オイラー方程式（流体力学）

流体力学において、オイラー方程式は断熱流と非粘性流を支配する偏微分方程式の集合である。レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた。特に、粘性ゼロと熱伝導率ゼロのナビエ・ストークス方程式に対応する。^[1]

オイラー方程式は、非圧縮性流れと圧縮性流れに適用できます。非圧縮性オイラー方程式は、質量保存と運動量バランスのコーシー方程式と、流速がソレノイド場であるという非圧縮性条件から構成されます。圧縮性オイラー方程式は、質量保存、運動量バランス、エネルギーバランスの方程式と、流体の特定のエネルギー密度の適切な構成方程式から構成されます。歴史的には、質量保存と運動量バランスの方程式のみがオイラーによって導かれました。ただし、流体力学の文献では、エネルギー方程式を含む圧縮性オイラー方程式の完全なセットを「圧縮性オイラー方程式」と呼ぶことがよくあります。^[2]

非圧縮オイラー方程式と圧縮オイラー方程式の数学的特徴はかなり異なります。流体の密度が一定である場合、非圧縮方程式は、圧力の楕円ポアソン方程式とともに、流体速度の準線形移流方程式として記述できます。一方、圧縮オイラー方程式は、保存方程式の準線形双曲型システムを形成します。

オイラー方程式は、「対流形式」（「ラグランジュ形式」とも呼ばれる）または「保存形式」（「オイラー形式」とも呼ばれる）で定式化できます。対流形式は、流体とともに移動する参照フレーム内の状態の変化を強調します。保存形式は、空間に固定された制御ボリュームの保存方程式として方程式を数学的に解釈することを強調します（これは数値的な観点から有用です）。

オイラー方程式が初めて出版されたのは、1757年にベルリン科学アカデミー紀要に掲載されたオイラーの論文「流体運動の一般原理」の中でだった^[3]（ただしオイラーは1752年にベルリン科学アカデミーでその研究を発表していた）。^{[4]以前の研究には、}ベルヌーイ家やジャン・ル・ロン・ダランベールの貢献もあった。^[5]

オイラー方程式は、波動方程式に次いで最初に記述された偏微分方程式の 1 つです。オイラーの元の著作では、方程式系は運動量方程式と連続方程式で構成されていたため、非圧縮性の流れの場合を除いて不確定でした。断熱条件と呼ばれる追加の方程式は、 1816 年に ピエール＝シモン ラプラスによって提供されました。

19世紀後半には、圧縮性流れではエネルギーバランスに関する方程式が常に維持されなければならないこと、また、滑らかな解の場合の基本法則から断熱条件が成り立つことがわかった。特殊相対性理論の発見により、エネルギー密度、運動量密度、応力の概念が応力エネルギーテンソルの概念に統合され、エネルギーと運動量も同様にエネルギー運動量ベクトルという単一の概念に統合された。^[4]

対流形式（すなわち、運動量方程式に対流演算子が明示的に示された形式）では、密度が時間的に一定で空間的に均一である場合の非圧縮オイラー方程式は次のようになる：^[6]

どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$は流速 ベクトルであり、N次元空間の成分を持ち、${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{N}}$
• ${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\Phi }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\Phi }}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla {\boldsymbol {\Phi }}}$は、一般的な関数（またはフィールド）が移流場に関する時間に関する物質微分を表し、${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$
• ${\displaystyle \nablaw}$は、特定の（単位質量あたりの）熱力学的仕事の勾配、内部ソース項、および
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$流速発散です。
• ${\displaystyle \mathbf {g} }$連続体に作用する物体の加速度（単位質量あたり）を表します。たとえば、重力、慣性加速度、電場加速度などです。

最初の方程式は、均一な密度を持つオイラー運動量方程式です（この方程式では、時間的に一定ではない可能性もあります）。物質微分を展開すると、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} &=-\nabla w+\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

実際、密度が均一な流れの場合、次の恒等式が成り立ちます。 ここで、は機械圧力です。2 番目の方程式は非圧縮性制約で、流速がソレノイド場であることを示しています(方程式の順序は因果関係ではありませんが、非圧縮性制約は連続方程式の退化した形ではなく、エネルギー方程式の退化した形であるという事実を強調しています。これは、以下で明らかになります)。特に、密度が時間または空間で変化する場合は、この非圧縮性の場合にも追加の 3 番目の方程式として連続方程式が必要になります。たとえば、密度が空間では不均一だが時間では一定である場合、上記のセットに追加する連続方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \rho_{0}}$$${\displaystyle \nabla w\equiv \nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)={\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p,}$$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}$$

したがって、一定で均一な密度の場合だけが、非圧縮制約の有無にかかわらず、追加方程式として連続方程式を必要としない唯一のケースです。実際、ここで説明する一定で均一な密度の非圧縮オイラー方程式のケースは、2 つの簡略化された方程式のみを備えたおもちゃのモデルであるため、物理的な関連性は限られているものの、教育目的には理想的です。

