シンプレックス

幾何学において、単体（複数形：単体または単体群）は、三角形または四面体の概念を任意の次元に一般化したものです。単体は、任意の次元で可能な限り最も単純な多面体を表すため、このように呼ばれています。たとえば、

• 0次元単体は点であり、
• 1次元単体は線分であり、
• 2次元単体は三角形であり、
• 3次元単体は四面体であり、
• 4 次元単体は5 セルです。

具体的には、k単体とは、 k + 1個の頂点の凸包であるk次元多面体です。より正式には、k + 1個の点がアフィン独立であると仮定します。つまり、 kベクトルは線形独立です。すると、それらによって決定される単体は、点の集合です。 ${\displaystyle u_{0},\dots ,u_{k}}$${\displaystyle u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}}$$${\displaystyle C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ かつ }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ }}i=0,\dots ,k\right\}} の場合。}$$

正則単体^[1]は、正則多面体でもある単体である。正則k単体は、正則( k −1)単体から、新しい頂点を全ての元の頂点に共通の辺の長さで接続することによって構築することができる。

標準単体または確率単体^[2]は、頂点がk個の標準単位ベクトルである( k −1)次元単体、つまり ${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}}$$${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {R} ^{k}:x_{0}+\dots +x_{k-1}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k-1\right\}.}$$

位相幾何学と組合せ論では、単体を「接着」して単体複体を形成するのが一般的です。関連する組合せ構造は抽象単体複体と呼ばれ、その文脈では「単体」という言葉は単に頂点の有限集合を意味します。

単体の概念はウィリアム・キングドン・クリフォードに知られており、彼は1886年にこれらの図形について執筆したが、それらを「素数 の境界」と呼んだ。アンリ・ポアンカレは1900年に代数的位相幾何学について執筆し、それらを「一般化された四面体」と呼んだ。1902年にピーテル・ヘンドリック・スハウトは、この概念を最初にラテン語の最上級simplicissimum（「最も単純な」）で説明し、次に同じラテン語の形容詞の標準形simplex（「単純な」）で説明した。^[3]

正単体族は、ドナルド・コクセターによってα _nと名付けられた 3 つの正多面体族の最初のものであり、他の 2 つは交差多面体族 ( β _n ) と超立方体( γ _{n )}である。4 番目の族は、無限個の超立方体によるn次元空間のモザイク化であり、彼はδ _nと名付けた。^[4]

n単体を定義するn + 1点の空でない部分集合の凸包は、単体の面と呼ばれる。面自体も単体である。特に、サイズm + 1の部分集合( n + 1 個の定義点)の凸包はm単体であり、n単体のm面と呼ばれる。0 面 (つまり、サイズ 1 の集合としての定義点自体) は頂点(単数形: 頂点)、1 面は辺、 ( n − 1 ) 面は面と呼ばれ、唯一のn面はn単体全体である。一般に、m面の数は二項係数に等しい。^{[5]したがって、} n単体のm面の数は、パスカルの三角形の ( n + 1 ) 行の ( m + 1 )列にある。BがAの面である場合、単体Aは単体Bの共面です。単体複合体内の単体の種類を記述する場合、面と面は異なる意味を持つことがあります。 ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{m+1}}}$

n単体の拡張f ベクトルは、多項式積の係数と同様に、( 1 , 1 ) ^{n +1}で計算できます。たとえば、7 単体は、( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1 ,2, 1 ) ⁴ = ( 1 ,4,6,4, 1 ) ² = ( 1 ,8,28,56,70,56,28,8, 1 ) です。

n単体の 1 面 (辺) の数はn番目の三角形の数、 n単体の 2 面の数は( n − 1)番目の四面体の数、 n単体の 3 面の数は( n − 2)番目の 5 セルの数、というように続きます。

