シローの定理

数学、特に有限群論の分野では、シローの定理はノルウェーの数学者ペーター・ルートヴィヒ・シロー^[¹^]にちなんで名付けられた一連の定理であり、与えられた有限群に含まれる固定位数の部分群の数に関する詳細な情報を提供する。シローの定理は有限群論の基礎的な部分を形成し、有限単純群の分類において非常に重要な応用がある。

素数の場合 $p$ p群とは、すべての要素の位数がのべき乗である群のことである。 $p$ ; 有限群の場合、これは群の濃度がのべき乗であることと同等です。 $p$ 群のシローp部分群 $G$ 最大 $p$ -部分群、つまり、p -部分群 $G$ 厳密により大きなp部分群に含まれない。すべてのシローの集合 $p$ -サブグループの $G$ 与えられた素数に対して $p$ と表記される ${\text{Syl}}_{p}(G)$ 。

シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張している。ラグランジュの定理は、任意の有限群に対して、 $G$ すべての部分群の順序（要素数） $G$ 順序を分割します $G$ シローの定理によれば、すべての素因数に対して $p$ 有限群の位数 $G$ シローが存在する $p$ -サブグループ $G$ 順序 $p^{n}$ 最高の力 $p$ 順序を分割する $G$ さらに、位数のすべての部分群 $p^{n}$ シローは $p$ -サブグループ $G$ そしてシロー $p$ -群の部分群（与えられた素数に対して） $p$ ）は互いに共役である。さらに、シローの数は $p$ 与えられた素数に対する群の部分群 $p$ は 1 に合同である (mod 1) $p$ )

定理

モチベーション

シローの定理は、群の構造全般に関する強力な定理であるだけでなく、有限群論の応用においても強力な定理である。これは、有限群の濃度の素因数分解を利用する方法を提供するからである。 $G$ その部分群の構造に関する記述を与えるために、本質的には、群に関する基本的な数論的情報をその群構造に伝達する手法を提供する。この観察から、有限群の分類は、より小さな位数の群のどの組み合わせ/構成を適用して群を構成できるかを見つけるゲームになる。例えば、これらの定理の典型的な応用例は、ある固定された濃度の有限群の分類である。 $|G|=60$ [ ²^]

声明

群論では、それぞれが何らかの意味で極大である部分群の集合はよく見られる。ここで驚くべき結果は、 $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ 、すべてのメンバーは実際には互いに同型であり、可能な限り最大の順序を持っています。 $|G|=p^{n}m$ と $n>0$ $pが$ $m$ を割り切らない場合、すべてのシロー $p$ 部分群 $P$ の位数は $|P|=p^{n}$ つまり、 $P$ は $p$ 群であり、 ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ $これらの特性を利用して、 G$ の構造をさらに分析することができます。

以下の定理は、1872年にルートヴィヒ・シローによって初めて提唱され証明され、『Mathematische Annalen』誌に掲載された。

定理（１）—有限群 $Gの位数$ $nの$ 重複度を持つすべての素因数 $p$ に対して、位数nのシロー $p$ 部分群 $Gが存在する。$ $p^{n}$ 。

定理1のより弱いバージョンは、オーギュスタン＝ルイ・コーシーによって最初に証明され、コーシーの定理として知られています。

系—有限群 $G$ と $G$ の位数を割り切る素数 $pが与えられたとき、$ $G$ には位数 $p$ の要素 (したがって、この要素によって生成される巡回部分群) が存在する。^[³^]

定理（２）—有限群 $G$ と素数 $p$ が与えられたとき、 $G$ のすべてのシロー $p$ 部分群は互いに共役である。すなわち、 $H$ と $Kが$ $G$ のシロー $p$ 部分群である場合、要素が存在する。 $g\in G$ と $g^{-1}Hg=K$ 。

定理（３）— $p を有限群$ $G$ の位数 $n$ の重複度を持つ素因数とする。このとき、 $G$ の位数は次のように表される。 $p^{n}m$ 、どこ $n>0$ そして $p は$ $m$ を割り切らない。 $n_{p}$ $G$ のシロー $p$ 部分群の数をとします。すると、次のことが成り立ちます。