上記の式はそれぞれ質量保存（1つのスカラー方程式）と運動量保存（スカラー成分を含む1つのベクトル方程式、ここでは対象空間の物理的次元）を表しています。流速と圧力はいわゆる物理変数です。^[1]${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

速度と外力のベクトルによって与えられた座標系では、それぞれ、およびの成分を持ちます。方程式は下付き表記で次のように表すことができます。 ${\displaystyle \left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{N})}$${\displaystyle \left(g_{1},\dots ,g_{N}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u_{i} \over \partial t}+\sum _{j=1}^{N}{\partial \left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right) \over \partial x_{j}}&=g_{i},\\\sum _{i=1}^{N}{\partial u_{i} \over \partial x_{i}}&=0.\end{aligned}}}$$

ここで、下付き文字と はN次元空間の要素を表し、はクロネッカーのデルタです。アインシュタイン表記法（シグマ表記法の代わりに繰り返しのインデックスで和が示される）もよく使用されます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

オイラーは 1755 年に初めてこれらの方程式を提示しましたが、それらに関する多くの基本的な疑問や概念は未だに答えられていません。

3次元空間では、特定の単純化されたシナリオにおいて、オイラー方程式は特異点を生成します。^[7]

自由方程式（ソース項がないという意味で：g=0）の滑らかな解は、特定の運動エネルギーの保存則を満たします。 $${\displaystyle {\partial \over \partial t}\left({\frac {1}{2}}u^{2}\right)+\nabla \cdot \left(u^{2}\mathbf {u} +w\mathbf {u} \right)=0.}$$

ソース項（圧力勾配と外力の両方）のない1次元の場合、運動量方程式は非粘性バーガース方程式になります。 $${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}=0.}$$

このモデル方程式はオイラー方程式に関する多くの洞察を与えます。

方程式を無次元にするには、特性長さ、特性速度を定義する必要があります。これらは、無次元変数がすべて 1 次になるように選択する必要があります。こうして、次の無次元変数が得られます。 フィールド単位ベクトルのおよび: ${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle u_{0}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}},&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\\[5pt]t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,&p^{*}&\equiv {\frac {w}{u_{0}^{2}}},\\[5pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {g} }}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g}}.}$$

これらの逆関係をオイラー方程式に代入してフルード数を定義すると、次の式が得られます（頂点の * は省略）。

フルード極限（外部場なし）におけるオイラー方程式は自由方程式と呼ばれ、保存的である。したがって、高フルード数（外部場が低い）の極限は注目に値し、摂動論で研究することができる。

保存形式はオイラー方程式の数学的特性を強調し、特に縮約形式は数値流体力学シミュレーションにとって最も便利な形式であることが多い。計算上、保存変数を使用することにはいくつかの利点がある。これにより、保存法と呼ばれる大規模な数値法のクラスが生まれる。^[1]

自由オイラー方程式は保存方程式と同等という意味で保存的です。または 、単にアインシュタインの表記法で言えば、次のようになります。 この場合の 保存量はベクトルであり、はフラックス行列です。これは簡単に証明できます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} ={\mathbf {0} },}$$$${\displaystyle {\frac {\partial y_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial f_{ij}}{\partial r_{i}}}=0_{i},}$$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

At last Euler equations can be recast into the particular equation:

For certain problems, especially when used to analyze compressible flow in a duct or in case the flow is cylindrically or spherically symmetric, the one-dimensional Euler equations are a useful first approximation. Generally, the Euler equations are solved by Riemann's method of characteristics. This involves finding curves in plane of independent variables (i.e., ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle t}$) along which partial differential equations (PDEs) degenerate into ordinary differential equations (ODEs). Numerical solutions of the Euler equations rely heavily on the method of characteristics.

In convective form the incompressible Euler equations in case of density variable in space are:^[6]

where the additional variables are:

• ${\displaystyle \rho }$ is the fluid mass density,
• ${\displaystyle p}$ is the pressure, ${\displaystyle p=\rho w}$.

The first equation, which is the new one, is the incompressible continuity equation. In fact the general continuity equation would be: $${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$

but here the last term is identically zero for the incompressibility constraint.

The incompressible Euler equations in the Froude limit are equivalent to a single conservation equation with conserved quantity and associated flux respectively: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

Here ${\displaystyle \mathbf {y} }$ has length ${\displaystyle N+2}$ and ${\displaystyle \mathbf {F} }$ has size ${\displaystyle (N+2)N}$.^[a] In general (not only in the Froude limit) Euler equations are expressible as: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\rho \mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}.}$$

The variables for the equations in conservation form are not yet optimised. In fact we could define: $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}},}$$ where ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$ is the momentum density, a conservation variable.

where ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$ is the force density, a conservation variable.