n単体は、頂点が最も少なく、n 次元を必要とする多面体です。1次元空間内の図形として線分AB を考えます (1 次元空間とは、線分が存在する直線です)。この線から外れた場所に新しい点C を配置できます。新しい図形である三角形ABC には 2 次元が必要で、元の 1 次元空間には収まりきりません。三角形は 2 単体で、2 次元を必要とする単純な図形です。2次元空間 (三角形が存在する平面) 内の図形である三角形ABC を考えます。この平面から外れた場所に新しい点D を配置できます。新しい図形である四面体ABCD には 3 次元が必要で、元の 2 次元空間には収まりきりません。四面体は 3 単体で、3 次元を必要とする単純な図形です。3 次元空間 (四面体が存在する 3 次元空間) 内の図形である四面体ABCD を考えます。 3 次元空間の外側のどこかに新しい点E を置くことができます。5 セルと呼ばれる新しい形状ABCDE には 4 次元が必要で、4 単体と呼ばれます。元の 3 次元空間には収まりません (また、簡単に視覚化することもできません)。この考え方は一般化できます。つまり、現在占有されている空間の外側に 1 つの新しい点を追加すると、新しい形状を保持するために次の高次元に移動する必要があります。この考え方は逆方向にも適用できます。最初の線分は、それを保持するのに 1 次元空間を必要とする単純な形状です。つまり、線分は 1 単体です。線分自体は、0 次元空間の 1 つの点 (この最初の点は 0 単体) から始めて、2 番目の点を追加することで形成されました。これには、1 次元空間への増加が必要でした。

より正式には、( n + 1) -単体は、 n-単体と点 ( )の結合 (∨ 演算子) として構成できます。( m + n + 1) -単体は、 m-単体とn-単体の結合として構成できます。2 つの単体は、両方に直交する方向への移動で、互いに完全に垂直になるように向けられています。1-単体は、2 点の結合です: ( ) ∨ ( ) = 2 ⋅ ( )。一般的な 2-単体 (不等辺三角形) は、3 点の結合です: ( ) ∨ ( ) ∨ ( )。二等辺三角形は、1-単体と点の結合です: {} ∨ ( )。正三角形は 3 ⋅ ( ) または {3} です。一般的な 3 単体は 4 点の結合です: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) ∨ ( )。鏡映対称性のある 3 単体は、辺と 2 点の結合として表すことができます: { } ∨ ( ) ∨ ( )。三角対称性のある 3 単体は、正三角形と 1 点の結合として表すことができます: 3.( )∨( )または{3}∨( )。正四面体は4 ⋅ ( )または {3,3} など です。

いくつかの慣例^[7]では、空集合は(−1)単体として定義されます。上記の単体の定義は、n = −1の場合でも意味をなします。この慣例は、多面体の研究よりも、 代数的位相幾何学(単体ホモロジーなど)への応用で一般的です。

これらのペトリー多角形(斜め正射影) は、円上の正単体のすべての頂点と、辺で接続されたすべての頂点ペアを示します。

標準n単体（または単位n単体）は、R ^{n +1}のサブセットであり、

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\ldots ,n\right\}}$。

単体Δ ^{n は、}上記の定義で 制約t _i ≥ 0を除去することによって得られるアフィン超平面上にあります。

標準n単体のn + 1頂点は点e _i ∈ R ^{n +1}であり、ここ で

e ₀ = (1, 0, 0, ..., 0)、

e ₁ = (0, 1, 0, ..., 0)、

⋮

e _n = (0, 0, 0, ..., 1) です。

標準単体は、すべての座標が 0 または 1 である0/1 多面体の例です。また、通常の( n + 1)正多面体の1 つの面として見ることもできます。

標準のn単体から任意のn単体への標準写像があり、頂点は( v ₀ , ..., v _n )で表されます。

${\displaystyle (t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}}$

係数t _{i は、} n単体における点の重心座標と呼ばれます。このような一般的な単体は、正準写像がアフィン変換であることを強調するために、しばしばアフィンn 単体と呼ばれます。また、正準写像が方向保存または反転であることを強調するために、方向付きアフィン n単体と呼ば れることもあります。

より一般的には、標準の-単体 ( n頂点)から任意のn頂点多面体への標準写像が存在し、これは同じ方程式 (インデックスを変更) で与えられます。 ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}}$

これらは一般化重心座標として知られており、あらゆる多面体を単体の像として表現します。${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