$n_{p}$ $m$ を割り切る。mは $G$ におけるシロー $p部分群の$ 指数である。
$n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ ここで、 $Pは$ $G$ の任意のシロー $p$ 部分群であり、 $N_{G}$ は正規化子を表します。

結果

もし $p^{m}$ の位数を割り切る素数のべき乗は $G$ すると、の部分群が存在する $G$ 順序 $p^{m}$ これはp群に対しては容易に真であることが示され、第一シロー定理は十分大きなp部分群の存在を保証する。 $G$ 。

シローの定理は、素数に対して $p$ すべてシロウ $p$ -サブグループの $G$ 同じ順序で、 $p^{n}$ 最高の力 $p$ 順序を分割する $G$ 逆に、位数のすべての部分群 $p^{n}$ シロー $p$ -部分群であるため、それらはすべて互いに共役です。さらに、最大性条件により、 $p$ -サブグループ $G$ は、 $p$ -サブグループ $G$ 順序 $p^{n}$ 。

定理2の重要な帰結は、条件が $n_{p}=1$ シローの条件と同等である $p$ -サブグループ $G$ は正規部分群である（定理3はしばしば、 $n_{p}=1$ しかし、適切な非自明な正規部分群を持つが正規シロー部分群を持たないグループも存在する。例えば、 $S_{4}$ 素数冪位数の群には適切なシロー群が存在しない。 $p$ -サブグループ。

第三定理の３つ目の箇条書きは、以下のことを直接的に示唆する。 $n_{p}$ 分ける $|G|$ 。

無限群に関するシローの定理

無限群にもシローの定理の類似物がある。無限群におけるシロー $p部分群とは、群内のすべての$ $p部分群の中で包含関係が最大となる$ p部分群（つまり、そのすべての要素が $p$ べき乗の位数を持つ）と定義される。 $\operatorname {Cl} (K)$ 部分群の共役の集合を表す $K\subset G$ 。

定理— $Kが$ $G$ のシロー $p$ 部分群である場合、 $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ が有限であれば、すべてのシロー $p部分群は$ $K$ と共役であり、 $n_{p}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)$ 。

例

シロー部分群とシローの定理の簡単な例として、n角形の二面体群D ₂_nが挙げられます。n が奇数の場合、 2 = 2 ^{1は位数を割り切る 2 の最高べき乗であるため、位数 2 の部分群はシロー部分群となります。これらは鏡映によって生成される群であり、}n 個存在し、回転に対してすべて共役です。幾何学的には、対称軸は頂点と辺を通ります。

対照的に、nが偶数の場合、4 は群の位数を割り切り、位数 2 の部分群はもはやシロー部分群ではなくなり、実際には、2 つの頂点を通るか 2 つの面を通るかに応じて、幾何学的に 2 つの共役類に分類されます。これらは、二面体群の最小回転の半分である π/ nによる回転で表すことができる外部自己同型によって関連付けられています。

もう1つの例は、 GL ₂ ( F _q )のシロー p 部分群です。ここで、pとqは3 以上の素数で、 p ≡ $1$ $($ $mod$ $q$ $)$ $で$ あり、すべてアーベル群です。GL 2 ( F q ) の位数は₍q ₂ − $1$ $)$ $($ $q$ $2$ $-$ $q$ $)$ $=$ $($ $q$ $)($ $q$ $+$ $1)($ $q$ $-$ $1)$ $2 です$ $。q =$ $p$ $n$ $m$ $+$ $1$ なので、 $GL$ $2$ $($ $F$ $q$ $)$ の位数は $p$ $2$ $n$ $m$ $'です。したがって$ $、$ 定理1 により、シローp部分群の位数はp ²ⁿです。

そのような部分群Pの 1 つは、対角行列の集合です。 ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ xはF _qの任意の原始根です。F _qの位数はq $-$ $1$ なので、その原始根の位数はq $-$ 1 であり、これは $x$ $($ $q$ $-$ $1)/$ $p$ $n$ またはx ^mとそのすべてのべき乗の位数がpのべき乗であることを意味します。したがって、Pはすべての要素の位数がpのべき乗である部分群です。aとb の両方に対してp ^{n 通りの}選択肢があり、 $|$ $P$ $| =$ $p$ $2$ $n$ となります。これは、 Pがシロー p 部分群であり、すべての対角行列が可換であるためアーベル群であることを意味し、定理 2 によればすべてのシローp部分群は互いに共役であるため、 GL ₂ ( F _q )のシローp部分群はすべてアーベル群です。

