Nefラインバンドル

代数幾何学において、射影多様体上の直線束は、多様体内のすべての曲線上で非負の次数を持つとき、nefである。nef 直線束のクラスは凸錐によって記述され、多様体の可能な縮約は nef 錐の特定の面に対応する。直線束と因子(余次元-1 の部分多様体から構築)との対応を考慮すると、 nef 因子という同等の概念が存在する。

より一般的には、体k上の適切なスキームX上の直線束L は、 Xのすべての (閉じた既約) 曲線上で非負の次数を持つ場合、 nefであるといわれます。^[1] ( k上の適切な曲線C上の直線束Lの次数は、 Lの任意の非ゼロ有理切断sの因子 ( s ) の次数です。) 直線束は可逆層とも呼ばれます。

「nef」という用語は、マイルズ・リードによって、「算術的に有効」（ザリスキ 1962、定義 7.6）と「数値的に有効」という古い用語、および「数値的に最終的に無料」というフレーズの代わりとして導入されました。^[2]以下の例からわかるように、古い用語は誤解を招くものでした。

k上の適切な曲線C上のすべての直線束L は、全体断面が恒等的に 0ではない場合、次数が非負になります。その結果、k上の適切なスキームX上の基点のない直線束は、 Xのすべての曲線で次数が非負になります。つまり、nef です。^[3]より一般的には、直線束L は、ある正のテンソル冪が基点のないものである場合に半充実と呼ばれます。したがって、半充実直線束は nef です。半充実直線束は nef 直線束の主な幾何学的源泉と考えることができますが、2 つの概念は同等ではありません。以下の例を参照してください。 ${\displaystyle L^{\otimes a}}$

体上の適切なスキームX上のカルティエ因子 Dは、関連する直線束O ( D ) がX上で nef である場合に nef であると言われます。同様に、X内のすべての曲線Cの交差数が非負である場合、 Dは nef です。 ${\displaystyle D\cdot C}$

直線束から因子に戻ると、最初のチャーン類は、多様体X上の直線束のピカール群から、線型同値性を法とするカルティエ因子群への同型である。明示的には、最初のチャーン類は、 Lの任意の非ゼロ有理数切断sの因子 ( s ) である。^[4]${\displaystyle c_{1}(L)}$

不等式を扱うには、実係数を持つカルティエ因子の有限線形結合を意味するR因子を考慮すると便利です。数値同値性を法とするR因子は、有限次元の実ベクトル空間、つまり実数でテンソル化されたネロン・セベリ群を形成します。 ^[5]（明示的に：2つのR因子は、 X内のすべての曲線との交差数が同じである場合に数値的に同値であるといいます。）R因子は、すべての曲線で次数が負でない場合に nef と呼ばれます。 nef R因子は で閉じた凸錐、つまりnef 錐Nef( X ) を形成します。 ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

曲線の円錐は、数値的同値性を法とする1サイクルの実ベクトル空間における非負の実係数を持つ曲線の線形結合の凸円錐として定義される。ベクトル空間と は交差ペアリングによって互いに双対であり、nef円錐は（定義により）曲線の円錐の双対円錐である。 ^[6]${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$

代数幾何学における重要な問題は、どの直線束が十分であるかを分析することである。なぜなら、それは多様体を射影空間に埋め込むことができるさまざまな方法を記述することに相当するからである。1つの答えは、クライマンの基準（1966年）である。すなわち、体上の射影スキームXに対して、直線束（またはR因子）が十分であるための必要十分条件は、その類がネフ円錐の内部にあることである。^[7]（R因子は、十分なカルティエ因子の正の線形結合として表すことができる場合、十分であると呼ばれる。）クライマンの基準から、Xが射影的である場合、 X上のすべてのネフR因子は、における十分なR因子の極限であることがわかる。確かに、DがネフでAが十分である場合、D + cAはすべての実数c > 0に対して十分である。 ${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

X を、正の(1,1) 形式として見た、固定されたエルミート計量を持つコンパクト複素多様体とする。Jean -Pierre Demailly、Thomas Peternell 、Michael Schneiderによれば、 X上の正則直線束Lがnefであるとは、任意の に対して、L上に曲率がを満たす 滑らかなエルミート計量が存在することをいう。X がC上に射影的である場合、これは前の定義 ( L はX内のすべての曲線上で非負の次数を持つ)と同値である。 ^[8] ${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle h_{\epsilon}}$${\displaystyle \Theta _{h_{\epsilon }}(L)\geq -\epsilon \omega }$

C上の射影的なXであっても、ネフ直線束L は曲率を持つエルミート計量h を持つ必要はなく、これは先ほど示したより複雑な定義を説明しています。^[9]${\displaystyle \Theta _{h}(L)\geq 0}$