R ⁿから標準 -単体の内部への一般的に使用される関数は、ソフトマックス関数、または正規化指数関数です。これは、標準ロジスティック関数を一般化します。 ${\displaystyle (n-1)}$

• Δ ^{0 は}R ¹の点1です。
• Δ ^{1 は、} R ²内の(1, 0)と(0, 1)を結ぶ線分です。
• Δ ^2は、 R ³内の頂点が(1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1)である正三角形です。
• Δ ³は、R ⁴内の頂点が(1, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)である正四面体です。
• Δ ⁴は、R 5内の頂点が(1, 0, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0, 0)、(0, 0, 1, 0, 0)、(0, 0, 0, 1, 0) 、 (0, 0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 0, 1)である通常の⁵セルです。

不定和をとることによって別の座標系が与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}}$

これにより、順序による別の表現、つまり 0 から 1 の間の非減少nタプルが生成されます。

${\displaystyle \Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.}$

幾何学的には、これは(余次元 1)ではなく (最大次元、余次元 0)のn次元サブセットです。標準単体では 1 つの座標が消えることに対応するファセットは、ここでは連続する座標が等しいことに対応し、内部は不等式が厳密になる(増加するシーケンス) ことに対応します。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1}}$${\displaystyle t_{i}=0,}$${\displaystyle s_{i}=s_{i+1},}$

これらの表現の主な違いは、座標を並べ替えた場合の挙動です。標準単体は座標を並べ替えることで安定化されますが、「順序付き単体」の要素を並べ替えても不変にはなりません。順序付きシーケンスを並べ替えると、通常は順序がなくなるためです。実際、順序付き単体は、対称群のn立方体への作用に対する(閉じた)基本領域です。つまり、対称群のn ! 要素の下での順序付き単体の軌道は、 n立方体をほとんど互いに素な単体 (境界以外は互いに素)に分割し、この単体の体積が1/ n !であることを示します。あるいは、体積は反復積分によって計算することができ、その連続する積分関数は 1、^x、 x 2 ^/ 2、x ³ /3!、...、x n / n !です。 ${\displaystyle n!}$

この表現のさらなる特性は、加算ではなく順序を使用するため、任意の順序付き集合上の任意の次元で定義でき、たとえば、合計の収束の問題なしに無限次元単体を定義するために使用できることです。

特に確率論の数値応用においては、標準単体への射影が重要である。負の値を持つ可能性がある場合、単体上の 最も近い点は座標を持つ。${\displaystyle (p_{i})_{i}}$${\displaystyle \left(t_{i}\right)_{i}}$

${\displaystyle t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},}$

ここで、${\displaystyle \Delta }$${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

${\displaystyle \Delta }$はp _iのソートから簡単に計算できます。^[8] ソートのアプローチには計算量がかかりますが、中央値を見つけるアルゴリズムによってO( n )の計算量に改善できます。 ^[9]単体への投影は、計算的にはボールへの投影に似ています。 ${\displaystyle O(n\log n)}$${\displaystyle \ell _{1}}$

最後に、単純な変形として、「合計が 1 になる」を「合計が最大で 1 になる」に置き換えます。これにより次元が 1 増加するため、表記を簡略化するためにインデックスが変わります。

${\displaystyle \Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

これにより、n立方体の角としてn単体が生成され、標準的な直交単体になります。これは、原点を基準とし、n面を持つ多面体上の頂点を局所的にモデル化する単体法で使用される単体です。

R ⁿの正n単体を書き出す方法の 1 つは、最初の 2 つの頂点となる 2 つの点を選択し、正三角形を作成する 3 番目の点を選択し、正四面体を作成する 4 番目の点を選択し、これを繰り返すことです。各ステップでは、新しく選択した各頂点が、以前に選択した頂点とともに正単体を形成することを保証する満足な方程式が必要です。この目的のために書き出して使用できる方程式のセットがいくつかあります。これには、頂点間の距離がすべて等しいこと、頂点から単体の中心までの距離がすべて等しいこと、以前に選択した任意の 2 つの頂点によって新しい頂点に向けられる角度が であるという事実、および任意の 2 つの頂点によって単体の中心に向けられる角度が であるという事実が含まれます。 ${\displaystyle \pi /3}$${\displaystyle \arccos(-1/n)}$