In differential convective form, the compressible (and most general) Euler equations can be written shortly with the material derivative notation:

where the additional variables here is:

• ${\displaystyle e}$特定の内部エネルギー（単位質量あたりの内部エネルギー）です。

上記の式は質量、運動量、エネルギーの保存を表しています。変数内部エネルギーで表現されたエネルギー方程式は非圧縮ケースとの関連を理解するのに役立ちますが、最も単純な形式ではありません。質量密度、流速、圧力はいわゆる対流変数（または物理変数、ラグランジアン変数）であり、質量密度、運動量密度、全エネルギー密度はいわゆる保存変数（オイラー変数、数学変数とも呼ばれます）です。^[1]

物質微分を展開すると、上記の式は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\\[1.2ex]{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}&=\mathbf {g} ,\\[1.2ex]{\partial e \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla e+{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

非圧縮性の場合に戻ると、前者の場合に典型的な非圧縮性制約は、実際には質量方程式ではなくエネルギー方程式の非圧縮性流れに有効な特定の形式であることが明らかになります。特に、非圧縮性制約は、次の非常に単純なエネルギー方程式に対応します。 $${\displaystyle {\frac {De}{Dt}}=0.}$$

したがって、非圧縮性非粘性流体の場合、特定の内部エネルギーは流れ線に沿って一定であり、時間依存の流れでも同様です。非圧縮性の流れの圧力はラグランジュ乗数のように機能し、エネルギー方程式の非圧縮性制約の乗数であるため、非圧縮性の流れでは熱力学的な意味を持ちません。実際、熱力学は圧縮性の流れに典型的であり、非圧縮性の流れでは退化します。^[8]

質量保存方程式に基づいて、この方程式を保存形式に置くことができます。 つまり、非圧縮性、非粘性、非伝導性の流れの場合、内部エネルギーに対して連続方程式が成立します。 $${\displaystyle {\partial \rho e \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho e\mathbf {u} )=0,}$$

定義により、比エンタルピーは次のようになります。 $${\displaystyle h=e+{\frac {p}{\rho }}.}$$

特定の内部エネルギーの物質微分は次のように表すことができます。 $${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left({Dp \over Dt}-{\frac {p}{\rho }}{D\rho \over Dt}\right).}$$

次に、この式に運動量方程式を代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left(p\nabla \cdot \mathbf {u} +{Dp \over Dt}\right).}$$

そして、後者をエネルギー方程式に代入すると、オイラーエネルギー方程式のエンタルピー表現が得られます。 非粘性かつ非伝導性の流れとともに移動する基準フレームでは、エンタルピーの変化は圧力の変化に直接対応します。 $${\displaystyle {Dh \over Dt}={\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}.}$$

熱力学では、独立変数は比容積と比エントロピーであり、比エネルギーはこれら 2 つの変数の状態の関数です。

熱力学流体の場合、圧縮性オイラー方程式は次のように記述するのが最も適切です。

どこ：

• ${\displaystyle v}$比容積は
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$流速ベクトル
• ${\displaystyle s}$比エントロピーは

非圧縮性の場合だけでなく一般的な場合、エネルギー方程式は、非粘性熱力学流体の場合、比エントロピーは流れ線に沿って一定であり、時間依存の流れでもあることを意味します。質量保存方程式に基づいて、この方程式を保存形式にすることができます。^[9] つまり、非粘性非伝導性流れの場合、エントロピーについて連続方程式が成り立ちます。 $${\displaystyle {\partial \rho s \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0,}$$

一方、運動量方程式における比内部エネルギーの 2 つの 2 次偏微分には、検討対象の物質の基本状態方程式、つまり比体積と比エントロピーという 2 つの変数の関数としての比内部エネルギーの指定が必要です。 $${\displaystyle e=e(v,s).}$$

基本状態方程式には、システムに関するすべての熱力学的情報が含まれています（Callen、1985）^{[10] 。これは、}熱状態方程式と熱量状態方程式の組み合わせとまったく同じです。

フルード限界におけるオイラー方程式は、保存量と関連するフラックスをそれぞれ持つ単一の保存方程式と同等です。 $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}},}$$

どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$運動量密度、つまり保存変数です。
• ${\textstyle E^{t}=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$総エネルギー密度（単位体積あたりの総エネルギー）です。

ここで長さはN + 2、大きさはN(N + 2)です。^[b]一般に（フルード極限に限らず）オイラー方程式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

ここで、 は力の密度であり、保存変数です。 ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

また、オイラー方程式は、保存的（外場なし、フルード限界）であっても、一般にリーマン不変量を持たないことにも留意する。 ^[11]さらにいくつかの仮定が必要である 。

しかし、熱力学的流体の場合、総エネルギー密度の式は保存式と同等であることはすでに述べました。 $${\displaystyle {\partial \over \partial t}(\rho s)+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0.}$$

熱力学的流体の場合の保存方程式は、次のようにより簡単に表現されます。

ここで、エントロピー密度は熱力学的保存変数です。 ${\displaystyle S=\rho s}$

エネルギー方程式の別の可能な形式は、等圧線の場合に特に有用であり、次のようになります。 ここで、 は全エンタルピー密度です。 $${\displaystyle {\frac {\partial H^{t}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(H^{t}\mathbf {u} \right)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} -{\frac {\partial p}{\partial t}},}$$${\textstyle H^{t}=E^{t}+p=\rho e+p+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$

