変換の場合${\displaystyle T}$これはユニタリ演算子についても同じ記述である。${\displaystyle U_{T}f=f\circ T^{-1}}$この言語では、エルゴード性とは、固有値の固有空間が${\displaystyle 1}$定数関数のみで構成される。