R ⁿの特定の正則n単体を直接記述することもできます。その後、必要に応じて変換、回転、拡大縮小できます。これを行う 1 つの方法は次のとおりです。R ⁿの基底ベクトルをe ₁からe _nで表します。基底ベクトルの凸包である標準の( n − 1)単体から始めます。追加の頂点を追加することで、これらは正則n単体の面になります。追加の頂点は、標準単体の重心に垂直な線上になければなりません。したがって、ある実数αに対して、形式は( α / n、...、α / n )になります。2 つの基底ベクトル間の距離の 2 乗は 2 なので、追加の頂点が正則n単体を形成するには、その頂点といずれかの基底ベクトル間の距離の 2 乗も 2 でなければなりません。これにより、 αの2 次方程式が得られます。この方程式を解くと、追加の頂点には 2 つの選択肢があることがわかります。

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).}$

これらのいずれかを標準の基底ベクトルと組み合わせると、通常のn単体が生成されます。

上記の正則n単体は原点を中心としていません。頂点の平均を引くことで原点に移動できます。再スケーリングすることで、単位辺の長さを与えることができます。その結果、頂点が次のようになる単体が得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),}$

、 および${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).}$

ここで説明されている頂点のセットは 2 つあることに注意してください。1 つのセットは各計算で使用されます。もう 1 つのセットは各計算で使用されます。 ${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$

この単体は半径 の超球面に内接します。 ${\displaystyle {\sqrt {n/(2(n+1))}}}$

別の再スケーリングにより、単位超球に内接する単体が生成される。この場合、その頂点は

${\displaystyle {\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),}$

ここで、そして ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).}$

この単体の辺の長さは です。 ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$

正則n単体を構築する対称性の高い方法は、巡回群 Z _{n +1}を直交行列で表現することです。これはn × n直交行列Qであり、Q ^{n +1} = Iは単位行列ですが、Qの下位のべき乗は単位行列ではありません。この行列のべき乗を適切なベクトルvに適用すると、正則n単体の頂点が生成されます。これを実行するには、まず、任意の直交行列Qに対して、 Q がブロック対角行列と なる基底を選択できることに注目してください。

${\displaystyle Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),}$

ここで、各Q _{i は}直交しており、2 × 2または1 × 1 のいずれかです。 Qがn + 1 の位数を持つためには、これらの行列はすべてn + 1を割り切る 位数でなければなりません。したがって、各Q _{i は}、唯一の要素が1である1 × 1行列、またはnが奇数の場合は-1、または次の形式の 2 × 2行列です。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},}$

ここで、各ω _{i は}0 からnまでの整数です。点の軌道が正則単体となるための十分な条件は、行列Q _{i が}Z _{n +1}の非自明な既約実表現の基底を形成し、回転するベクトルがそれらのいずれによっても安定化されないことです。

実用的には、nに対して も、これはすべての行列Q _iが2 × 2であることを意味するが、集合の等式が存在する。

${\displaystyle \{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},}$

そして、あらゆるQ _iに対して、 Q _{i が}作用するvの要素は両方ともゼロではない。例えば、n = 4のとき、考えられる行列の1つは次のようになる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.}$

これをベクトル(1, 0, 1, 0)に適用すると、頂点が

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},}$

それぞれの対角ブロックは、他のブロックから√5の距離を持っています。nが奇数の場合、条件は、対角ブロックのちょうど1つが1×1で、 -1に等しく、vの非ゼロのエントリに作用することを意味します。残りの対角ブロック、たとえばQ ₁、...、Q _{( n − 1) / 2}は2×2ですが、集合の等式があります。

${\displaystyle \left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},}$

そして各対角ブロックは、 vの2つの要素のうち、どちらも0ではない要素に作用する。したがって、例えばn = 3のとき、行列は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.}$

ベクトル(1, 0, 1/ √2 )の場合、結果として得られる単体の頂点 は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},}$