• X が滑らかな射影面であり、C が自己交差数 を持つX内の（既約）曲線である場合、C はX上で nef です。これは、面上の任意の2 つの異なる曲線の交差数が非負であるからです。 の場合、C は有効ですが、 X上で nef ではありません。たとえば、X が滑らかな射影面Y のある点での引き伸ばしである場合、引き伸ばしの例外的な曲線E はを持ちます。${\displaystyle C^{2}\geq 0}$${\displaystyle C^{2}$${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$${\displaystyle E^{2}=-1}$
• 旗多様体やアーベル多様体上のすべての有効因子はnefであり、これらの多様体は連結代数群の推移的作用を持つことを用いる。^[10]
• 滑らかな複素射影曲線X上の次数 0 の直線束L はすべてnef ですが、L が半十分となるのは、 L がXのピカール群において捩れである場合のみです。種数gが少なくとも 1 のXに対して、次数 0 の直線束のほとんどは捩れではありません。これは、 Xのヤコビアンが次元gのアーベル多様体であることを用いるとわかります。
• すべての半充実直線束は nef ですが、すべての nef 直線束が半充実直線束と数値的に同値であるわけではありません。たとえば、デイビッド・マンフォードは、適切な線織面X上に、すべての曲線上でL が正の次数を持ち、交点数が 0 であるような直線束L を構築しました。 ^[11]したがって、Lは nef ですが、 の正の倍数はいずれも数値的に有効な因子と同値ではありません。特に、すべての正の整数aに対して、大域セクションの空間は0 です。 ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}}$${\displaystyle c_{1}(L)}$${\displaystyle H^{0}(X,L^{\otimes a})}$

体k上の正規射影多様体Xの縮約は、 Yがk上の正規射影多様体であるような全射射で、 となるものである。(後者の条件は、 f が連結ファイバーを持つことを意味し、 k が標数0 を持つ場合、 f が連結ファイバーを持つことと同値である。^{[12] ) 縮約は、 dim(} Y ) < dim( X ) のときファイバー化と呼ばれる。 dim( Y ) = dim( X )の縮約は、自動的に双有理射である。^[13] (例えば、X は滑らかな射影面Yのある点で の拡大である可能性がある。)${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f_{*}O_{X}=O_{Y}}$

凸錐Nの面Fは、 Nの任意の 2 点の和がFに含まれる凸部分錐を意味し、その 2 点自身もFに含まれる。 Xの縮約は、Xのネフ錐の面F 、すなわち Nef( X ) と引き戻しの交点を決定する。逆に、多様体Xが与えられた場合、ネフ錐の面F は同型性までの縮約を決定する。実際、 X上の半豊富な直線束L が存在し、その における類はFの内部に含まれる(例えば、L をY上の任意の豊富な直線束のXへの引き戻しとする)。そのような直線束はどれも、 Proj 構成によってY を決定する: ^[14] ${\displaystyle f^{*}(N^{1}(Y))\subset N^{1}(X)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

${\displaystyle Y={\text{Proj }}\bigoplus _{a\geq 0}H^{0}(X,L^{\otimes a}).}$

Y を幾何学的な用語で説明すると、 Xの曲線C がYの点にマッピングされるのは、 L がC上で次数 0 である場合のみです。

その結果、 Xの収縮とXのネフ円錐のいくつかの面の間には一対一の対応関係がある。^[15]（この対応関係は、曲線の円錐の面に関して双対的に定式化することもできる。）どのネフ線束が半豊富であるかを知ることで、どの面が収縮に対応するかを決定することができる。円錐定理は、収縮に対応する重要な面のクラスを記述しており、豊富さの予想はさらに多くのことを与えるだろう。

例: X を点pにおける複素射影平面の拡大とする。Hを上の直線のXへの引き戻しとし、E をの拡大の例外曲線とする。するとX はピカール数 2 となり、実ベクトル空間は次元 2 となる。次元 2 の凸錐の幾何学により、ネフ錐は 2 本の光線で張られる必要がある。明示的には、これらはHとH − Eが張る光線である。^[16]この例では、両方の光線がXの縮約に対応している。Hは双有理射 を与え、H − E はと同型の繊維を持つ繊維化を与える（点p を通るの直線に対応）。X のネフ錐には他の非自明な面がないので、これらは X の唯一の非自明な縮約である。これは凸錐との関係がなければ理解するのが難しいだろう。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

• Demailly, Jean-Pierre ; Peternell, Thomas; Schneider, Michael (1994)、「数値的に有効な接線束を持つコンパクト複素多様体」(PDF)、Journal of Algebraic Geometry、3 : 295–345、MR  1257325
• コラール、ヤーノシュ、森、重文（1998）、代数多様体の双有理幾何学、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017 / CBO9780511662560、ISBN 978-0-521-63277-5、MR  1658959
• ラザースフェルド、ロバート（2004）、代数幾何学における正値性、第1巻、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-3-642-18808-4、ISBN 3-540-22533-1、MR  2095471
• リード、マイルズ(1983)、「正準 3 次元多様体の極小モデル」、代数多様体と解析多様体 (東京、1981)、純粋数学の高度研究、第 1 巻、ノースホランド、pp. 131–180、doi : 10.2969/aspm/00110131、ISBN 0-444-86612-4、MR  0715649
• ザリスキ、オスカー(1962)、「代数面上の有効因子の高倍数に関するリーマン・ロッホの定理」、Annals of Mathematics、2、76 ( 3): 560–615、doi :10.2307/1970376、JSTOR  1970376、MR  0141668