応用例

シローの定理は有限群の p 部分群の存在を保証するので、素数のべき乗位数の群をより詳しく研究することは有益です。ほとんどの例では、シローの定理を使用して、特定の位数の群が単純群ではないことを証明しています。位数の小さい群の場合、シローの定理の合同条件は、正規部分群の存在を強制するのに十分であることがよくあります。バーンサイドのp ^a q ^b定理は、群の位数が 1 つまたは 2 つの素数のべき乗の積である場合、その群は可解であり、したがって単純群ではないわけではない (素数の位数の巡回群でない限り) と述べています。

周期的なグループオーダー

非素数nの中には、位数nの群がすべて巡回群となるようなものがある。シローの定理を用いると、 n = 15 がそのような数であることを示すことができる。位数 15 = 3 · 5 の群をGとし、 n ₃をシロー 3 部分群の数とする。するとn ₃ $\mid$ 5 とn ₃ ≡ 1 (mod 3) です。これらの制約を満たす値は 1 のみです。したがって、位数 3 の部分群は 1 つしか存在せず、正規部分群でなければなりません(異なる共役群を持たないため)。同様に、n _{5 は}3 を割り切り、n ₅は1 (mod 5) に等しくなければなりません。したがって、位数 5 の正規部分群も 1 つしか存在しません。3 と 5 は互いに素であるため、これら 2 つの部分群の共通部分は自明であり、したがってG は位数 3 と 5 の群の内部直積、つまり位数 15 の巡回群でなければなりません。したがって、位数 15 の群は (同型を除いて) 1 つしか存在しません。

より一般的には、同様の議論により、pとqが互いに異なる素数でpがq-1を割り切らない場合、 n = pqであれば位数nのすべての群は巡回群であることを示すことができる。pがq-1を割り切らないという条件は必要である。例えば、pが奇素数である二面体群D _pは位数が2pであるが、巡回群ではない。

小グループは単純ではない

より複雑な応用例として、巡回群ではない最小の単純群の位数を求めることが挙げられます。バーンサイドの p ^a q ^b 定理は、位数 30 = 2 · 3 · 5までのすべての群を排除します。

| G | = 30 でGが単純群である場合、通常の 3-部分群を避けるためにn _{3 > 1 でなければならず、}n _{3 は}10 = 2 · 5 を割り切り、かつ (mod 3) で 1 に等しくなければならないので、n ₃ = 10 となります。この群は、位数 3 の異なる巡回部分群を 10 個持ち、それぞれに位数 3 の要素が 2 つあります。これは、 G が少なくとも 20 個の異なる位数 3 の要素を持つことを意味します。同様に、n _{5 >}_{1 は}6 = 2 · 3 を割り切り、かつn 5 は (mod 5) で 1 に等しくなければならないので、n ₅ = 6 となります。したがって、G は位数 5 の異なる要素も 24 個持ちます。しかし、 Gの位数は30 だけなので、位数 30 の単純群は存在できません。

次に、| G | = 42 = 2 · 3 · 7 で、Gが単純であると仮定します。ここで、n ₇ > 1 は 6 = 2 · 3 を割り切る必要があり、n _{7 は}(mod 7) で 1 に等しくなければなりませんが、これは不可能です。

一方、| G | = 60 = 2 ² · 3 · 5 の場合、n ₃ = 10 かつn ₅ = 6 は完全に可能です。実際、最小の単純非巡回群は、 5 つの要素の交代群であるA ₅です。その位数は 60 で、位数 5 の巡回置換が 24 個、位数 3 の巡回置換が 20 個あります。実際、| G | = 60 かつn ₅ > 1 の場合、G は単純です。