それぞれ他のものから距離 2 離れています。

頂点（v ₀、...、v _n）を持つn次元空間のn単体の体積は、

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|}$

ここでn × n 行列式の各列は頂点v0から別の頂点vkを指す_ベクトルである。[ ^10]この式はが原点である _場合に特に有用である。${\displaystyle v_{0}}$

表現

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}}$

はグラム行列式を採用しており、 n単体の頂点がn次元を超えるユークリッド空間内にある場合でも機能します（たとえば、 内の三角形）。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

n単体の体積を計算するより対称的な方法は、 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|.}$

単体の体積を計算するもう一つの一般的な方法は、ケイリー・メンガー行列式を使うことです。これは、n単体の頂点がn次元以上のユークリッド空間にある場合でも機能します。^[11]

1/ n !がなければ、これはn平行四辺形の体積の公式です。これは次のように理解できます。Pがの基底上に構築されたn平行四辺形であると仮定します。の順列が与えられたとき、頂点のリストがnパス である場合、${\displaystyle (v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}}$

(したがって、 n ! nパスが存在し、順列に依存しません)。次の主張が成り立ちます。 ${\displaystyle v_{n}}$

P が単位n超立方体である場合、各nパスの凸包によって形成されるn単体の和集合はPであり、これらの単体は合同であり、互いに重複しない。^[12]特に、このような単体の体積は

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.}$

Pが一般平行四辺形の場合、次元 > 2 では単体がペアで合同である必要はないという点を除いて、同じ主張が成り立ちます。ただし、n平行四辺形は、 の標準基底を に送る線型同型による単位n超立方体の像であるため、それらの体積は等しくなります。前述のように、これはnパスから来る単体の体積が次のようになることを意味します。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.}$

逆に、のn単体が与えられた場合、ベクトルはの基底を形成すると仮定できます。とから構築された平行四辺形を考えると、前の式がすべての単体に対して有効であることがわかります。 ${\displaystyle (v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

最後に、このセクションの冒頭の式は、次のことを観察することによって得られる。

${\displaystyle \det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).}$

この式から、標準n単体（つまり、 R ^{n +1}の原点と単体の間） の体積は、

${\displaystyle {1 \over (n+1)!}}$

単位辺の長さを持つ 正n単体の体積は

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}}$

前の式にx ^{n +1}を掛けて、原点からの頂点距離xの関数としてn単体の下の体積を得るには、   ( n単体の辺の長さは 1)でxについて微分し、法線ベクトルに沿って増分の長さ で正規化します。 ${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle dx/{\sqrt {n+1}}}$${\displaystyle (dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))}$

正則n次元単体の任意の2つの( n −1)次元面は、それ自体が正則( n −1)次元単体であり、それらはcos ⁻¹ (1/ n )の同じ二面角を持ちます。^{[13] [14]}

これは、標準単体の中心が であり、その面の中心が の座標順列であることに注目するとわかります。次に、対称性により、 からを指すベクトルは面に垂直です。したがって、面に垂直なベクトルは の順列であり、そこから二面角が計算されます。 ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$${\displaystyle (-n,1,\dots ,1)}$

ここで「直交コーナー」とは、すべての隣接する辺がペアで直交する頂点があることを意味します。これは、すべての隣接する面がペアで直交するということに直結します。このような単体は直角三角形の一般化であり、ピタゴラスの定理のn次元バージョンが存在します。直交コーナーに隣接する面の (n − 1) 次元体積の 2 乗の合計は、直交コーナーの反対側の面の( n − 1)次元体積の 2 乗に等しくなります。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}}$

ここで面は互いに直交しているが、直交コーナーの反対側の面である面とは直交していない。^[15]${\displaystyle A_{1}\ldots A_{n}}$${\displaystyle A_{0}}$