フラックスを展開することは、例えばリーマン問題に対する（近似）解を利用することによって、数値ソルバーを構築する上で重要な部分となり得る。状態ベクトルyが滑らかに変化する領域では、保存形式の方程式を準線形形式にすることができる。 ここで、 はフラックスヤコビアンと呼ばれ、行列として定義される。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{i}{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial r_{i}}}={\mathbf {0} }.}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}(\mathbf {y} )={\frac {\partial \mathbf {f} _{i}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y} }}.}$$

明らかに、このヤコビアンが不連続領域（接触不連続、非粘性非伝導流の衝撃波など）には存在しません。フラックス ヤコビアンが状態ベクトル の関数でない場合、方程式は線形 を示します。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

圧縮性オイラー方程式は、保存変数ではなく 特性変数で表現される場合、オイラー連続体の音を記述するN+2波動方程式のセットに分離できます。

実際、テンソルA は常に対角化可能です。固有値(オイラー方程式の場合) がすべて実数の場合、システムは双曲型として定義され、物理的には固有値は情報の伝播速度を表します。^[12]それらがすべて区別される場合、システムは厳密に双曲型として定義されます (1 次元オイラー方程式の場合であることが証明されます)。さらに、圧縮性オイラー方程式の対角化は、エネルギー方程式が変数エントロピー (つまり、熱力学流体の方程式) で表現される場合、他のエネルギー変数で表現される場合よりも簡単です。これは、1D の場合を考えると明らかになります。

が固有値に対応する行列の右固有ベクトルである場合、射影行列を構築することによって、 ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},...,\mathbf {p} _{n}\right].}$$

最終的に、特性変数は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} .}$$

Aは定数なので、元の1次元方程式のフラックスヤコビアン形式にP ⁻¹を掛けると特性方程式が得られる: ^[13] $${\displaystyle {\frac {\partial w_{i}}{\partial t}}+\lambda _{j}{\frac {\partial w_{i}}{\partial r_{j}}}=0_{i}.}$$

元の方程式は、それぞれが単純な波を記述する N+2 個の特性方程式に分離され、固有値は波の速度です。変数w _iは特性変数と呼ばれ、保守変数のサブセットです。特性変数に関する初期値問題の解は、最終的には非常に単純です。1 つの空間次元では、次のようになります。 $${\displaystyle w_{i}(x,t)=w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right).}$$

次に、元の保存変数に関する解は、逆変換することによって得られます。 この計算は、固有ベクトルの線形結合として明示的に表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {w} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (x,t)=\sum _{i=1}^{m}w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)\mathbf {p} _{i}.}$$

ここで、特性変数がヤコビ固有ベクトルの線形結合における重みとして作用することが明らかになります。解は、それぞれが形状を変えずに独立に移流する波の重ね合わせとして考えることができます。各i番目の波の形状はw _i p _iで、伝播速度はλ _{i です}。次に、この解法の手順の非常に簡単な例を示します。

1 つの空間次元と自由 (外部場なし: g  = 0) という 2 つの追加の仮定の下で熱力学的流体のオイラー方程式を考えると、次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}-v{\partial u \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}-e_{vv}v{\partial v \over \partial x}-e_{vs}v{\partial s \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial s \over \partial t}+u{\partial s \over \partial x}&=0.\end{aligned}}}$$

変数のベクトルを定義する場合、 比容積、流速、比エントロピー を思い出すと、対応するヤコビ行列は次のようになります。$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}v\\u\\s\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\-e_{vv}v&u&-e_{vs}v\\0&0&u\end{pmatrix}}.}$$

まず、特性方程式を解いてこの行列の固有値を見つけなければなりません。 $${\displaystyle \det(\mathbf {A} (\mathbf {y} )-\lambda (\mathbf {y} )\mathbf {I} )=0,}$$

それは明確に次のとおりです: $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v&0\\-e_{vv}v&u-\lambda &-e_{vs}v\\0&0&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

この行列式は非常に単純です。ゼロ要素の数が最も多い最後の行から計算が最も高速になります。 $${\displaystyle (u-\lambda )\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v\\-e_{vv}v&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

ここで、行列式 2×2 を計算します。 パラメータを定義します。 または、同等の機械的変数では、次のようにします。 $${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-e_{vv}v^{2}\right)=0,}$$$${\displaystyle a(v,s)\equiv v{\sqrt {e_{vv}}},}$$$${\displaystyle a(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}.}$$

このパラメータは、熱力学の第二法則によれば常に実数です。実際、熱力学の第二法則はいくつかの公理で表現できます。数学的に最も基本的なのは、基本状態方程式の凸性の記述、つまり比体積と比エントロピーの関数として表現される比エネルギーの ヘッセ行列です。 は正と定義されます。この記述は、次の 2 つの条件に対応します。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{vv}&e_{vs}\\e_{vs}&e_{ss}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}e_{vv}&>0\\[1.2ex]e_{vv}e_{ss}-e_{vs}^{2}&>0\end{aligned}}\right.}$$

