超楕円曲線

代数幾何学において、超楕円曲線は種数g > 1の代数曲線であり、次の形式の方程式で表されます。 ここで、f ( x ) は次数n = 2 g + 1 > 4 またはn = 2 g + 2 > 4 でn 個の異なる根を持つ多項式であり、h ( x ) は次数 < g + 2の多項式です(基底体の標数が 2 でない場合は、h ( x ) = 0 とすることができます)。 $${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$$

超楕円関数は、そのような曲線の関数体の要素、または曲線上のヤコビ多様体の要素です。これら 2 つの概念は、楕円関数の場合は同一ですが、超楕円関数の場合は異なります。

多項式の次数によって曲線の種数が決まります。次数 2 g + 1 または 2 g + 2 の多項式は、種数gの曲線になります。次数が 2 g + 1に等しい場合、曲線は虚超楕円曲線と呼ばれます。一方、次数 2 g + 2 の曲線は実超楕円曲線と呼ばれます。種数に関するこの記述は、 g = 0 または 1 の場合にも当てはまりますが、これらの特殊なケースは「超楕円」とは呼ばれません。g = 1 の場合(特別な点を選択した場合)、そのような曲線は楕円曲線と呼ばれます。

このモデルは超楕円曲線を記述する最も簡単な方法ですが、このような方程式は射影平面上の無限遠に特異点を持ちます。 この特徴は n > 3の場合に特有のものです。したがって、非特異曲線を指定するためにこのような方程式を与える場合、ほとんどの場合、双有理幾何学の意味で同等な非特異モデル (滑らかな完成とも呼ばれる)を意味するものと想定されます。

より正確に言うと、この方程式はC ( x )の二次拡大を定義しており、その関数フィールドが意味されています。無限遠の特異点は正規化 (積分閉包) プロセスによって除去できます (これは曲線であるため)。これを行うと、2 つのアフィン チャートによる曲線の開被覆が存在することがわかります。1 つは既に与えられており 、もう 1 つは次のように与えられます。 $${\displaystyle y^{2}=f(x)}$$$${\displaystyle w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).}$$

2 つのチャート間の接着マップは、 定義されている場所に関係なく、 と によって与えられます 。 $${\displaystyle (x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})}$$$${\displaystyle (v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),}$$

実際、曲線Cは射影直線の分岐二重被覆として定義され、分岐はfの根で発生し、奇数nの場合は無限遠点で発生するという、幾何学的な省略形が想定されています。このようにして、n = 2 g + 1 および 2 g + 2 の場合を統一することができます。これは、射影平面の自己同型を使用して分岐点を無限遠から遠ざけるのと同じであるためです。

リーマン・フルヴィッツの公式を用いると、種数gの超楕円曲線は次数n = 2 g + 2 の方程式で定義される。 f  : X → P ^{1 が分岐次数}2の分岐被覆であるとする。ここでXは種数gの曲線で、 P ^{1 は}リーマン球面である。g ₁ = gでg _{0を P} ¹ ( = 0 )の種数とすると、リーマン・フルヴィッツの公式は次のようになる。

${\displaystyle 2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)}$

ここでs はX上のすべての分岐点についてである。分岐点の数はnであり、各分岐点sではe _s = 2となるので、式は次のようになる。

${\displaystyle 2-2\times g=2(2-2\times 0)-n\times (2-1)}$

つまりn = 2 g + 2です。

種数 2 のすべての曲線は超楕円形であるが、種数 ≥ 3 の場合、一般的な曲線は超楕円形ではない。これは、モジュライ空間の次元チェックによって経験的にわかる。定数を数えて、n = 2 g + 2 とすると、射影直線の自己同型の作用を受けるn個の点の集合は、自由度 (2 g + 2) − 3 を持ち、これはgが 2 でない限り、種数gの曲線のモジュライの数3 g − 3より小さい。曲線またはアーベル多様体のモジュライ空間における超楕円軌跡については、はるかに多くのことがわかっているが^{[説明が必要]、}一般的な非超楕円曲線を単純なモデルで 示すことは難しい。 ^{[1]超楕円曲線の幾何学的特徴付けの 1 つは、}ワイエルシュトラス点を介したものである。非超楕円曲線のより詳細な幾何学は、正準曲線の理論から読み取られます。正準写像は、超楕円曲線上では 2 対 1 ですが、それ以外の場合はg > 2に対して 1 対 1 です。三角曲線は、多項式の平方根ではなく立方根を取ることに対応する曲線です。

有理関数体の二次拡大による定義は、特性 2 を除く一般的な体に対して有効です。拡大が分離可能であると仮定すれば、すべてのケースで、射影直線の分岐二重被覆としての幾何学的定義が利用可能です。

超楕円曲線は、離散対数問題に基づく暗号システムの超楕円曲線暗号に使用できます。

超楕円曲線は、アーベル微分モジュライ空間の特定の層の連結成分全体を構成するものとしても現れる。^[2]

種数 2 の曲線の超楕円性は、種数 =1 の充填の場合の グロモフの充填領域予想を証明するために使用されました。

種数gの超楕円曲線は、次数 2 g +2 のバイナリ形式の不変量環と密接に関連するモジュライ空間を持ちます。^[指定]

^{超楕円関数は、}Adolph Göpel (1812-1847) の最後の論文、Abelsche Transcendenten erster Ordnung (1 次のアーベル超越論) ( Journal für die reine und angewandte Mathematik、vol. 35、1847 年)で初めて発表されました^[要出典]。ヨハン・G・ローゼンハインは独立してこの問題に取り組み、Umkehrungen Ultraelliptischer Integrale erster Gattung (Mémoires des savants etc., vol. 11, 1851) を出版しました。

• ボルツァ表面
• 超楕円曲線

• 「超楕円曲線」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 超楕円曲線の局所演算のユーザーガイド