ウィルソンの定理

ウィルソンの定理の一部には次のように述べられている。

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

すべての素数pに対して。この定理はシローの第 3 定理によって容易に証明できます。実際、対称群S _pにおけるシローのp部分群の数n _pは、 S _pにおける p サイクルの数の 1 / p − 1 倍、つまり( p − 2 ) ! $で$ $ある$ $こと$ $に注目して$ ください。一方、 $n$ $p$ $\equiv 1 (mod$ $p$ $)$ です。したがって、 $($ $p$ $-$ $2)! \equiv 1 (mod$ $p$ $)$ です。よって、 $($ $p$ $-$ $1)! \equiv$ $-$ $1 (mod$ $p$ $)$ です。

融合結果

フラッティーニの議論は、正規部分群のシロー部分群が有限群の因数分解を与えることを示しています。バーンサイドの融合定理として知られるわずかな一般化では、Gがシローp部分群Pを持ち、2 つの部分集合AとB がPによって正規化されている場合、AとBがG共役であるのは、それらがN _G ( P ) 共役である場合のみであると述べられています。証明はシローの定理の簡単な適用です。B = A ^gの場合、 Bの正規化群にはPだけでなくP ^gも含まれます( P ^gはA ^gの正規化群に含まれているため)。シローの定理により、PとP ^gはGだけでなくBの正規化群でも共役です。したがって、gh ^{−1 は、}B を正規化するあるhに対してP を正規化し、A ^gh^⁻¹ = B ^h^⁻¹ = Bとなるため、AとBはN _G ( P ) 共役です。バーンサイドの融合定理は、半直積と呼ばれるより強力な因数分解を与えるために使用できます。G が有限群であり、そのシロー p 部分群 P が正規化群の中心に含まれている場合、 GはPと互いに素な位数の正規部分群Kを持ち、G = PKおよびP ∩ K = {1} となります。つまり、Gはp 冪零群です。

シローの定理のより高度な応用例としては、導来部分群のシローp部分群が群全体の構造に及ぼす影響を研究する焦点部分群定理がある。この影響は有限単純群の分類のいくつかの段階で利用され、例えば、シロー 2 部分群が準二面体群である有限単純群を分類するアルペリン・ブラウアー・ゴレンシュタインの定理で使用される場合分けを定義する。これらは、共役にどのような要素が使用されるかを制御するために、 JL アルペリンによるシローの定理の共役部分の強化に基づいている。

シローの定理の証明

シローの定理は様々な方法で証明されており、証明の歴史自体がウォーターハウス^{[ 4 ]} 、シャーラウ^{[ 5 ]} 、カサディオとザッパ^{[ 6 ]} 、ゴウ^{[ 7 ]}、そしてある程度はメオ^{[ 8 ]など、多くの論文の主題となっている。}

シローの定理の証明の一つは、群作用の概念を様々な独創的な方法で利用している。群 $Gは自身またはその$ p部分群の集合に様々な方法で作用し、そのような作用のそれぞれを利用してシローの定理の一つを証明することができる。以下の証明は、ヴィーラントの組み合わせ論的議論に基づいている。^{[ 9 ]}以下では、 $a\mid b$ 「a は b を割り切る」の表記として、 $a\nmid b$ この主張の否定のために。

定理（１）—位数が $|G|$ は素数のべき乗p ^kで割り切れる。位数p ^kの部分群を持つ。

証拠

| $G$ $| = p k m = p k + r u$ とする $。$ $p\nmid u$ $Ω をG$ のサイズp ^kの部分集合の集合とする。G $は$ $Ω$ に対して左乗法で作用する。g $\in$ $G$ かつ $ω$ $\in Ω$ に対して、 $g$ $\cdot$ $ω$ $= {$ $g$ $x$ $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ となる。与えられた集合 $ω$ $\in Ω$ に対して、その安定化部分群 ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}を$ G _ωと書き、 Ωにおけるその軌道 ${$ $g$ $\cdot$ $ω$ $|$ $g$ $\in$ $G$ $}を$ G ωと書く。