最初の条件は、パラメータaが実数として定義されていることを保証するものです。

最終的に特性方程式は次のようになります。 $${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-a^{2}\right)=0}$$

これには 3 つの実際の解決策があります。 $${\displaystyle \lambda _{1}(v,u,s)=u-a(v,s),\qquad \lambda _{2}(u)=u,\qquad \lambda _{3}(v,u,s)=u+a(v,s).}$$

すると、行列には​​区別された 3 つの実固有値があります。1 次元オイラー方程式は厳密に双曲的なシステムです。

この時点で、3 つの固有ベクトルを決定する必要があります。各固有ベクトルは、固有値方程式に 1 つの固有値を代入して解くことで得られます。最初の固有値 λ ₁を代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v&0\\-e_{vv}v&a&-e_{vs}v\\0&0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\\s_{1}\end{pmatrix}}=0.}$$

単純に解s ₁ =0を持つ 3 番目の方程式に基づいて、このシステムは次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v\\-a^{2}/v&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\end{pmatrix}}=0}$$

2 つの方程式は通常どおり冗長であるため、固有ベクトルは乗算定数で定義されます。右固有ベクトルとして以下を選択します。 $${\displaystyle \mathbf {p} _{1}={\begin{pmatrix}v\\a\\0\end{pmatrix}}.}$$

他の 2 つの固有ベクトルは、同様の手順で見つけることができます。 $${\displaystyle \mathbf {p} _{2}={\begin{pmatrix}e_{vs}\\0\\-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {p} _{3}={\begin{pmatrix}v\\-a\\0\end{pmatrix}}.}$$

次に、投影行列を構築できます。 $${\displaystyle \mathbf {P} (v,u,s)=(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})={\begin{pmatrix}v&e_{vs}&v\\a&0&-a\\0&-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}&0\end{pmatrix}}.}$$

最後に、前に定義した実数パラメータaは、オイラー方程式で構成された双曲システムの情報特性の伝播速度、つまり波の速度であることが明らかになります。音速が等エントロピー変換の特定のケースに対応することを示す必要があります。 $${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}.}$$

音速は等エントロピー変換の波速度として定義されます。 等エントロピー圧縮率の定義により、 音速は常に等エントロピー圧縮率と密度の比の平方根になります。 $${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}},}$$$${\displaystyle K_{s}(\rho ,p)\equiv \rho \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s},}$$$${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}.}$$

理想気体中の音速は温度のみに依存します。 $${\displaystyle a_{s}(T)={\sqrt {\gamma {\frac {T}{m}}}}.}$$

理想気体の比エンタルピーは温度に比例するため、

$${\displaystyle h=c_{p}T={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {T}{m}},}$$

理想気体の音速は、その比エンタルピーのみに依存させることもできる。

$${\displaystyle a_{s}(h)={\sqrt {(\gamma -1)h}}.}$$

ベルヌーイの定理はオイラー方程式の直接的な帰結です。

回転の外積のベクトル計算の恒等式は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\mathbf {v\cdot \nabla } \mathbf {F} \ ,}$$

ここでは、ファインマンの下付き文字表記が使用されています。これは、下付き文字の勾配が因子 に対してのみ作用することを意味します。 ${\displaystyle \nabla _{F}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

ラムは、現在も出版されている有名な古典著書『流体力学』（1895年）の中で、この恒等式を使って、回転形式における流速の対流項を変換した。^[14]

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ,}$$

ラム形式のオイラー運動量方程式は次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)-\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+{\frac {\nabla p}{\rho }}.}$$

さて、他のアイデンティティに基づいて:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho ,}$$

オイラーの運動量方程式は、定常流に対する ベルヌーイの定理を証明するのに最適な形をとっています。

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)-\mathbf {g} =-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

実際、外部保存場の場合、そのポテンシャル φ を定義すると、次のようになります。

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

定常流の場合、流速の時間微分は消えるため、運動量方程式は次のようになります。

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} ).}$$

そして、運動量方程式を流れの方向、つまり流線に沿って投影すると、その結果は常に速度に対して垂直になるため、外積は消えます。

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho .}$$

定常非圧縮の場合、質量方程式は単純に次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0,}$$つまり、定常非圧縮流の質量保存則は、流線に沿った密度が一定であることを示しています。定常非圧縮流の場合のオイラー運動量方程式は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0.}$$

非粘性液体の流れの全ヘッドを定義することの便利さは明らかです。

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }},}$$

これは単純に次のように書くことができます。

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0.}$$

つまり、外部の保存場における定常非粘性非圧縮流れの運動量バランスは、流線に沿った全水頭が一定であることを示しています。

最も一般的な定常（圧縮性）の場合、保存形式の質量方程式は次のようになります。

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =\rho \nabla \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0.}$$したがって、前の表現はむしろ

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

右辺は対流形式のエネルギー方程式に現れ、定常状態では次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla e=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

したがって、エネルギー方程式は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left(e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}+\phi \right)=0,}$$