2 単体の場合、定理は直角を持つ三角形に対するピタゴラスの定理であり、3 単体の場合、定理は直交する角を持つ四面体に対する de Gua の定理です。

n単体の面格子のハッセ図は、 ( n + 1)超立方体の辺のグラフと同型であり、超立方体の頂点はn単体の各要素にマッピングされ、格子の端点として単体全体とヌル多面体 (超立方体の 2 つの反対の頂点にマッピング) が含まれます。この事実は、より一般的な面格子列挙アルゴリズムは計算コストが高いため、単体の面格子を効率的に列挙するために使用できます。

n単体は( n + 1)超立方体の頂点図形でもあります。また、( n + 1)正多面体の面でもあります。

位相的には、n単体はn球と同等です。すべてのn単体は、角を持つn次元多様体です。

確率論では、 ( n +1)空間における標準n単体の点は、 n +1個の可能な結果からなる有限集合上の可能な確率分布の空間を形成します。対応は次のとおりです。合計が(必然的に)1となる順序付けられた( n +1)組の確率として記述される各分布に対して、重心座標がまさにそれらの確率である単体の点を関連付けます。つまり、単体のk番目の頂点には、その重心係数として( n +1)組のk番目の確率が割り当てられます。この対応はアフィン同相写像です。

エイチンソン幾何学は、標準単体から内積空間を構築する自然な方法です。単体と実数に対する次の演算を定義します。 ${\displaystyle \Delta ^{D-1}}$

摂動（加算）

${\displaystyle x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}}$

べき乗（スカラー乗算）

${\displaystyle \alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]\qquad \forall x\in \Delta ^{D-1},\;\alpha \in \mathbb {R} }$

内積

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}}$

すべての単体は自己双対なので、一連の複合物を形成できます。

• 2つの三角形は六芒星{6/2}を形成します。
• 2 つの四面体は、2 つの四面体の複合体、つまりstella octangulaを形成します。
• 2 つの 5 セルは、4 次元で2 つの 5 セルの複合体を形成します。

代数的位相幾何学では、単体は、単体複体と呼ばれる興味深い位相空間のクラスを構築するための構成要素として使用されます。これらの空間は、組み合わせ的に接着された単体から構築されます。単体複体は、単体ホモロジーと呼ばれる特定の種類のホモロジーを定義するために使用されます。

R ⁿの開集合に埋め込まれたk単体の有限集合は、アフィンk連鎖と呼ばれます。連鎖内の単体は一意である必要はなく、重複して出現する場合があります。アフィン連鎖を表すために標準集合表記法を使用する代わりに、集合内の各メンバーを区切るためにプラス記号を使用するのが標準的な方法です。単体の一部が反対方向を向いている場合、これらにはマイナス記号が接頭辞として付けられます。単体の一部が集合内に複数回出現する場合、これらには整数カウントが接頭辞として付けられます。したがって、アフィン連鎖は整数係数の和という記号形式をとります。

n単体の各面はアフィン( n −1)単体であり、したがってn単体の境界はアフィン( n −1)連鎖であることに注意してください。したがって、1つの正の向きのアフィン単体を次のように表すと、

${\displaystyle \sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]}$

が頂点を表すとすると、 σの境界は鎖 ${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle \partial \sigma }$

${\displaystyle \partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].}$

この式と境界演算子の線形性から、単体の境界の境界はゼロであることがわかります。

${\displaystyle \partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.}$

同様に、チェーンの境界の境界はゼロです。 ${\displaystyle \partial ^{2}\rho =0}$

より一般的には、単体（および連鎖）は、滑らかで微分可能な写像 によって多様体に埋め込むことができます。この場合、集合を表すための総和規則と境界演算は、埋め込みと交換可能です。つまり、 ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to M}$

${\displaystyle f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})}$

ここで、 は方向と多重度を表す整数です。境界演算子 の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial f(\rho )=f(\partial \rho )}$

ここで、ρはチェーンです。境界演算はマッピングと交換可能です。なぜなら、チェーンは最終的にセットとそれ以上のものとして定義され、セット演算は常にマップ演算と交換可能だからです(マップの定義により)。

位相空間Xへの連続写像は 、特異なn単体と呼ばれることが多い。（写像は、連続性などの望ましい特性を持たない場合に一般的に「特異」と呼ばれ、この場合、この用語は連続写像が埋め込みである必要がないという事実を反映している。）^[16]${\displaystyle f:\sigma \to X}$