この証明では、 $G$ _{$ω が$}p ^k個の要素を持ち、目的の部分群を提供するような $ω \in Ωが存在することを示します。これは安定化部分群$ $G$ _{$ωの最大可能なサイズです。なぜなら、任意の固定要素$} $α$ $\in$ $ω$ $\subseteq$ $G$ に対して、右剰余類 $G$ _$ω$ $α が$ $ω$ に含まれるため、 $|$ $G$ $ω$ $|$ $=$ $|$ $G$ $ω$ $α$ $|$ $\leq$ $|$ $ω$ $|$ $=$ $p$ $k$ となるからです。

軌道安定化定理により、各 $ω$ $\in Ωに対して$ $| G ω | | G ω | = | G |$ が成り立ち、したがって、因子pの数を数える加法 p 進評価ν _pを用いると、 $ν$ $p$ $($ $|$ $G$ $ω$ $|$ $) +$ $ν$ $p$ $($ $|$ $G$ $ω$ $|$ $) =$ $ν$ $p$ $($ $|$ $G$ $|$ $) =$ $k$ $+$ $rとなります。これは、$ $|$ $G$ $ω$ $|$ $=$ $p$ $k$ となる $ω$ (我々が探しているもの)については $ν$ $p$ $($ $|$ $G$ $ω$ $|$ $) =$ $r$ となり、その他の $ωについては$ $ν$ $p$ $($ $|$ $G$ $ω$ $|$ $) >$ $r$ となります( $0 <$ $|$ $G$ $ω$ $|$ $<$ $p$ $k$ $はν$ $p$ $($ $|$ $G$ $ω$ $|$ $) <$ $k$ を意味するため $)$ 。 $|$ $Ω$ $|は$ $|$ $G$ $ω$ $|$ の合計であるため、すべての異なる軌道 $G$ $ωについて、$ $ν$ $p$ $($ $|$ $Ω$ $|$ $) =$ $r$ であることを示すことで、前者のタイプの ω の存在を示すことができます(存在しない場合は、その評価はrを超えます)。これは、クンマーの定理の例です( p基数表記では、数 $|$ $G$ $|$ はちょうどk + r桁のゼロで終わるため、そこからp ^{k を}引くとr桁の繰り上がりが発生します)。また、簡単な計算によって示すこともできます。

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}mj}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}mj/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

また、右辺の積に含まれるどの因子にもpのべき乗は残っていない。したがって、 $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ となり、証明が完了する。

逆に、位数p ^kのすべての部分群H は、 G _ω = Hとなる集合 $ω$ $\in Ω$ を生み出すことに注意されたい。すなわち、 m個の異なる剰余類Hgのいずれかである。

補題— $H を$ 有限 $p$ 群とし、Ω を $H$ によって作用される有限集合とし、Ω _0を $H$ の作用の下で固定される Ω の点の集合とする。このとき、 $| Ω | \equiv | Ω 0 | (mod p)$ が成り立つ。

証拠

$H$ によって固定されない任意の要素 $x \in Ωは、$ $|$ $H$ $|$ $/$ $|$ $H$ $x$ $|$ のオーダーの軌道内にあります(ここでH _{x は}安定化子を表します)。これは仮定により $p$ の倍数です。 $|$ $Ω$ $|$ をすべての異なる軌道 $H$ $xに関する$ $|$ $H$ $x$ $|$ の和として書き、mod $p$ で縮小することで、結果がすぐに得られます。

定理（２）— Hが $G$ のp部分群であり、Pが $G$ のシローp部分群である場合、 g ⁻¹Hg ≤ Pとなる $G$ の要素gが存在する。特に、 $G$ のすべてのシローp部分群は互いに共役であり（したがって同型である）、つまり、HとKが $G$ のシローp部分群である場合、 g ⁻¹Hg = Kとなる $G$ の要素gが存在する。

証拠

$ΩをG$ におけるPの左剰余類の集合とし、Hが $Ω$ に左乗法で作用するとする。補題をΩ上のHに適用すると、 $|$ $Ω₀$ $|$ $\equiv$ $|$ $Ω$ $|$ $=[$ $G$ $:$ $P$ $](mod$ $p$ $)$ となることがわかる。 $p\nmid [G:P]$ 定義により $p\nmid |\Omega _{0}|$ したがって、特に $| Ω 0 | \neq 0なので、ある$ $gP \in Ω 0$ が存在する。このgPを用いると、すべての $h$ $\in$ $H$ に対してhgP = gPとなるので、g ⁻¹HgP = Pとなり、したがってg ⁻¹Hg ≤ Pとなる。さらに、H がシローp部分群である場合、 $|$ $g$ $-1$ $Hg$ $|$ $=$ $|$ $H$ $|$ $=$ $|$ $P$ $|$ となるので、g ⁻¹Hg = Pとなる。