そのため、内部の特定のエネルギーがヘッドに現れるようになります。

外部場ポテンシャルは通常他の項に比べて小さいため、後者を全エンタルピーにグループ化すると便利です。

$${\displaystyle h^{t}\equiv e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

非粘性気体流のベルヌーイ不変量は次のようになります。

$${\displaystyle b_{g}\equiv h^{t}+\phi =b_{l}+e,}$$

これは次のように書くことができます:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{g}=0.}$$

つまり、外部保存場における定常非粘性流のエネルギーバランスは、全エンタルピーと外部ポテンシャルの合計が流線に沿って一定であることを示しています。

通常の小さなポテンシャル場の場合、単純に次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}\sim 0.}$$

圧力勾配をエントロピー勾配とエンタルピー勾配に置き換えると、熱力学の第一法則に従ってエンタルピー形式で次のようになります。

$${\displaystyle v\nabla p=-T\nabla s+\nabla h,}$$

オイラー運動量方程式の対流形式では、次の式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h.}$$

フリードマンは、この方程式を完全気体の特定のケースについて導き出し、1922年に発表しました。^[15]しかし、この方程式は非粘性非導電性流体に対して一般的なものであり、そこには状態方程式は暗黙的に含まれていません。

一方、熱力学第一法則のエンタルピー形式をオイラー運動量方程式の回転形式に代入すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ,}$$

特定の全エンタルピーを定義することによって：

$${\displaystyle h^{t}=h+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

オイラー運動量方程式の クロッコ・ヴァズソニー形式^[16] (Crocco, 1937)が得られる。

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} -T\nabla s+\nabla h^{t}=\mathbf {g} .}$$

定常の場合、オイラー方程式をクロッコの形に書き直すことができるため、エントロピーと全エンタルピーという 2 つの変数が特に役立ちます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} +T\nabla s-\nabla h^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla s&=0,\\\mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

最後に、流れも等温である場合:

$${\displaystyle T\nabla s=\nabla (Ts),}$$

特定の全ギブス自由エネルギーを定義することによって：

$${\displaystyle g^{t}\equiv h^{t}+Ts,}$$

Crocco の形式は次のように簡略化できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} -\nabla g^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla g^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

これらの関係から、定常、非回転、等温、等エントロピー、非粘性の流れでは、特定の全自由エネルギーは均一であると推測されます。

オイラー方程式は準線型 双曲方程式であり、その一般解は波である。ある仮定の下では、それらは簡略化されてバーガース方程式となる。よく知られている海洋の波と同様に、オイラー方程式で記述される波は「砕け」、いわゆる衝撃波が形成される。これは非線形効果であり、解が多値になることを表す。物理的には、これは微分方程式の定式化を導いた仮定の崩壊を表しており、方程式からさらに情報を引き出すには、より基本的な積分形式に戻らなければならない。次に、ランキン・ユゴニオ方程式を使用して、密度、速度、圧力、エントロピーなどの流量に「ジャンプ」（不連続性）を組み込むことで、弱解が定式化される。物理量が不連続になることはめったになく、実際の流れでは、これらの不連続性は粘性および熱伝達によって平滑化される。（ナビエ・ストークス方程式を参照）

衝撃波の伝播は、他の多くの分野の中でも、十分に速い流れが発生する空気力学やロケット推進の分野で研究されています。

有限差分法によってオイラー方程式の局所形式^[c] (記述される変数は考慮される空間内の1点に特有のもの、つまり局所変数であるため、上記の形式はすべて局所形式である) から不連続領域 (たとえば衝撃波や境界層) の連続量を適切に計算するには、一般に、現在および近い将来のコンピュータのメモリには多すぎる空間点と時間ステップが必要になる。このような場合、保存方程式の局所形式を避け、有限体積方程式などのいくつかの弱い形式を渡すことが必須である。

最も単純なケースから始めて、空間領域における保存形式の定常自由保存方程式を考えます。

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

ここで、一般にF はフラックス行列です。この局所方程式を固定体積 V _mにわたって積分すると、次のようになります。

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV=\mathbf {0} .}$$

次に、発散定理に基づいて、この積分をフラックスの境界積分に変換することができます。

$${\displaystyle \oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \,ds=\mathbf {0} .}$$

この大域的形式は、安定かつソースがない場合には、領域を通過する保存量の正味のフラックスは存在しないことを単純に述べています。 1D では、体積は区間 に縮小され、その境界はその極値であり、発散定理は微積分の基本定理に縮小されます。

$${\displaystyle \int _{x_{m}}^{x_{m+1}}\mathbf {F} (x')\,dx'=\mathbf {0} ,}$$

これはジャンプ関係として知られる単純な差分方程式です。

$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$

それは次のように明確に表現できます。

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m+1}-\mathbf {F} _{m}=\mathbf {0} ,}$$

ここで使用される表記は次のとおりです。

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m}=\mathbf {F} (x_{m}).}$$

あるいは、不定積分を実行すると次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {F} -\mathbf {F} _{0}=\mathbf {0} .}$$

一方、過渡保存方程式:

$${\displaystyle {\partial y \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

