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数学において、平面上の与えられた点Pを中心とする開単位円盤（または円盤）とは、Pからの距離が1未満である点の集合のことである。
点Pを中心とする閉じた単位円盤は、点Pからの距離が1以下の点の集合である。
単位円盤は、円盤と単位球の特殊な場合であり、単位円の内部を含み、閉じた単位円盤の場合は単位円自体を含みます。
特に指定がない場合、単位ディスクという用語は、原点を中心とした開いた単位ディスクを指す。標準ユークリッド距離に関して。これは原点を中心とする半径 1 の円の内部です。この集合は、絶対値が1 未満のすべての複素数の集合と同一視できます。複素平面 ( C )の部分集合として見た場合、開いた単位円盤はしばしば次のように表されます。 :|z|<1\}} 。表記上類似している円群とは異なり（開いた）単位円盤は乗法群ではない。
機能
は、開単位円盤から平面への実解析的かつ全単射な関数の一例であり、その逆関数も解析的です。実2次元解析多様体とみなすと、開単位円盤は平面全体と同型です。特に、開単位円盤は平面全体と同相です。
しかしながら、開単位円盤と平面の間には等角全単射写像は存在しない。したがって、リーマン面として考えると、開単位円盤は複素平面とは異なる。
開単位円盤と開上半平面の間には、等角全単射写像が存在する。したがって、リーマン面として考えると、開単位円盤は上半平面と同型（「双正則」または「等角的に等価」）であり、両者はしばしば互換的に用いられる。
より一般的に言えば、リーマン写像定理は、複素平面自体とは異なる複素平面上の任意の単連結な開部分集合は、開単位円盤への等角写像と全単射写像を持つことを述べている。
開いた単位円盤から開いた上半平面への全単射な等角写像の一つは、メビウス変換である。
幾何学的には、実軸が曲げられて縮小され、上半平面が円盤の内部となり、実軸が円盤の円周を形成すると想像できます。ただし、上端の1点、つまり「無限遠点」は除きます。開いた単位円盤から開いた上半平面への全単射等角写像は、2つの立体投影の合成としても構成できます。まず、単位円盤を単位上半球に立体投影し、単位球の「南極」を投影中心とします。次に、この半球を、球に接する垂直な半平面に横方向に投影し、接点の反対側の半球上の点を投影中心とします。
単位円盤と上半平面は、ハーディ空間の領域として互換性がない。この違いの一因として、単位円は有限（一次元）のルベーグ測度を持つのに対し、実数直線は持たないという事実が挙げられる。
開いた単位円盤は、双曲平面のポアンカレ円盤モデルの点の集合を形成します。単位円に垂直な円弧は、このモデルにおける「線」を形成します。単位円は、ケイリー・クライン計量の様式で交差比を用いて円盤上の計量を決定するケイリー絶対値です。微分幾何学の言葉で言えば、単位円に垂直な円弧は、モデル内の点間の最短距離を示す測地線です。このモデルには、特別なユニタリ群SU(1,1)で表される運動が含まれます。円盤モデルは、上記の写像gによってポアンカレ半平面モデルに変換できます。
ポアンカレ円盤とポアンカレ半平面はどちらも双曲平面の等角モデルであり、つまり、交差する曲線間の角度は、それらの等長変換群の運動によって保存される。
双曲空間のもう一つのモデルも、開いた単位円盤に基づいて構築されている。それはベルトラミ・クラインモデルである。これは共形ではないが、測地線が直線であるという性質を持っている。
また、単位円盤を他の計量に関して考察することもある。例えば、タクシー計量やチェビシェフ計量では、円盤は正方形のように見える（ただし、基礎となる位相はユークリッド位相と同じである）。
ユークリッド単位円盤の面積はπ、周長は2πです。一方、タクシー幾何学における単位円盤の周長（タクシー計量に対する相対値）は8です。1932年、スタニスワフ・ゴウォンブは、ノルムから生じる計量において、単位円盤の周長は6から8の間の任意の値をとることができ、これらの極値は、単位円盤がそれぞれ正六角形または平行四辺形である場合に限り得られることを証明しました。