定理（３）— qを有限群Gの任意のシローp部分群Pの位数とする。n _{p を}Gのシローp部分群の数とする。このとき、(a) $n$ $p$ $= [$ $G$ $:$ $N$ $G$ $($ $P$ $)]$ ( N _G ( P ) はPの正規化群)、(b) $n$ $p$ $は|$ $G$ $|$ $/$ $q$ を割り切る、(c) $n$ $p$ $\equiv 1 (mod$ $p$ $)$ が成り立つ。

証拠

$Ω をG$ のすべての Sylow p部分群の集合とし、 $G が$ Ω に共役作用を及ぼすとする。P $\in Ω を$ $Sylow$ p 部分群とする。定理 2 により、 Pの軌道のサイズはn _pであり、軌道安定化定理により $n$ $p$ $= [$ $G$ $:$ $G$ $P$ $]$ となる。この群作用に対して、安定化群 $G$ _P $は{$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $gPg$ $-1$ $=$ $P$ $} =$ $N$ $G$ $($ $P$ $)$ で与えられ、これはGにおけるPの正規化群である。したがって、 $n$ $p$ $= [$ $G$ $:$ $N$ $G$ $($ $P$ $)]$ となり、この数は $[$ $G$ $:$ $P$ $] =$ $|$ $G$ $|$ $/$ $q$ の約数であることがわかる。

ここで、P が共役によって Ω に作用するとし、Ω _{0 を}この作用の固定点の集合とする。Q $\in Ω$ $0 とし、すべての$ $x$ $\in$ $P$ に対して $Q = xQx -1$ となるので、P ≤ N _G ( Q ) となることに注意する。定理 2 により、特にPとQ はN _G ( Q )において共役であり、 Q はN _G ( Q )において正規であるため、P = Qとなる。したがって、Ω ₀ = { P } となり、補題により、 $|$ $Ω$ $|$ $\equiv$ $|$ $Ω$ $0$ $|$ $= 1 (mod$ $p$ $)$ となる。

アルゴリズム

与えられた群のシロー部分群を見つける問題は、計算群論における重要な問題である。

シローp部分群の存在の証明の一つは構成的である。HがGのp部分群であり、インデックス [ G : H ] がpで割り切れるならば、 GにおけるHの正規化群N = N _G ( H )もまた [ N : H ] がpで割り切れる。言い換えれば、任意の p 部分群 H (恒等群を含む) から始めて、H の正規化群に含まれるが H 自体には含まれない p 乗位数の要素を取ることで、シロー p 部分群の多環生成系を見つけることができる。このアルゴリズム版(および多くの改良) は、教科書形式で Butler ^[¹⁰^{]に記載されており、Cannon}^[¹¹^]に記載されているアルゴリズムも含まれている。これらのバージョンは、GAP コンピュータ代数システムで今でも使用されている。

置換群においては、Kantor ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}および Kantor と Taylor ^{[ 15 ]}によって、Sylow p部分群とその正規化群は入力 (群の次数と生成子の数の積) の多項式時間で見つけることができることが証明されている。これらのアルゴリズムは Seress ^{[ 16 ]}の教科書形式で説明されており、有限単純群の構成的認識が現実のものとなるにつれて、実用的になりつつある。特に、このアルゴリズムのバージョンはMagma コンピュータ代数システムで使用されている。

注記

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参考文献

証明

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アルゴリズム

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外部リンク

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シローの定理

定理

モチベーション

声明

結果

無限群に関するシローの定理

例

応用例

周期的なグループオーダー

小グループは単純ではない

ウィルソンの定理

融合結果

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アルゴリズム

関連項目

注記

参考文献

証明

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外部リンク

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