ジャンプ関係をもたらします:

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\,\Delta u=\Delta \mathbf {F} .}$$

1次元オイラー方程式の場合、保存変数とフラックスはベクトルです。

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{v}}\\j\\E^{t}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}j\\vj^{2}+p\\vj\left(E^{t}+p\right)\end{pmatrix}},}$$

どこ：

• ${\displaystyle v}$比容積は
• ${\displaystyle j}$質量流束です。

1次元の場合、対応するジャンプ関係はランキン・ユゴニオ方程式と呼ばれ、次のようになる。< ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)&=\Delta j,\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta j&=\Delta (vj^{2}+p),\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta E^{t}&=\Delta (jv(E^{t}+p)).\end{aligned}}}$$

安定した 1 次元の場合には、単純に次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(j\left({\frac {E^{t}}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right)&=0.\end{aligned}}}$$

質量差分方程式のおかげで、エネルギー差分方程式は制限なく簡略化できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta h^{t}&=0,\end{aligned}}}$$

ここで、特定の全エンタルピーです。 ${\displaystyle h^{t}}$

これらは通常、対流変数で表現されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left({\frac {u^{2}}{v}}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+pv\right)&=0,\end{aligned}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle u}$流速は
• ${\displaystyle e}$特定の内部エネルギーです。

エネルギー方程式は、圧縮性の場合のベルヌーイ方程式の積分形式です。前述の質量方程式と運動量方程式を代入すると、レイリー方程式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta v}}=-{\frac {u_{0}^{2}}{v_{0}}}.}$$

2 番目の項は定数であるため、レイリー方程式は常に圧力体積平面において、状態方程式に依存しない単純な線、つまりレイリー線を記述します。ランキン・ユゴニオ方程式に代入すると、次のように明示することもできます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}u_{0},\\[1.2ex]\rho u^{2}+p&=\rho _{0}u_{0}^{2}+p_{0},\\[1.2ex]e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}&=e_{0}+{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}.\end{aligned}}}$$

運動方程式とユゴニオ方程式も得ることができます。簡潔にするため、解析部分はここでは示しません。

これらはそれぞれ次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(v,p)&=u_{0}^{2}+(p-p_{0})(v_{0}+v),\\[1.2ex]e(v,p)&=e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p+p_{0})(v_{0}-v).\end{aligned}}}$$

ユゴニオ方程式は、物質の基本状態方程式と結合します。

$${\displaystyle e=e(v,p),}$$

一般に、圧力体積平面において条件 (v ₀、p ₀ ) を通過する曲線、すなわちユゴニオ曲線を記述します。この曲線の形状は、考慮する材料の種類に大きく依存します。

ユゴニオ関数を定義することも慣例となっている: ^[18]

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}(v,s)\equiv e(v,s)-e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p(v,s)+p_{0})(v-v_{0}),}$$

以前の水頭の定義と同様に、ユゴニオ方程式からの偏差を定量化することができ、ベルヌーイ方程式からの偏差に役立ちます。

一方、一般的な保存方程式を積分すると次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} ,}$$

固定された体積V _m上で、発散定理に基づくと、次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} dV+\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}ds=\mathbf {S} .}$$

この方程式を時間間隔にわたって積分すると次のようになります。

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n+1})\,dV-\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt=\mathbf {0} .}$$

ここで、ノードの保存量を定義します。

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n}\equiv {\frac {1}{V_{m}}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV,}$$

有限体積形式を導きます。

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n+1}=\mathbf {y} _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt.}$$

特に、オイラー方程式の場合、保存量が決定されると、対流変数は後退代入によって推定されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \mathbf {u} _{m,n}&={\frac {\mathbf {j} _{m,n}}{\rho _{m,n}}},\\[1.2ex]\displaystyle e_{m,n}&={\frac {E_{m,n}^{t}}{\rho _{m,n}}}-{\frac {1}{2}}u_{m,n}^{2}.\end{aligned}}}$$

すると、元の対流変数の明示的な有限体積表現は次のようになる。^[19]

オイラー方程式は完全な方程式のセットではなく、唯一の解を許容するためにいくつかの追加の制約が必要であることが示されています。これらは、検討対象の物質の状態方程式です。熱力学と一貫性を保つには、これらの状態方程式は熱力学の 2 つの法則を満たす必要があります。一方、定義により、非平衡システムはこれらの法則の範囲外にある法則によって記述されます。以下に、非常に単純な状態方程式と、対応するオイラー方程式への影響をいくつか示します。

理想的なポリトロープ気体の場合、基本的な状態方程式は次のようになる: ^[20]

$${\displaystyle e(v,s)=e_{0}e^{(\gamma -1)m\left(s-s_{0}\right)}\left({v_{0} \over v}\right)^{\gamma -1},}$$

ここで、は比エネルギー、は比容積、は比エントロピー、は分子量、ここでは は定数（ポリトロープ過程）とみなされ、 は熱容量比に対応することが示されます。この式は、熱力学で用いられる通常の状態方程式と一致することが示されます。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma }$

