ユークリッド数

数学において、ユークリッド数はE _n = p _n # + 1の形式の整数であり、ここでp _n # はn番目の原始数、つまり最初のn個の素数の積です。ユークリッド数は、素数が無限にあるというユークリッド の定理に関連して、古代ギリシャの数学者ユークリッドにちなんで名付けられました。

たとえば、最初の 3 つの素数は 2、3、5 で、それらの積は 30 で、対応するユークリッド数は 31 です。

最初のいくつかのユークリッド数は、3、7、31、211、 2311 、 30031 、 510511 、 9699691 、 223092871 、 6469693231 、 200560490131、... です ( OEISのシーケンスA006862 )。

ユークリッドの有名な素数の無限性の証明はこれらの数に依存していたと誤って述べられることがある。 ^[1] ユークリッドは、すべての素数の集合が有限であるという仮定から始めなかった。むしろ彼は、「任意の有限の素数集合を考えてみましょう（彼はそれが最初のn個の素数だけを含むとは仮定しませんでした。たとえば、{3、41、53}である可能性もあります）。そしてそこから、その集合に含まれない素数が少なくとも1つ存在するという結論に至りました。 」と述べた。 ^{[2]それでも、最初の}n個の素数 の集合に適用されたユークリッドの議論は、 n番目のユークリッド数にはこの集合に含まれない素因数があることを示している。

すべてのユークリッド数が素数というわけではありません。E ₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 は最初の合成ユークリッド数です。

すべてのユークリッド数は4 を法として 3 と合同です。これは、ユークリッド数を構成する原始数が奇数の素数の積の 2 倍であり、したがって 4 を法として 2 と合同であるためです。この特性は、いかなるユークリッド数も平方数にはなり得ないことを意味します。

n ≥ 3 の場合、 E _nの最後の桁は 1 です。これは、 E _n − 1が 2 と 5 で割り切れるためです。言い換えると、E ₂より大きいすべての原始数は2 と 5 を素因数として持つため、10 で割り切れ、したがって、E _{n  ≥ 3} + 1 の場合、最後の桁は 1 になります。

素ユークリッド数（原始素数）が無限に存在するかどうかは不明である。 ^{[3]また、すべてのユークリッド数が}平方数 であるかどうかも不明である。^[4]

第二種ユークリッド数（クンマー数とも呼ばれる）は、 E _n = p _n # − 1という形式の整数であり、p _n # はn番目の原始数です。このような数の最初のいくつかは次のとおりです。

1、5、29、209、2309、30029、510509、9699689、223092869、6469693229、200560490129、...（OEISの配列A057588）

ユークリッド数と同様に、クンマー素数が無限に存在するかどうかは分かっていない。これらの数のうち合成数となる最初の数は209である。^[5]

• ユークリッド・マリン系列
• 素数の無限性の証明（ユークリッドの定理）