古典的な代数幾何学では多項式方程式は論じられるが不等式は論じられないため、代数標準 n 単体は一般に、すべての座標の合計が 1 になる (したがって不等式の部分は除かれる) アフィン( n + 1)次元空間のサブセットとして定義されます。この集合の代数的記述は であり、 これは 代数n単体 (任意の環 に対して)上の正則関数の環による スキーム理論的記述 に等しくなります。 $${\displaystyle \Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},}$$${\displaystyle \Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])}$$${\displaystyle R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.}$$ ${\displaystyle R}$

古典的なn単体と同じ定義を使用すると、異なる次元nに対するn単体は1 つの単体オブジェクトに組み立てられ、環は1 つの共単体オブジェクトに組み立てられます(面と退化写像がすべて多項式であるため、スキームと環のカテゴリ内) 。${\displaystyle R[\Delta ^{n}]}$${\displaystyle R[\Delta ^{\bullet }]}$

代数的n単体は高次K理論と高次Chow 群の定義で使用されます。

• 統計学では、単体は構成データの標本空間であり、三角図のように部分集団の割合など、合計が 1 になる量をプロットする際にも使用されます。
• 確率論では、確率分布の空間を表すために単体空間がよく使用されます。たとえば、ディリクレ分布は単体上で定義されます。
• 工業統計学では、問題の定式化とアルゴリズムによる解決において単体が生じる。パンを設計する場合、生産者はイースト、小麦粉、水、砂糖などを混合しなければならない。このような混合物では、材料の相対的な割合のみが重要になる。つまり、最適なパンの混合物を得るには、小麦粉を2倍にする場合、イーストも2倍にする必要がある。このような混合問題は、非負の成分の合計が1になるように正規化された制約で定式化されることが多く、その場合、実行可能領域は単体を形成する。パン混合物の品質は、応答曲面法を使用して推定でき、その後、逐次二次計画法などの非線形計画法を使用して局所的最大値を計算できる。^[17]
• オペレーションズ・リサーチでは、線形計画問題はジョージ・ダンツィグのシンプレックス法によって解くことができます。
• ゲーム理論では、戦略は単体内の点として表現できます。この表現により、混合戦略の分析が簡素化されます。
• 幾何学的設計やコンピュータグラフィックスでは、多くの手法ではまず領域の単体三角分割を実行し、次に各単体に補間 多項式を当てはめます。 ^[18]
• 化学では、 p ブロックのほとんどの元素の水素化物は、各原子をつなげると単体に似た形になります。ネオンは水素と反応しないため点になり、フッ素は1 つの水素原子と結合して線分になり、酸素は2 つの水素原子と結合して三角形に似た曲がった形になり、窒素は反応して四面体になり、炭素は5 セルのシュレーゲル図に似た構造になります。この傾向は、各元素のより重い類似体や、水素原子がハロゲン原子に置き換えられた場合にも続きます。
• レッジェ計算や因果的動的三角分割などの量子重力へのいくつかのアプローチでは、単体は時空の離散化の構成要素として、つまり単体多様体を構築するために使用されます。

• ルディン、ウォルター(1976)。数学解析の原理(第 3 版)。マグロウヒル。ISBN 0-07-054235-X。 (位相特性の簡単な復習については第 10 章を参照してください。)
• Tanenbaum, Andrew S. (2003)。「§2.5.3」。コンピュータ ネットワーク(第 4 版)。Prentice Hall。ISBN 0-13-066102-3。
• Devroye , Luc (1986)。非均一ランダム変量生成。Springer。ISBN 0-387-96305-72009年5月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• コクセター、HSM (1973)。正多面体（第3版）。ドーバー。ISBN 0-486-61480-8。
  • pp. 120–121、§7.2。図7-2Aを参照
  • p. 296、表 I (iii): 正多面体、 n次元の 3 つの正多面体( n ≥ 5 )
• ワイスタイン、エリック・W.「シンプレックス」。マスワールド。
• ボイド、スティーブン、ヴァンデンバーグ、リーベン（2004）。凸最適化。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-39400-1。PDFとして