この式から、熱力学的定義による圧力の式を導くことができます。

$${\displaystyle p(v,e)\equiv -{\partial e \over \partial v}=(\gamma -1){\frac {e}{v}}.}$$

これを逆転させると、次の力学的状態方程式が得られます。

$${\displaystyle e(v,p)={\frac {pv}{\gamma -1}}.}$$

次に、理想気体の場合、圧縮性オイラー方程式は、熱力学システムの方程式セットを取り、この機械的状態方程式を介してエネルギー方程式を圧力方程式に変更することで、機械的または基本変数の比体積、流速、圧力で簡単に表現できます。最終的に、対流形式では、次のようになります。

1次元の準線型形式では、次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}={\mathbf {0} }.}$$

ここで、保守的なベクトル変数は次のようになります。

$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}v\\u\\p\end{pmatrix}},}$$

対応するヤコビ行列は^{[22] [23]である。}

$${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\0&u&v\\0&\gamma p&u\end{pmatrix}}.}$$

定常流の場合、定常運動量オイラー方程式を記述するための座標系として、流線に沿ったフレネ・セレ座標系を選択するのが便利である。 ^[24] $${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$$

ここで 、、はそれぞれ流速、圧力、密度を表します。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho }$

を、それぞれ流線に対する接線単位ベクトル、法線単位ベクトル、従法線単位ベクトルで構成されるフレネ・セレ正規直交基底とします。流線は流れの速度ベクトルに接する曲線であるため、上記の式の左側、つまり速度の対流微分は次のように記述できます。 ここで 、およびは流線の曲率半径です。 ${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{b}\right\}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}=u{\frac {\partial }{\partial s}}(u{\boldsymbol {e}}_{s})=u{\frac {\partial u}{\partial s}}{\boldsymbol {e}}_{s}+{\frac {u^{2}}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}&=u{\boldsymbol {e}}_{s},\\{\frac {\partial }{\partial s}}&\equiv {\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla ,\\{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}_{s}}{\partial s}}&={\frac {1}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n},\end{aligned}}}$$${\displaystyle R}$

したがって、定常流に対するオイラー方程式の運動量部分は、次のような単純な形になることがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle u{\frac {\partial u}{\partial s}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}},\\\displaystyle {u^{2} \over R}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}&({\partial /\partial n}\equiv {\boldsymbol {e}}_{n}\cdot \nabla ),\\\displaystyle 0&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial b}}&({\partial /\partial b}\equiv {\boldsymbol {e}}_{b}\cdot \nabla ).\end{aligned}}}$$

順圧流の場合、ベルヌーイの方程式は最初の方程式から導かれます。 ${\displaystyle (\rho =\rho (p))}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}\right)=0.}$$

2 番目の式は、流線が曲がっている場合には、流体塊の求心加速度が法線圧力勾配によってのみ生成される ため、流線に垂直な圧力勾配が存在するはずであることを表しています。

3 番目の式は、圧力が従法線軸に沿って一定であることを表しています。

流線の曲率中心からの距離をとすれば、2 番目の方程式は次のように表されます 。${\displaystyle r}$$${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}=\rho {\frac {u^{2}}{r}}~(>0),}$$

どこ${\displaystyle {\partial /\partial r}=-{\partial /\partial n}.}$

この方程式は次のように述べています。

外力のない非粘性 流体の定常流れでは、流線の曲率中心は半径方向の圧力が減少する方向にあります。

圧力場と流れの曲率の間のこの関係は非常に有用であるが、英語の科学文献では名前が付けられていない。^[25]日本の流体力学者はこの関係を「流線曲率定理」と呼んでいる。^[26]

この「定理」は、流線の同心円で構成される渦^[25]の中心になぜそれほど低い圧力が存在するのかをはっきりと説明しています。これはまた、翼が揚力を生み出す理由を直感的に説明する方法でもあります。^[25]

すべてのポテンシャル流解はオイラー方程式の解でもあり、特にポテンシャルが調和的な場合の非圧縮オイラー方程式の解でもある。^[27]

渦度を含むオイラー方程式の解は次のとおりです。

• 平行せん断流- 流れは一方向で、流速は流れの交差方向にのみ変化する。例えば、直交座標系 では、流れは例えば-方向であり、唯一の非ゼロ速度成分はと にのみ依存し、には依存しない^[28]${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u_{x}(y,z)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x.}$
• アーノルド・ベルトラミ・チルドレス流れ– 非圧縮オイラー方程式の正確な解。
• 円筒対称性を持つ3次元オイラー方程式の2つの解は、2003年にギボン、ムーア、スチュアートによって提示されました。^[29]これらの2つの解は無限のエネルギーを持ち、有限の時間内に空間のあらゆる場所で爆発します。

• ベルヌーイの定理
• ケルビンの循環定理
• コーシー方程式
• フルード数
• マデルング方程式
• ナビエ・ストークス方程式
• バーガース方程式
• ジーンズ方程式
• 完璧な流体
• ダランベールのパラドックス